512平面向量基本定理与数量积.doc

高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 平面向量基本定理与数量积& 基本知识点（Level A）【1】平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底推论1：三点、共线的充要条件： (为任意点)推论2：向量中三终点共线存在实数使得且有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数、，使得，则_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若，用与表示，则 答案：（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ； ； 答案：（3）已知分别是的边上的中线，且，则可用向量，表示为 答案：（4）已知中，点在边上，且，则的值是 答案：（5）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是 答案：直线【2】向量的数量积的定义1向量的夹角已知两个非零向量与，作, ，则叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）当时，同向；当时，垂直；当时，反向2平面向量的数量积（1）平面向量的数量积已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即零向量与任一向量的数量积为注意数量积是一个实数，不再是一个向量（2）在上的投影称为向量在方向上的投影，它是一个实数，但不一定大于（3）的几何意义数量积等于的模与在上的投影的积_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）中，则 答案：（2）已知，与的夹角为，则等于 答案：（3）已知，则等于 答案：（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为 答案：（5）已知，且，则向量在向量上的投影为 答案：【3】向量的数量积的性质设和都是非零向量，其夹角为，则： 当与同向时，；特别地，或当与反向时， 非零向量，夹角的计算公式：； 当为锐角时，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 【4】向量的数量积的运算律（1）；（2）；（3）提醒： 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)； 向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？_ 经典案例 有疑问随时mail例：下列命题中： ； ； ； 若，则或； 若则； ； ； ； 其中正确的是 答案：【5】向量的平行与垂直设，且，则：（1）；（2） ()特别地：_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）若向量，当 时与共线且方向相同答案：（2）已知，且，则 答案：（3）设，则 时，、共线答案：或（4）已知，若，则 答案：（5）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，则点的坐标是 答案：或（6）已知，向量，且，则的坐标是 答案：或& 拓展知识点（Level B）【1】向量的数量积的运算性质若，（1）（2） (为单位向量)；（3）（，为非零向量）；（4），（向量的模，针对向量坐标求模）；（5）（是与的夹角，可用于判定角是锐角还是钝角）；（6）设，则：_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 答案：或且（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是 答案：（3）已知，与之间有关系式，其中 用表示； 求的最小值，并求此时与的夹角的大小答案：；最小值为，（4）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 答案：【2】向量基本定理与数量积注意点（1）不一定成立；（2）向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小（3）长度为的向量叫零向量，记（或），与任意向量平行，的方向是任意的，零向量与零向量相等，且（4）若有一个三角形，则；此结论可推广到边形（5）若，则有（错误） 当时，而、不一定相等（6），（针对向量非坐标求模），（7）当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都有（8）若，则（错误）当时，不成立（9）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用（10）向量所在直线过的内心，即该直线为的角平分线所在直线（11）向量中的不等式， 特别地，当同向或有：；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).【3】主要思想与方法本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点& 深化知识点（Level C）交流、素材提供 博客：http:/blog.sina.co