29、逻辑联结词和四种命题.doc

1 为 为 为 为 p为 q 为 为 为 为 p为 q 为 为 为 为 q为 p 为 为 为 为 为 q为 p 为 为 为 为 为 为为 为 为 为 为 为 为 为 为 为 29 四种命题和逻辑联结词 一 命题 可以判断真假的语句叫做命题 命题由题设和结论两部分构成 命题有真命题和假命题之分 语句是真的 就叫真命题 语句是假的 就叫假命题 数学中的定义 公理 定理等都是真命题 二 四种命题 1 四种命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若 则pq 若 则qp若 则 p q若 则 q p 2 四种命题的关系 原命题为真 它的逆命题不一定真 否命题也不一定真 但逆否命题一定真 原命题与它的逆否命题同真同假 否命题与逆命题同真同假 注 四种命题的相互关系图 否命题 与 命题的否定 的区别 否命题是对原命题 若p则q 的条件p和结论都否定 即 若则 p q 而原命题的否定是 若p则 即只是否定原命题的结论 q 三 反证法 欲证 若 p 则 q 为真命题 从否定其结论出发 经过正确的逻辑推理导出矛盾 从而判定 原命题为真 这样的方法称为反证法 反证法的三步骤 反设 假设命题的结论不成立 即假设命题的反面成立 归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 结论 由矛盾判定假设不成立 从而原命题的结论成立 注 常见词语的否定如下表所示 词语是一定是都是大于小于且 词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或 词语必有一个至少有 n 个至多有一个所有 x 成立所有 x 不成立 词语的否定一个也没有至多有 n 1 个至少有两个 存在一个 x 不成立 存在有一个成立 正面 词语 等 于 大于小于是都是 任意 的 所有 的 或 任意两 个 至多有一 个 至少有一 个 至多有个n 否定 词语 等 于 不大 于 不小 于 不 是 不都 是 某个某些且某两个 至少有两 个 一个也没 有 至少有 个1n 四 逻辑联结词 1 逻辑联结词 或 且 非 这些词叫做逻辑联结词 2 简单命题 不含逻辑联结词的命题 称为简单命题 2 3 复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题 称为复合命题 1 复合命题的构成形式有三种 p 或 q p 且 q 非 p 其中 p q 都是简单命题 非 p 也叫做命题 p 的否定 p 的否定表示为 p 注 通常命题 p或q 的否定为 p 且q p且q 的否定为 p 或q 全为 的否定是 不全为 都是 的否定为 不都是 等等 2 复合命题的真值表 非 形式复合命题的真假可以用下表表示 p p 非p 真假 假真 且 q 形式复合命题的真假可以用下表表示 p pq 且pq 真真真 真假假 假真假 假假假 或 形式复合命题的真假可以用下表表示 pq pq 或pq 真真真 真假真 假真真 假假假 五 充要条件 1 定义 若pq 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若pq 则p是q的充要条件 2 充要条件可分为四类 1 充分不必要条件 即成立 而不成立 pq qp 2 必要不充分条件 即不成立 而成立 pq qp 3 既充分又必要条件 即成立 又有成立 pq qp 4 既不充分也不必要条件 即不成立 又有不成立 pq qp 一般地 如果既有 又有 就记作 叫做等价符号 pq qp pq 六 全称量词与存在量词 1 全称量词与存在量词 1 全称量词 对应日常语言中的 一切 任意的 所有的 凡是 任给 对每一个 等词 用符号 表示 3 2 存在量词 对应日常语言中的 存在一个 至少有一个 有个 某个 有些 有的 等词 用符号 表示 2 全称命题与特称命题 1 全称命题 含有全称量词的命题 对xM 有 p x 成立 简记成 xM p x 2 特称命题 含有存在量词的命题 xM 有 p x 成立 简记成 xM p x 3 同一个全称命题 特称命题 由于自然语言的不同 可以有不同的表述方法 现列表如下 供参考 命 题全称命题xM p x 特称命题xM p x 所有的 xM 使 p x 成立 存在 xM 使 p x 成立 对一切 xM 使 p x 成立 至少有一个 xM 使 p x 成立 对每一个 xM 使 p x 成立 对有些 xM 使 p x 成立 任给一个 xM 使 p x 成立 对某个 xM 使 p x 成立 表述方 法 若 xM 则 p x 成立 有一个 xM 使 p x 成立 七 练习 1 写出下列全称命题的否定 1 p 所有人都晨练 2 p x R x2 x 1 0 3 p 平行四边形的对边相等 4 p x R x2 x 1 0 分析 1 P 有的人不晨练 2 x R x2 x 1 0 3 存在平行四边形 它的的对边不相等 4 x R x2 x 1 0 2 写出下列命题的否定 1 所有自然数的平方是正数 2 任何实数 x 都是方程 5x 12 0 的根 3 对任意实数 x 存在实数 y 使 x y 0 4 有些质数是奇数 解 1 的否定 有些自然数的平方不是正数 2 的否定 存在实数 x 不是方程 5x 12 0 的根 3 的否定 存在实数 x 对所有实数 y 有 x y 0 4 的否定 所有的质数都不是奇数 3 写出下列命题的否定 1 若 x2 4 则 x 2 2 若 m 0 则 x2 x m 0 有实数根 3 可以被 5 整除的整数 末位是 0 4 被 8 整除的数能被 4 整除 5 若一个四边形是正方形 则它的四条边相等 解 1 否定 存在实数 虽然满足 4 但 2 0 x 2 0 x 0 x 或者说 存在小于或等于 2 的数 满足 4 完整表达为对任意的实数 x 若 x2 4 则 x 2 0 x 2 0 x 2 否定 虽然实数 m 0 但存在一个 使 m 0 无实数根 0 x 2 0 x 0 x 原意表达 对任意实数 m 若 m 0 则 x2 x m 0 有实数根 3 否定 存在一个可以被 5 整除的整数 其末位不是 0 4 否定 存在一个数能被 8 整除 但不能被 4 整除 原意表达为所有能被 8 整除的数都能被 4 整除 5 否定 存在一个四边形 虽然它是正方形 但四条边中至少有两条不相等 原意表达为无论哪个四边形 若它是正方形 则它的四条边中任何两条都相等 4 写出下列命题的非命题与否命题 并判断其真假性 1 p 若 x y 则 5x 5y 2 p 若 x2 x 2 则 x2 x 2 3 p 正方形的四条边相等 4 p 已知 a b 为实数 若 x2 ax b 0 有非空实解集 则 a2 4b 0 解 1 P 若 x y 则 5x 5y 假命题 否命题 若 x y 则 5x 5y 真命题 2 P 若 x2 x 2 则 x2 x 2 真命题 否命题 若 x2 x 2 则 x2 x 2 假命题 3 P 存在一个四边形 尽管它是正方形 然而四条边中至少有两条边不相等 假命题 否命题 若一个四边形不是正方形 则它的四条边不相等 假命题 4 P 存在两个实数 a b 虽然满足 x2 ax b 0 有非空实解集 但使 a2 4b 0 假命题 4 否命题 已知 a b 为实数 若 x2 ax b 0 没有非空实解集 则 a2 4b 0 真命题 5 命题 x R x2 x 3 0 的否定是 x R x2 x 3 0 6 判断命题 若 则有实根 的逆否命题的真假 0 m 2 0 xxm 解法一 写出逆否命题 再进行判断 逆否命题是 若无实根 则 其真假判断如下 2 0 xxm 0 m 无实根 0 即 0 2 0 xxm m41 4 1 m 命题 若无实根 则 为真 2 0 xxm 0 m 解法二 利用命题间的关系 原命题与逆否命题等价来判断 0 m041 04 mm 方程的判别式 2 0 xxm 041 m 方程有实根 故原命题 若 则有实根 为真 2 0 xxm 0 m 2 0 xxm 7 写出命题 若 的逆命题 否命题 逆否命题 并判断真假 000 baab或则 解 逆命题 000 abba则或若 否命题 000 baab且则若 逆否命题 000 abba则且若 易判定否命题假 逆否命题真 从而 逆命题假 原命题真 8 08 广东 命题 若函数在其定义域内是减函数 log 0 1 a f xx aa 则 的逆否命题是 log 20 a 解 若 则函数在其定义域内不是减函数log 20 a log 0 1 a f xx aa 9 08 陕西 是 对任意的正数 的 1 8 a x21 a x x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 另一方面对任意正数 1 8 a 11 222 21 88 a xxx xxx x21 a x x 只要 所以选 A 222 21 aa xxa xx 2 1 8 a 点评 充分条件与必要条件 是四种命题的关系的深化 它们间存在着密切的联系 本题若改成命题 如果 那么对任意的正数 都有 就是原命题正确 1 8 a x21 a x x 而逆命题不正确 则原命题的条件是结论的充分不必要条件 10 09 浙江 已知是实数 则 且 是 且 的 a b0a 0b 0ab 0ab A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解 对于 且 可以推出 且 反之也是成立的 0a 0b 0ab 0ab 11 在ABC 中 是 BAsinsin 的什么条件 AB 解 在ABC 中 角 A B 的对边分别是R是ABC 的外接圆的半径 a b 一方面 因为 所以 a b 即BRARsin2sin2 亦即 BAsinsin AB 从而在ABC 中 BAsinsin 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 AB 另一方面 因为BAsinsin 所以BRARsin2sin2 即 ba 得 AB 从而在ABC 中 BAsinsin 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 AB 故ABC 中 是 BAsinsin 的充要条件 AB 12 用反证法证明 如果 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 baba 那么 0 证明 假设 由于 则由 有baba 或0ab ba baba bbba baaa 即baba 得又 均与条件 相矛盾 0 baab 5 点评 反证法实际上是通过证明命题 若 p 则 q 的逆否命题 若 q 则 p 成立 从而达到证明命题 若 p 则 q 成立 在证明过程中一定要注意对假设的充分利用 常用反证法证题的题型 如含有 至少有一个 至多有一个 等字眼多用反证法 13 已知 证明 中至少有一个不小于 1 2 1 2 ax 2bx 2 1cxx abc 证明 假设 且 由不等式同向相加的性质得 1a 1b 1c cba3 2 7 22 2 xx 与假设矛盾 假设不成立 中至少有一个不小于 1 3 cbaabc 八 补充练习 1 09 安徽 是 且 的 条件 答案 必要不充分条件 acbd ab cd 2 08 湖北 若非空集合满足 且不是的子集 则 答案 B A B CABC BA A 是 的充分条件但不是必要条件xC xA B 是 的必要条件但不是充分条件xC xA C 是 的充要条件xC xA D 既不是 的充分条件也不是 必要条件xC xA xA 3 09 广东 设集合 ln 0 My yx x ln 0 Nx yx x 那么 是 的 条件 答案 必要而不充分条件Ma Na 4 下列四个命题中真命题是 答案 若 则 互为倒数 的逆命题 1xy xy 面积相等的三角形全等 的否命题 若 则方程有实根 的逆否命题 1m 2 20 xxm 若 则 的逆否命题 ABB AB 5 已知命题 如果是的充分而不必要条件 那么是的 条件 答案 充分不必要条件 ABA B BA 6 09 辽宁 下列 4 个命题 1 p 0 x 11 23 xx 2 p 0 1 x 11 23 xx 3 p 0 x 1 2 1 log 2 x x 4 p 1 0 3 x 1 3 1 2 x x 其中的真命题是 答案 2 p 4 p 7 下列说法 若一个命题的否命题是真命题 则这个命题不一定是真命题 若一个命题的逆否命题是真命题 则这个命题是真命题 若一个命题的逆命题是真命题 则这个命题不一定是真命题 若一个命题的逆命题和否命题都是真命题 则这个命题一定是真命题 其中正确说法的序号是 8 的 充要 条件 的 必要不充分 条件 00 a ab b 是00 a ab b 是 9 已知命题 函数的值域为 p 2 log 2 5 0 axxy R 命题 函数是减函数 q x ay 25 若或为真命题 且为假命题 则实数 a 的取值范围是 pqpq12a 解 命题为真时 即真数部分能够取到大于零的所有实数 p 故二次函数的判别式 从而 命题为真时 2 2xxa 440a 1a q5212aa 若或为真命题 且为假命题 故和中只有一个是真命题 一个是假命题 pqpqpq 若为真 为假时 无解 若为假 为真时 结果为 pqpq12a 10 设 求证 不同时大于 10 a10 b10 caccbba 1 1 1