浙江大学07年09年10年数分考研试题及解答.doc

浙江大学2007年数学分析考研试题及解答1. 证明:，.证明：.2. 证明：，.证明：设，从而，当时，故， .3. 设是上的可积函数，则有.证明：.4. 叙述数集的上确界及下确界的定义.解：设是一非空数集，数称为的上确界，如果（1），有；（2） ，使得.设是一非空数集，数称为的下确界，如果（1），有； （2），使得.5. 设是一个有上界的数集，用表示的一个平移，即,其中是一个实数，试证明：.证明：由于有上界，由确界原理，是有定义的，证是的上确界.（1） 任意，；（2） ，存在，使得，从而，有，故是的上确界，结论得证.6. 确定数集的上确界和下确界.解：又，所以，.7. Dirichlet函数试分别用（1）极限的定义， （2）Cauchy收敛准则，证明：当时，的极限不存在.证明：（1）用极限定义证：，存在无理数，使得.（2） Cauchy收敛准则证：，存在有理数，存在无理数，使得.8. 设函数列与在区间上分别一致收敛于与，且假定，都在上有界，试证明在上一致收敛于.证明：由在上一致收敛于，且在上有界，可知在上一致有界，同理在上一致有界.设，由，再由条件，即可得到结论.9. 在第8题中，如果只给出与分别一致收敛于与，能否保证有一致收敛于.解：不能保证.例1：，显然与分别一致收敛，但故在上不一致收敛于. 例2. 在上, ,显然与分别一致收敛，但故在上不一致收敛于10. 设在上可积，并且在处连续，证明：.证明：由于在上可积，从而在上有界，使得，又在处连续，使得时，有.注意到，我们有 ，由于对该固定的，有，从而，使得当时，即有道 ，故结论得证.11. 设连续,证明Poisson公式，其中为.证明 取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于该面，点到平面的距离为；点在中的坐标为，则有 在新坐标系下，公式左端的积分可写为 显然，球面的方程为 或，若表示成参数式，则为 其中 ； ， ， ， ， ， 从而，于是，最后得到 .12. 设，证明：数列有极限，并求其值.证明：显然， ，由此，可知收敛，设，在中，令取极限，得，故得到，.13. 设，证明：（1）在上连续；（2） 在处可导；（3） ；（4） 在处不可导.证明：（1）设，则在上连续，由于，所以在上一致收敛，于是在上连续，对，有；（2） 因为，在上一致收敛，所以在上可导，且，；（3） 先证明一个引理：引理. 设幂级数的收敛半径为，且，则有.对于，不用证明.对于，由于数列是递增的，若其有上界，则收敛， 从而在左连续，结论成立，若其无上界，则，于是，使得，知，使得当，有，从而，即.现在回头来证明题目， ，由于级数发散，从而；（4） 由，其中，所以不有限，在处不可导.浙江大学2009年数学分析考研试题及解答1. 求，.解：原式 .2. 求.解：原式 .3. 求.解： ，所以.4. 求，其中.解：原式 .5. 如果在的某邻域内可导，且，证明：在点处取极小值.证明：由，使得当时，从而当时，；当时，即在的左领域上递减，在的右邻域上递增，于是在点处取得极小值.6. 设表示从原点到椭球面，上点处的切平面的距离，求第一型曲面积分.解：容易知道，椭球面上点处的切平面方程为，于是，即得，由对称性， ， .7. 设在上连续，且，证明：.解：直接利用，令，即得结果.8. 设对任意，在上黎曼可积，且，证明：.证明：，由题设条件可知 在上有界，关于是一致收敛的，在任意上，一致收敛于.由广义积分的控制收敛定理，原式.9. 证明在与上均一致连续，但是在上不一致连续.证明：定义，即知，分别在，上连续，从而一致连续，而他们的限制在，上一致连续.用反正法.若在上一致收敛，则对，当，且，有，特别，由柯西收敛定理，可以推知存在，但，这是矛盾的，所以在上不一致连续.10. 设在上可导，导函数在上单调下降，且.证明：.证明：，其中用到了推广的积分第一中值定理.或者利用第二积分平均值定理，得.浙大2010年数学分析考研试题及解答1. 求.解：由，知.2. 求.解：原式 .3. 求.解：原式.4. 计算，其中是三角形，其法向量与相同.解：由高斯公式 ， ，.5. 求.解：.6. 求.解：.7. 设，且，计算.解：（1）先证明，事实上，而存在，由于，是同号的，所以存在，于两边令，有，而得.（2） 证，事实上（a） 当时，而；（b）当时， 若时，则； 若时，则.故此时，仅需证.而这可以通过用Stolz公式立即得到： .8. 设函数在上连续，为奇数，试证：若，则方程有实根.证明：有题设条件，存在，使得,.，为奇数，于是由连续函数的介值定理，存在，使得，结论得证.9. 证明在上一致连续，其中.证明：由，可知 ，故在上一致连续，（1） 先证在上一致收敛，事实上，因为，由于，所以在上一致连续；只需验证反常积分一致收敛，而用Dirichlet判别法，1） ，2） 关于递减，且，由狄利克雷判别法，于是在上一致收敛，对于任意固定，使得对一切，有，(当时)，即关于在上一致连续，故关于在上一致连续.11.