高等数学下学期复习.doc

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高等数学下学期复习高等数学下学期复习第五章 向量代数与空间解析几何(一)向量代数1. 向量的概念 具有大小和方向的量称为向量，通常用希腊字母加箭头，vvvvv如a,b,g等，或者小写英文字母加箭头，如a,b,c等来表示。向量a的大小也称为vvvvv模、长度、范数等等，记为或者，本讲义约定记为。大小和方向是向量的两个要素，大小为1（一个单位）的向量称为单位向量。大小为0的向量叫做vvv零向量，常记作0. 和a大小相同但方向相反的向量叫做a的负向量，记为-a. 当vvv0v.向量在几何上通常也称为有向线段，若知a0时，与a同向的单位向量记作avuuuvuuuv道起点A和终点B，该向量也常常记作AB，其模记作AB。2. 向量的线性运算（1）加法运算：向量的几何加法就是平行四边形法则或者三角形法则，见右图。v 要计算avvvv+b，只需把a和b平移后首尾相接，则以a的v起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量avv+b。它是图中平行四边形的对角线（平行四边形法则），也是三角形的一条边（三角形法则）。向量的加法运算满足结合律和交换律。即有vvvvvvvvvv(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）+b=b+a（交换律） ； a（2）数乘运算：用一个数去乘一个向量，叫做向量的数乘。所得仍然是一vv个向量。具体地说，设l是一个数，而a是一个向量，则数乘结果记为la，它是一个这样的向量：v1其大小lav=la； 12其方向如下规定：如果l向；如果lv0，则la与a同向；如果l0，则la与a反vvvv=0，则la就是零向量，此时它的方向可以任意规定（都不会影响相关结论的成立）。数乘运算满足结合律和对向量加法的分配律以及对数的加法的分配律：v设l,m是数，a和b是向量，则有v)= l(mavvm(la)=(lm)a（结合律）； la+lb（对向量加法的分配律） vvvvv+b)= l(a(lvvv+m)a=la+ma（对数的加法的分配律）（3）减法：它实际上是向量加法运算与数乘运算的复合运算v avvv-b=a+(-1)b.3. 向量的坐标v（1）向量在轴上的投影 设u是一条轴，AB是一个向量。过点A,B分别向vv轴u引垂线，垂足分别为A,B. 当AB与轴u同向时，规定AB的值为uuuuvv轴u反向时，规定AB的值为-ABuuuuvuuuuvABuuuv；当AB与uuuuvuuuuvv；当AB与轴u垂直时，规定AB的值为0. 称ABuuuvuuuuvuuuvuuuvvv为AB在轴u上的投影，记为PrjuvAB，而AB则称为AB在轴u上的投影向量。注意，投影是一个数，而投影向量是一个向量。一个向量在另一个向量上的投影可类v似定义，只要把u看成一个向量就可以了。vvv把AB的起点A平移到轴u上，此时AB与u所成的不大于p的角j称为AB与u的vvvvb夹角。类似地，两个向量的夹角也可以如此定义，向量a和的夹角记作(a,b). uuuvuuuvuuuv 2uuuvuuuvuuuvvAB投影定理（1）如果与轴u的夹角为j，则PrjuvAB=ABcosj. vvvvvvva+Prjvb. （2）设a和b是两个向量，则Prjuv(a+b)=Prjuuv（2）向量的方向角 把向量a置于直角坐标系中（不妨把起点放在原点），va与三条坐标轴x轴、y轴和z轴的夹角分别为a,bv它们的余弦值称为向量a的方向余弦。v和g，称它们为向量a的方向角，（3）向量的坐标设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则AB的坐标即为(x2uuuv-x1,y2-y1,z2-z1)，常直接写成uuuvvAB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).通常，我们把向量a在三条坐标轴上的投影称为该向量的三个坐标，如果分别记为ax,ay和az，则有 axv并且还有a=vvv=acosa,ay=acosb,az=acosg.v，我们习惯上记a=(ax,ay,az).v向量的坐标运算：设av=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，l为常数，则有vabvv=(axbx,ayby,azbz),la=(lax,lay,laz).4. 向量的乘法运算数量积、向量积、混合积 （1）数量积vvvvvvvv定义：向量a和b的数量积定义为ab=abcos(a,b)vvvabv,b)=arccos. 由此可得两个向量夹角公式：(aab运算律：数量积满足交换律，对线性运算的分配律，与数乘运算的结合律。vb 交换律： avvv=bav(lb对线性运算的分配律： avvvvvv+mc)=lab+macvvv=l(ab)vv(lb)=(la)b与数乘运算的结合律： a 3vv坐标运算：设avvv=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，则ab=axbx+ayby+azbz.v模公式：a= （2）向量积vvvb是一个向量，b定义：向量a和b的向量积a其大小为avvvvvvvvv=absin(a,b)，vv,b,ab依次构成右手系。如下图所示。方向可以这样来确定：a vv注意，由定义可得向量积的几何意义：ab恰好等于以向量a和b为相邻vv两条边的平行四边形的面积。由此当然也不难得到三角形的面积公式。运算律：向量积满足反交换律，对线性运算的分配律，与数乘运算的结合律。vvvvab=-ba 反交换律： v对线性运算的分配律： a(lbvvvvvv+mc)=lab+macvvv=l(ab)vv(lb)=(la)b与数乘运算的结合律： avv坐标运算：设av=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，则vivjaybyvkaz=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx) bzvvab=axbx（3）混合积vvvvvvvv,b和c的混合积a,b,c是一个数，即a,b,c=(ab)c.混定义：三个向量avvvv,b,c的绝对值恰好等于以a,b和c为相邻三条棱的平行六面体的体积。 合积avvvvvv主要性质： 4vvvvvv,b,c=b,c,a=c,a,b 轮换不变性：avv,c=反交换性质：b,avvvv-a,b,cvvvv坐标运算：设avv=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz)，则vvva,b,c=bxcxaxaybycyazbzcz 5. 向量之间的重要关系v(1)平行（共线）：两个向量av=(ax,ay,az)和b=(bx,by,bz)平行v使得la+mbazbz存在不同时为0的两个数l,mvv=0对应坐标成比例，即 vvvab=0axbx=ayby v（2）垂直：两个向量av=(ax,ay,az)和b=(bx,by,bz)垂直vv ab=0axbx+ayby+azbz=0v（3）三个向量avv=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)和c=(cx,cy,cz)共面axaybycyazbz=0 czvv,b,c= av0bxcxvvvv存在不同时为0的三个数l,m和n使得la+mb+nc=0.（二）空间平面与直线 1平面方程（1）平面的点法式方程 与平面p垂直的非零向量称为平面p的法向量。过v已知点P0(x0,y0,z0)，且以向量n=(A,B,C)为法向量的平面p的方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0（2）平面的一般方程 一个三元一次方程表示的就是一个平面，该方程即 5平面方程p：Ax+v此时平面的法向量就是nBy+Cz+D=0 =(A,B,C).特殊情形：1A2B3C4D5A=0pPx轴； =0pPy轴； =0pPz轴； =0p过原点； 上；上；上；与z轴垂直）；与y轴垂直）；与x轴垂直）； =D=0x轴在平面pB=D=0y轴在平面pC=D=0z轴在平面p 6A=B=0pPxoy平面（或者说pA=C=0pPzox平面（或者说pB=C=0pPyoz平面（或者说p7三个坐标面的方程依次为：； y=0（zox平面）； x=0（yoz平面）； z=0（xoy平面）（3）平面的截距式方程 不过原点且与三条坐标轴都相交的平面有截距式方程p： xv此时平面的法向量就是n=(A+yz+=1 BC111,).这里A,B,C分别为pABC在x轴，y轴和z轴上的截距（注意，它们的值可正可负）。同时该平面与三个坐标面所围成的立体的体积为 V=1ABC. 66（4）点到平面的距离 点P0(x0,y0,z0)到平面p：Ax+ d2. 直线方程=By+Cz+D=0的距离为.v（1）直线的标准（对称式）方程 与直线L平行的非零向量s称为该直线的方向向量，其坐标称为直线的一组方向数。过已知点P0(x0,y0,z0)，且以向量vs=(l,m,n)为方向向量的直线L的标准（对称式）方程为L： x-x0l=y-y0m=z-z0n x=x0+lt（2）直线的参数方程 L：y=y0+mt,-t+z=z0+ntv从方程可知，该直线的方向向量为s=(l,m,n)，并且经过点P(x0,y0,z0)。 0（3）直线的一般方程 把直线看成两个平面的交线 L：v直线的方向向量为np1:A1x+B1y+C1z+D1=0p2:A2x+B2y+C2z+D2=0 vvvv=n1n2，其中n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2).=(l,m,n)为v（4）点到直线的距离 点P(x,y,z)到过已知点P0(x0,y0,z0)，且以向量s方向向量的直线L的距离为uuuvvPP0suuuvuuuvvd=PP0sin(PP0,s). s3. 直线、平面之间的相互关系（1）平面与平面的夹角 两个平面的夹角规定为两条法线的夹角，且取不大于90者。o平面p1：A1x+B1y+C1z+D1=0与p2：A2x+B2y+C2z+D2=0的夹角7vvn1n2q=arccos=arccosn1n2v其中n1,0qp2.v=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)分别是平面p1与p2的法向量。于是可推出：p1p2A1A2+B1B2+C1C2=0；p1Pp2A1BC=1=1. A2B2C2o（2）直线与直线的夹角 两条直线的夹角规定为不大于90者。v设 直线L1：过点P1(x1,y1,z1)，且以向量s1v直线L2：过点P2(x2,y2,z2)，且以向量s2=(l1,m1,n1)为方向向量； =(l2,m2,n2)为方向向量。则直线L1与直线L2的夹角为vvs1s2 j=arccos=,0jp.2s1s2由此推出：L1 L1vvL2s1s2l1l2+m1m2+n1n2=0；lmnvvPL2s1Ps21=1=1l2m2n2；l1l2x2-x1m1m2y2-y1m1m2y2-y1n1n2z2-z1n1n2z2-z10. =0；vvvuuuuL1与L2共面s1,s2,PP共面12vvvuuuu L1与L2异面s1,s2,PP异面12l1l2x2-x1（3）直线与平面的夹角 直线L与平面p的夹角规定为L的方向向量与p的法向量所夹之角（取锐角）的余角，即直线与它在平面上投影直线的夹角。vv直线L的方向向量为s，平面p的法向量为n，则直线L与平面p的夹角为 vvsnj=arcsin.sn由此推出：LvvvvpsPn；LPpsn8（4）过直线L：p1:A1x+B1y+C1z+D1=0p2:A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束为l(A1x+B1y+C1z+D1)+m(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中l,m是不全为零的常数。当l,m取遍所有常数时，平面束描出了通过直线L的所有平面。 （三）空间曲面与曲线1. 空间曲面的方程（1）一般方程 一个三元方程F(x,y,z)=0表示的就是一个曲面。x=x(u,v)（2）参数方程 y=y(u,v)（双参数）表示的就是一张曲面。z=z(u,v)2. 空间曲线的方程F(x,y,z)=0（1）一般方程 （看成两个曲面的交线） G(x,y,z)=0x=x(t)（2）参数方程 y=y(t)（单参数）z=z(t)3. 常见曲面与曲线及其图形（1）母线平行于坐标轴的柱面二元方程f(x,y)=0表示的就是一个母线平行于z轴的柱面，它与xoy平面的交f(x,y)=0线为； z=0二元方程g(y,z)=0表示的就是一个母线平行于x轴的柱面，它与yoz平面的交g(y,z)=0线为； x=0二元方程h(z,x)=0表示的就是一个母线平行于y轴的柱面，它与zox平面的交 9h(z,x)=0线为。 y=0（2）旋转曲面：f(y,z)=0平面曲线绕z轴旋转一周所得曲面为f(x=0绕y轴旋转z)=0；所得曲面为f(y,=0；f(x,z)=0平面曲线绕z轴旋转一周所得曲面为f(y=0绕x轴旋转z)=0；所得曲面为f(x,=0； f(x,y)=0平面曲线绕y轴旋转一周所得曲面为f(z=0绕x轴旋转y)=0；所得曲面为f(x,=0.关键要掌握推导这些公式所使用的方法。还要懂得如何用这种方法推导出绕曲线所在平面上任意一条直线旋转所得的曲面方程。（3）二次曲面的标准方程及其图形 x2y2z2椭球面标准方程：2+2+2=1； abc球面标准方程：x2+y2+z2=R2； x2y2z2单叶双曲面标准方程：2+2-2=1； abcx2y2z2双叶双曲面标准方程：2+2-2=-1； abcx2y2椭圆抛物面标准方程：z=2+2abx2y2双曲抛物面标准方程：z=2-2ab；以上诸曲面的图形略去。读者可从教材上去熟悉它们。（4）螺旋线x=Rcostx=Rtcoswt柱面螺旋线：y=Rsint； 锥面螺旋线：y=Rtsinwtz=vtz=vt104. 空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)=0设给定一条空间曲线G:，那么有 G(x,y,z)=0f(x,y)=0（1）消去z得到f(x,y)=0，称为G关于xoy平面的投影柱面，而就z=0是G在xoy平面上的投影曲线；g(y,z)=0（2）消去x得到g(y,z)=0，称为G关于yoz平面的投影柱面，而就x=0是G在yoz平面上的投影曲线；h(x,z)=0（3）消去y得到h(x,z)=0，称为G关于zox平面的投影柱面，而就是y=0G在zox平面上的投影曲线。知道如何求空间曲线在坐标面上的投影，自然也就可以求一个空间立体图形在坐标面上的投影区域，其关键在于求投影区域的边界线-通常就是空间曲线在坐标面上的投影曲线。而求投影区域，则是计算重积分的基础。5如何从方程去判断空间曲线和空间曲面所具备的基本对称特征先看简单的判断方法：1如果曲线或者曲面方程中的x都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于yoz平面是对称的；如果曲线或者曲面方程中的y都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于zox平面是对称的；如果曲线或者曲面方程中的z都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于xoy平面是对称的。2如果曲线或者曲面方程中的x和y都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于z轴是对称的；如果曲线或者曲面方程中的y和z都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于x轴是对称的；如果曲线或者曲面方程中的z和x都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于y轴是对称的。 113如果曲线或者曲面方程中的x，y和z都以偶次幂出现，则该曲线或者曲面的图形一定关于原点o是对称的。更一般地说，如果曲面的方程是F(x,y,z)=0，则（1）如果F(-x,y,z)=（2）如果F(x,-y,z)=（3）如果F(x,y,-z)=F(x,y,z)，则关于yoz平面是对称的； F(x,y,z)，则关于zox平面是对称的； F(x,y,z)，则关于xoy平面是对称的；F(x,y,z)，则关于z轴是对称的；F(x,y,z)，则关于y轴是对称的；F(x,y,z)，则关于x轴是对称的；F(x,y,z)，则关于原点o是对称的； （4）如果F(-x,-y,z)=（5）如果F(-x,y,-z)=（6）如果F(x,-y,-z)=（7）如果F(-x,-y,-z)=（8）如果F(x,y,z)=（9）如果F(x,y,z)=F(y,x,z)，则关于平面x=y是对称的； F(x,z,y)，则关于平面y=z是对称的；F(z,y,x)，则关于平面z=x是对称的； （10）如果F(x,y,z)=此外，对于曲线方程，也有类似的对称性结论，读者可自行归纳。当你明白了曲线或者曲面的对称性，自然也就可以理解由它们所围成的几何图形的对称性。总之，对于某个给定的几何图形G，如果关于某个几何对象L的每对对称点P和P，都有PGPG，则几何图形G必定关于L是对称的。这是我们在积分计算中运用对称性的基础。 第六章 多元函数微分学（一）多元函数的概念1 多元函数的定义 设D是n-维欧式空间P的一个非空子集，如果有一个n12对应法则f，使得对D中任意一个点(x1,x2,L,xn)，通过法则f，都可以找到确定的实数y与之对应，则称y为x1,x2,L,xn的n-元函数，记为y为该函数的定义域。使一个n-元表达式所表示的函数有意义的点(x1,x2,L,xn)的全体称为该函数的自然定义域。一般地，n-元初等函数（由一元基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的能够用一个式子表示的函数）的定义域都是自然定义域。2. 二元函数的几何意义 一个二元函数z=f(x,y)在几何上表示的是一张曲=f(x1,x2,L,xn)，D则称面，其上任意一点的坐标即为(x,y,z)=(x,y,f(x,y)，它在xoy平面上的投影区域就是该函数的定义域。 （二）多元函数的极限1定义 （以二元函数为例）设函数z有定义。o=f(x,y)在点(x0,y0)的某个去心邻域 如果记r=(x,y)(x0,y0)limf(x,y)=A，或者limf(x,y)=A.xx0yy0limr0f(x,y)=A.注意，由于多元函数极限的定义本质上和一元函数极限没有什么区别，因此这种极限的性质和一元函数极限的性质基本上是一样的，像局部有界性质、局部保号性质都还成立。2计算 基本上和一元函数极限类似，同样有四则运算，复合运算；也可 13以使用变量替换方法，等价无穷小替换等等。当然没有多元函数极限的罗比塔法则了。3确定某一二元函数极限不存在的方法 对于多元函数极限，由于自变量的变化路径较为复杂，因此判断极限存在与否有时较为困难。一般的说，确定某一二元函数极限不存在的方法有两种：（1）设法找到两条不同的路径，当自变量沿着这两条路径趋于确定点时，函数有不同的极限值；（2）设法找到一条路径，当自变量沿着这两条路径趋于确定点时，函数没有极限（比如极限为）。（三）二元函数的连续性1定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域有界闭区域上多元连续函数一定可以取得最大 14值和最小值；（2）有界性定理 有界闭区域上多元连续函数是有界的； （3）介值定理 如果函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，对于任