三角形的中线、高线、角平分线.doc

三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。1. AD是ABC的BC边上的高线。2. ADBC于D。3. ADB=ADC=90。三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。1. AD是ABC的BC边上的中线。2. BD=DC=BC。三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。三角形的重心在三角形的内部。三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段。1. AD是ABC的BAC的平分线。2. 1=2=BAC。三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部。【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角ABC的高BE，其中画对的是_。甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。这道题是过B点，垂直于AC边。例题2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是_。思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。答案：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm。根据题意，得：或，解得：或根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。所以它的底边是5cm。点评：本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑。最后一定要注意检查结果是否符合三角形的三边关系。分类讨论是解题的关键。例题3 如图，D为ABC中BC边上的任意一点（不与B、C重合），AE和AF分别是ABD和ACD的角平分线。求证：EAF =BAC。思路导航：从三角形的角平分线的定义，你能得到什么呢？AE是ABD的角平分线，得到3=4=BAD；AF是ACD的角平分线，得到1=2=CAD。从需要求证的EAF我们想到它等于3+2，再通过计算，就可以得到结论。答案：AE和AF分别是ABD和ACD的角平分线，3=4=BAD，1=2=CAD，3+2=BAD+CAD=（BAD+CAD）=CAB，来源:即EAF =BAC。点评：三角形的角平分线和角的平分线的用法是一样的，但是它们的概念本质不一样，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。例题4 有一块三角形绿地，现在要把它分成面积相等的四块三角形，请你设计一个可行的方案，并画出示意图。思路导航：根据“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”，结合三角形的中线、等分点的定义去设计方案。答案：如图所示：先找出AC的中点D，再连接DB，再找出DB的中点E，连接AE、CE，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块；如图所示：先找出AB的中点D，再连接DC，再找出DC的中点E，连接AE，找到BC的中点F，连接DF，就可以把三角形的绿地分成面积相等的四块。图 图点评：本题属于方案设计类问题。实质是把一个三角形分成面积相等的四个三角形，“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”是根本依据，还有很多方案，只要满足条件均可。如下图所示：【总结提升】三角形的高、中线和角平分线是三角形的三种重要线段，它们都分别交于一点，且三角形的三条中线和三条角平分线都分别交于三角形的内部；而锐角三角形三条高线都在三角形的内部且相交于一点；直角三角形有两条高分别与两直角边重合，另一条高在三角形内部，它们交于直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高所在直线交于三角形外一点。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。同步测试三角形的中线、高线、角平分线一、选择题*1. 等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把原三角形的周长分成两部分，其差为3cm，则腰长为（ ）A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 3cm*2. 下列四个图形是四位同学画钝角ABC的高AD的示意图，其中正确的是（ ）A. B. C. D. *3. 下列叙述中错误的一项是（ ）A. 三角形的中线、角平分线、高都是线段B. 三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C. 只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D. 三角形的三条角平分线都在三角形内部*4. 如图，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题5. 如图，在ABC中，D是BC边上一点，且BD：DC=2：1，ACD的面积为4，则ABC的面积为_。*6. 如图，在ABC中，已知AD是ABC角平分线，DE是ADC的高线，B60，C45，则ADE的度数为_。*7. 如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O,则BOC与A的关系是（ ）A. BOC 100A B. BOC 90A C. BOC 90A D. BOC 90A 三、解答题*8. 如图所示，在ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，SABC=4cm2，求SABE。“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。*9. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，求B的度数。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。参考答案三角形的中线、高线、角平分线1. B 解析：设腰长为acm，则根据题意有：（a+）（+5）=3或（+5）（a+）=3，解之得：a=8或a=2。但当a=2时，2+25，应舍去。2. D 解析：A中AD不垂直于BC，不符合题意；B中AD应是线段，不符合题意；C中点D应为垂足，不符合题意；D中高AD交BC的延长线于点D处，符合题意。3. C 解析：只有一条高在三角形内部的三角形，除了钝角三角形还有直角三角形。4. C 解析：因为EGAD，交点为H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190。在三角形ABC中，易知BAC180（23），所以190180（23）=（3+2）。又因为1是三角形EBG的外角，所以12G。所以G12（3+2）2（32）。5. 12 解析：等高的两个三角形面积的比等于底的比，因为ACD的面积为4，所以三角形ABC的面积等于12。6. 52.5 解析：在ABC中，B60，C45，所以BAC=180BC1806045=75，又AD是ABC角平分线，所以DAE=75=37.5，在ADE中，AED=90，所以ADE=18090DAE=1809037.5=52.57. B 在ABC中，ABCACBA180，所以ABCACB180A。因为ABC的平分线与ACB的平分线相交于点O,所以1ABC,2ACB。在BOC中，BOC18012 180ABCACB180（ABC