2020届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学（理）试题（PDF解析版）

页 1 第 数学理科试卷 第 I 卷 必做题 共 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卷相应的位置上 1 已知集合 A 1 3 B 3 9 则 AUB 答案 1 3 9 2 如果复数 2 3 bi i b R 的实部与虚部互为相反数 则 b 等于 答案 1 3 下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况 则这五次测试得分的方差为 次数 1 2 3 4 5 得分 33 30 27 29 31 答案 4 4 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料 从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶 则所取 2 瓶中至少有一瓶是 果汁类饮料的概率为 答案 5 6 5 根据如图所示的伪代码 当输入的 a b 分别为 2 3 时 最后输出的 b 的值为 答案 2 6 在平面直角坐标系 xOy 中 已知双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的两条渐近线方程为 y 2x 则该双 曲线的离心率为 答案 5 7 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形 且 AB 3 BC 5 M 是 AA1的中点 则三棱锥 A1 MBC1的体积为 页 2 第 答案 4 8 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 15 30S 7 1a 则 10 S的值为 答案 5 9 若 yf x 是定义在 R 上的偶函数 当x 0 时 sin 0 1 1 1 xx f x f xx 则 5 6 f 答案 1 2 10 已知在 ABC 中 AC 1 BC 3 若 O 是该三角形内的一点 满足 OAOB CA uuu ruuu ruuu r CB uuu r 0 则CO AB uuu r uuu r 答案 4 11 已知sin222cos2 则 2 sinsin2 答案 1 或 8 5 12 已知点 A B 是圆 O 22 4xy 上任意两点 且满足 AB 2 3 点 P 是圆 C x 4 2 y 3 2 4 上任意一点 则PAPB uuu ruu u r 的取值范围是 答案 4 16 13 设实数 a 1 若不等式2x xaa 对任意的实数x 1 3 恒成立 则满足条件的实数 a 的取 值范围是 答案 1 2 U 7 2 14 在 ABC 中 若 tanAtanA tanBtanC 3 则 sinA 的最大值为 答案 21 5 页 3 第 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC 点 P 是棱 AC 的中点 1 求证 AB1 平面 PBC1 2 求证 平面 PBC1 平面 AA1C1C 16 本小题满 分 14 分 已知函数 7 sin sin 412 f xxx 1 求函数 yf x 的最小正周期和单调递增区间 2 当 x 0 时 试求函数 yf x 的最大值 并写出取得最大值时自变量 x 的值 页 4 第 17 本小题满分 14 分 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的四个顶点恰好是一边长为 2 一内角为 60 的菱形的四个顶点 1 求椭圆 C 的方程 2 若直线 y kx 交椭圆 C 于 A B 两点 在直线 l x y 3 0 上存在点 P 使得 PAB 为等边三 角形 求实数 k 的值 页 5 第 18 本小题满分 16 分 某地举行水上运动会 如图 岸边有 A B 两点 BAC 30 小船从 A 点以 v 千米 小时的速度沿 AC 方向匀速直线行驶 同一时刻运动员出发 经过 t 小时与小船相遇 水流速度忽略不计 1 若 v 4 AB 2 km 运动员从 B 处出发游泳匀速直线追赶 为保证在 1 小时内 含 1 小时 能 与小船相遇 试求运动员游泳速度的最小值 2 若运动员先从 A 处沿射线 AB 方向在岸边跑步匀速行进 m 0 m t 小时后 再游泳匀速直线 追赶小船 已知运动员在岸边跑步的速度为 4 千米 小时 在水中游泳的速度为 2 千米小时 试求小船在能 与运动员相遇的条件下 v 的最大值 页 6 第 19 本小题满分 16 分 已知函数 x f xe lng xx 1 设 2 h xg xx 求函数 h x的单调增区间 2 设 0 1x 求证 存在唯一的 0 x 使得函数 yg x 的图像在点 A 0 x 0 g x 处的切线 l 与函 数 yf x 的图像也相切 3 求证 对任意给定的正数 a 总存在正数 x 使得不等式 1 1 f x a x 成立 页 7 第 20 本小题满分 16 分 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 数列 n b满足 11 55ba 52 9ab 当 n 3 时 1n S n b 且 n S 1nn Sb 2n S 成等比数列 nN 1 求数列 n a n b的通项公式 页 8 第 2 求证 数列 n b中的项都在数列 n a中 3 将数列 n a 1 1 nn b b 的项按照 当 n 为奇数时 n a放在前面 当 n 为偶数时 1 1 nn b b 放在前 面进行 交叉排列 得到一个新的数列 1 a 1 2 1 bb 2 3 1 b b 2 a 3 a 3 4 1 b b 4 5 1 b b 这个新数列的 前 n 和为 n T 试求 n T的表达式 页 9 第 第 II 卷 附加题 共 40 分 21 选做题 本题包括 A B C 三小题 请选定其中两题作答 每小题 10 分共计 20 分 解答时应写出 文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 设变换 T 是按逆时针旋转 2 的旋转变换 对应的变换矩阵是 M 1 求点 P 1 1 在 T 作用下的点 P 的坐标 2 求曲线 C y x2在变换 T 的作用下所得到的曲线 C 的方程 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 己知直线的参数方程为 1 1 xt yt t 为参数 圆 C 的参数方程为 cos sin xa ya a 0 为参数 点 P 是圆 C 上的任意点 若点 P 到直线的距离的最大值为21 求实数 a 的值 解 由直线的参数方程为 1 1 xt yt t 为参数 可得2yx 由圆 C 的参数方程为 cos sin xa ya 可得圆的标准方程为 222 xya 求得圆心 O 到直线的距离为2 所以 a 2 21 求得 a 的值为 1 C 选修 4 5 不等式选讲 已知 x y z 均为正数 求证 111xyz yzzxxyxyz 页 10 第 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个 从中任取 2 个都是白球的概率为 5 12 现甲 乙两人从袋中 轮流摸球 甲先取 乙后取 然后甲再取 每次摸取 1 个球 取出的球不放回 直到其中有人取到白 球时终止 用随机变量 X 表示取球终止时取球的总次数 1 求袋中原有白球的个数 2 求随机变量 X 的概率分布及数学期