《概率论与数理统计》习题册(61页).pdf

概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 1 第一章 随机事件与概率 1 1 随机事件 1 写出下列随机试验的样本空间 1 记录一个小班一次数学考试的平均分数 以百分制记分 2 在以原点为圆心的单位圆内任取一点 记录它的坐标 2 设CBA 是三个事件 用CBA 的运算关系表示下列各事件 1 A发生而CB 都不发生 2 BA 都发生而C不发生 3 三个事件恰有一个发生 4 三个事件至少有一个发生 5 三个事件至少有两个发生 6 三个事件不多于两个发生 7 BA C都不发生 3 指出下列命题中哪些成立 哪些不成立 并说明理由 1 BBABA 2 CBACBA 3 BAAB 4 若BA 则ABA 5 若 AB且AC 则 BC 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 2 1 2 随机事件的概率 1 设事件A与B互不相容 3 0 AP 6 0 BP 求 BAP 2 设CBA 是三个随机事件 0 BCPABP 8 1 ACP 4 1 CPBPAP 求CBA 至少有一个发生的概率 3 设 3 1 AP 2 1 BP 在下列三种情况下求 ABP的值 1 AB 2 BA 3 8 1 ABP 4 设 A B 为两个事件 0 5P B 0 3P AB 求 BAP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 3 1 3 古典概型与几何概型 1 一批产品共 10 件 其中一等品 3 件 二等品 5 件 三等品 2 件 现 从中任取 3 件 求 1 恰好有两件一等品的概率 2 至少有 2 件产品 的等级相同的概率 2 从 5 双不同的鞋中任取 4 只 求这 4 只鞋子中至少有两只能配成一双 的概率 3 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去 求杯子中球的最大个数分别为 1 2 3 的概率 4 在区间 1 0 中随机地取两个数 求事件 两数之差的绝对值小于 2 1 的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 4 1 4 条件概率 1 1 已知 2 1 3 1 4 1 BAPABPAP求 BAP 2 已知 5 0 4 0 3 0 BAPBPAP 求条件概率 BABP 2 掷两枚均匀的骰子 已知它们出现的点数各不相同 求其中有一个点数 为 4 的概率 3 假设有 3 箱同型号的零件 分别装有 25 件 20 件 15 件 而一等品分 别有 20 件 18 件 12 件 现在等可能地任选一箱 从中先后各随机抽取 一个零件 第一次取到的放回 1 计算两次都取到一等品的概率 2 已知两次都取到了一等品 求取自第一箱的概率 4 甲袋中有 4 个红球 2 个白球 乙袋中有 5 个红球 3 个白球 从甲袋中任 取 2 球放入乙袋 再从乙袋中任取一球 求 1 乙袋中取得红球的概率 2 已知从乙袋中取到红球 求从甲袋中取到一个红球一个白球的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 5 1 5 事件的独立性 1 72 0 4 0 6 0 3 0 CBPABPCPAP B与C独 立 求 BAP 2 加工一个产品要经过三道工序 第一二三道工序不出废品的概率分别 为 0 9 0 95 0 8 若假定各工序是否出废品是独立的 求经过三道工序生产 出的是废品的概率 3 某种电子元件寿命在 1000 小时以上的概率为 0 8 求 3 个这种元件使 用 1000 小时后 最多只坏了一个的概率 4 甲乙二人轮流投篮 甲先开始 假定他们命中的概率为 0 4 及 0 5 则 甲先投中的概率为多少 乙先投中的概率为多少 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 6 第一章 自测题 一 填空题 1 已知 5 1 5 4 BAPAP 则 BAP 2 设BA 互不相容 且 qBPpAP 则 ABP BAP 3 5 0 4 0 3 0 BAPBPAP 则 ABP BAP 4 1 0 3 P B AP A BP A 则 BP 5 两个相互独立的事件 A B 都不发生的概率为 9 1 A 发生 B 不发生的 概率与 B 发生 A 不发生的概率相等 则 AP 6 一袋中有 2 个黑球和若干个白球 现有放回地摸球 4 次 若至少摸到一 个白球的概率为 81 80 则袋中有 个白球 7 箱中有 6 个球 其中 2 个红球 4 个白球 有放回的从中抽取 4 次 每 次抽取一球 则至少 2 次抽到红球的概率为 8 袋中有 50 个球 20 个黄色 30 个白色 两人依次从中任取一球 取后 不放回 则第二个人取到黄球的概率为 9 某动物出生后活到 20 岁的概率为 0 7 活到 25 岁的概率为 0 56 求现 年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率 10 甲 乙二人各投篮一次 设甲投中的概率为 0 7 乙投中的概率为 0 8 则甲 乙二人至少有一人投中的概率为 11 某机床三分之一的时间加工零件 A 其余时间加工零件 B 加工 A 时 停机的概率为 0 3 加工 B 时停机的概率为 0 4 则机床停机的概率是 二 选择题 1 设 A B 为两随机事件 且AB 则下列式子正确的是 A APBAP B APABP C BPABP D APBPABP 2 设 A B 是两个随机事件 且 1 0ABPABPBPAP 则一定有 A BAPBAP B BAPBAP C BPAPABP D BPAPABP 3 设事件 A 与 B 同时发生时 事件 C 必发生 则正确的结论是 A 1 BPAPCP B 1 BPAPCP C ABPCP D BAPCP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 7 4 掷两颗质地均匀的骰子 出现的点数之和为 7 的概率为 A 6 1 B 9 1 C 12 1 D 18 1 5 一个班级中有 8 名男生和 7 名女生 今要选出 3 名学生参加比赛 则选 出的学生中 男生数多于女生数的概率为 A 65 36 B 65 25 C 15 8 D 3375 1856 6 在某一问卷调查中 有 50 的被访者会立刻答完并上交问卷表 在没有 立刻上交问卷表的被访者中 有 40 的人会在调查人员的电话提醒下 送回问卷表 如果只有 4 人参加这样的问卷调查 则至少有 3 人没有 任何回音的概率为 A 7 03 043 0 34 B 7 03 04 3 C 33 7 03 04 D 3 07 047 0 34 三 计算题 1 一间宿舍中住有 6 名学生 计算下列事件的概率 假定每人生日在各个 月的可能性相同 1 6 个人中至少 1 人生日在十月份的概率 AP 2 6 个人中恰好有 4 个人的生日在十月份的概率 BP 3 6 个人中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率 CP 2 在分别写有 1 2 3 4 5 这五个数字的卡片中不放回地抽取 2 次 每次 1 张 求 1 第 1 次取到奇数卡的概率 2 已知第 1 次取到的是偶数卡 求第 2 次取到奇数卡的概率 3 第 2 次才取到奇数卡的概率 4 第 2 次取到奇数卡的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 8 3 有枪 8 支 其中 5 支经过试射校正 校正过的枪 击中靶的概率为 0 8 未经校正的枪 击中靶的概率是 0 3 今任取一支枪射击 结果击中靶 问此枪经过试射校正的概率是多少 4 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为 0 96 问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0 999 5 设有甲 乙 丙三门炮 同时独立地向某目标射击 各炮的命中率分别 为 0 2 0 3 和 0 5 目标被命中一发而被击毁的概率为 0 2 被命中两 发而被击毁的概率为 0 6 被命中三发而被击毁的概率为 0 9 求 1 三门炮在一次射击中击毁目标的概率 2 在目标被击毁的条件下 只有一门炮击中目标的概率 6 把长为l的棒任意折成 3 段 求此三段能构成一个三角形的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 9 7 在空战训练中 甲机先向乙机开火 击落乙机的概率为 0 2 若乙机未 被击落 就进行还击 击落甲机的概率是 0 3 若甲机也没被击落 则 再进攻乙机 此时击落乙机的概率是 0 4 求这几个回合中 1 甲机 被击落的概率 2 乙机被击落的概率 8 设随机事件A与B相互独立 证明A与B也相互独立 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 10 第二章 随机变量的分布与数字特征 2 1 随机变量及其分布 1 离散型随机变量X的概率分布为 1 100 1 2 iaiXP i 2 2 1 2 iaiXP i 分别求 1 和 2 中a的值 2 袋中有 5 个黑球 3 个白球 每次抽取 1 个不放回 直到取得黑球为止 记X表示取到白球的数目 求X的分布 3 设随机变量 其它 0 20 xbax xfX 且25 0 31 XP 求 1 ba 2 5 1 XP 4 设 随 机 变 量 其它 0 1 2 10 axx xx xfX 求a及 2 2 1 XP 2 2 2 XP和 2 XP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 11 5 某 电 子 元 件 的 寿 命X是 随 机 变 量 其 密 度 函 数 为 100 0 100 100 2 x x xxf 三个元件串联在一个线路中 计算这三个元件 使用 150 小时后仍能使线路正常工作的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 12 2 2 随机变量的数字特征 1 某自动流水线在单位时间内生产的产品中 含有次品X个 已知X的 分布如下 X 0 1 2 3 4 5 p 1 12 1 6 1 4 1 4 1 6 1 12 1 求该流水线在单位时间内生产的次品数的数学期望及方差 2 求 2 2 E X 2 4 人进行射击比赛 每人发射 4 发 在射击时 约定某人全部不中得 0 分 只中一弹得 15 分 中两弹得 30 分 中三弹得 55 分 中四弹得 100 分 四 人射击的命中率都为 0 6 求 4 人射击总得分的数学期望 3 设某企业生产线上的产品合格率为 0 96 不合格的产品中只有 3 4 产品 可进行加工 且再加工后的合格率为 0 8 其余均为废品 设每生产一件 合格品可获利 80 元 每生产一件废品亏损 20 元 为保证该企业每天平均 获利不低于 2 万元 问企业每天至少生产多少产品 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 13 4 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 求 2X eXE 5 设随机变量X的密度函数为 其他 0 21 2 10 xx xx xf 求 EXXE 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 14 2 3 常用的离散型分布 1 某人投篮命中率为 0 7 现在连续投篮 20 次 计算投中率至少为 90 的 概率 2 已知随机变量 pnbX 6EX 4 2DX 求n和p 3 设 随 机 变 量X服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 且 满 足 1 2 1E XX 求 4 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布 计算 2 P XEX 5 一个计算机公司生产一种型号的微型芯片 每一芯片有 0 1 的概率为 次品 且各芯片是否成为次品是相互独立的 求 1000 块芯片中至少有两块 是次品的概率 用泊松定理近似计算 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 15 2 4 常用的连续型分布 1 已知 2 2 UX 2 21YX 求EY及DY 2 设 5 2 UX 现在对X进行 3 次独立观测 求至少有两次观测值大 于 3 的概率 3 3 个电子元件并联成一个系统 只有当两个或两个以上电子元件损坏时 系统才报废 已知电子元件的寿命为随机变量 1000 1 eX 求系统的 寿命在 1200 小时以上的概率 4 设 随 机 变 量 2 NX 已 知 1 6 0 036P X 5 9 0 758P X 求 0 P X 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 16 2 5 随机变量函数的分布 1 设随机变量X的分布函数为 0 1 0 2 10 0 5 01 0 9 12 1 2 x x F xx x x 求 2 YX 的 分布律 2 设随机变量 02 2 0 X x x Xfx 其它 求23YX 的密度函数 3 设随机变量 X 服从区间 0 2 上的均匀分布 求随机变量 2 YX 的密 度函数 4 设随机向量 X 服从参数为 2 的指数分布 证明 2 1 X Ye 服从区间 0 1 上的均匀分布 5 随机变量 1 0 NX 证明 1 1 1NXY 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 17 第二章 自测题 一 填空题 1 若 2 NX 则 X 服从 分布 2 设随机变量的概率密度为 0 3 3x e xf 0 0 x x 则 EX 2 12 XE 3 设随机变量 X 的分布函数为 arctan xBAxF x 则 A B 4 设随机变量 2 0 U 则方程012 2 xx 没有实根的概率为 5 连续型随机变量X的概率密度满足 Rxxfxf 其分布函 数为 xF 则对任意正数a 有 aXP 用分布 函数表示 6 若随机变量X的概率密度为 xfX 则随机变量XY3 的概率密度 yfY 7 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 2 1 4 3 iaiXP i 则 a 8 随机变量X的分布函数 2 1 20 8 0 01 4 0 1 0 x x x x xF 则X的分布律为 9 12 人小组中 有 5 名 三好生 从中任选 6 人参加竞赛 用X表示 6 人中 三好生 的人数 则 42 XP 10 已 知 连 续 型 随 机 变 量 其它 0 20 2 1 x xfX 则 0 5 P 3 X 11 连 续 型 随 机 变 量X的 分 布 函 数 2 0 2 1 2 x x x A xF 则 A 40 XP 密度函数 xf 12 若 0 0 0 2 x xe xfX x 则 100 XP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 18 二 计算题 1 已知随机变量X的密度函数 其它 0 0 sin axx xf 求 1 a 2 3 XP 3 分布函数 xF 2 设连续型随机变量X的分布函数为 1 1 11 2 1 arctan 2 1 0 x xx x xF 求 1 X的密度函数 2 DXEX 3 设随机变量X的密度函数 其它 0 10 2 xx xf 求 X eY 2 的期望 与方差 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 19 4 已 知 随 机 变 量X的 概 率 分 布 为 4 03 01 02 0 2101 P X 求 2 14XZXY 的概率分布 5 已知随机变量 1 0 NX 求 X eY 的密度函数 三 应用题 1 袋中有 7 个球 其中 4 个红球 3 个黑球 现从袋中任取 3 个球 求取 出的红球数X的概率分布以及取出不少于 2 个红球的概率 2 已知某种机器零件的寿命X 单位 千小时 是一个连续型随机变量 其密度函数为 0 0 0 x xe xf x 每个零件的成本为 2 元 假设每 个零件的售价为 5 元 并且当零件的寿命低于 900 小时时厂家将退还 全部货款 求该厂家售出每个零件的期望利润 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 20 3 校对一份 5 页的稿件 假定每页的错误数服从参数为 2 的泊松分布 求 1 恰有一页错误数不超过 1 个的概率 2 至少有一页错误数不超 过 1 个的概率 4 假设某居民区每个用户的煤气月使用量服从正态分布 平均用量为 39 5 立方米 标准差为 10 立方米 试求在该居民区随意调查的三个用户中 有两户的煤气用量都在 25 到 30 立方米之间的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 21 第三章 随机向量 3 1 随机向量的分布 1 设二维随机向量 YX的概率分布为 Y X 0 1 2 0 a 0 2 0 2 1 0 3 0 1 0 1 求 1 a的值 2 X Y的边缘分布 3 P XY 4 0 XYP 5 1 0 F 2 把一枚均匀的骰子独立地抛掷两次 X 表示第一次出现的点数 Y 表示 两次出现的点数的最大值 求 1 YX的概率分布 2 X Y的边 缘分布 3 P XY 4 2 P XY 3 设 YX服从 10 20 yxyxG上的均匀分布 求 1 YX的概率密度函数 2 X和Y的边缘密度函数 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 22 4 设随机向量 YX的密度函数为 2 01 02 0 xcxyxy f x y 其他 求 1 常数c 2 1 P XY 3 X和Y的边缘密度函数 5 设随机向量 YX的密度函数为 2 01 0 kxyyx f x y 其他 求 1 k 2 X和Y的边缘密度 3 3 1 XP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 23 3 2 条件分布与随机变量的独立性 1 一个袋内装有 5 个白球 3 个红球 第一次从袋内任意取一个球 不放 回 第二次又从袋内任意取两个球 i X表示第 i 次取到的白球数 i 1 2 求1 2 X的条件下 1 X的条件分布 2 随机向量 YX只取 2 1 1 1 0 0 及 0 2 四对值 相应概 率依次为 12 5 3 1 6 1 12 1 试判断随机变量 X 与 Y 是否独立 3 设二维随机向量 YX的密度函数为 其他 10 10 0 2 yxCxy yxg 求常数 C 并判断 X 与 Y 是否独立 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 24 4 设二维随机变量 YX 的概率密度函数 其他 0 0 yxe yxf y 1 求YX 的边缘密度函数 2 判断YX 是否独立 3 求在yY 的条件下 X的条件概率密度函数 4 求 12 YXP 5 求 4 2 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 25 3 3 随机向量函数的分布与数学期望 1 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 X Y 的概率分布分别为 X 0 1 Y 1 2 p 4 1 4 3 p 5 2 5 3 试求 1 二维随机向量 YX的分布 2 随机变量YX 与 XY 的概率分布 2 设二维随机向量 YX服从 10 20 yxyxD上的均 匀分布 求XYZ 的密度函数 3 已 知 二 维 随 机 向 量 YX的 分 布 如 习 题 1 1 所 示 求 YXEEXYEYEX 4 已知 YX的密度函数为 其他 10 20 0 31 4 1 2 yx yx yxf 试求EX EY 及 YXE EXY 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 26 3 4 随机向量的数字特征 1 已知随机向量 YX的概率分布为 8 18 18 11 8 108 10 8 18 18 11 101 X Y 1 求X与Y的协方差矩阵以及相关系数 2 X与Y是否相互独立 是否不相关 2 设 YX服从二元正态分布 5 0 4 1 1 0 N 求 32 2 XYXE 3 已知 9 2 NX 4 2 Y 5 EXY 求 1 32 YXD 2 cov YXYX 4 设二维随机变量 YX 的概率密度函数为 其他 0 2020 8 1 yxyx yxf 求 YXDEYEX XY 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 27 3 5 大数定律和中心极限定理 1 一盒同型号螺丝钉共有 100 个 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机 变量 期望值是 100 克 标准差是 10 克 求一盒螺丝钉的重量超过 10 2 千克的概率 2 已知一本 300 页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布 2 0 P 求 这本书的印刷错误总数不超过 70 的概率 3 某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一 为此 一家 保险公司决定在这个城市中新开一种交通事故险 每个投保人每年缴纳 18 元保险费 一旦发生事故 投保人将得到 1 万元的赔偿 经调查 预计有 10 万人会购买这种保险 假设其他成本为 40 万元 问保险公司亏本的概 率多大 平均利润多少 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 28 第三章 自测题 一 填空题 1 若 YX的概率分布如下表所示 则 a b 应满足的条件是 若 X 和 Y 独立 则 a b 2 设随机向量 YX的密度函数 其他 0 20 11 yxc yxf 则 c 0YXP 3 设随机变量YX 相互独立 且 3 1 1 2 1 1 YPXP 则 1 1 YXP 4 设 YX的密度函数 其他 0 10 8 yxxy yxf 则在 10 yyY的条件下X的条件密度函数为 yxf YX 5 设随机变量 3 0 10 bX 7 1 UY 且X与Y相互独立 则 2 2 YXYE 6 设 YX为二维随机向量 且6 0 36 25 YX YDXD 则 YXD 2 YXD 7 设随机变量 4 2 1 3 NYNX 且X与Y相互独立 则 112 YX 二 选择题 1 若二维随机向量 YX满足EYEXXYE 则 A DYDXXYD B YXDYXD C X与Y相互独立 D X与Y不相互独立 2 设随机变量X与Y独立同分布 且 5 011 YPXP X Y 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 a b 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 29 5 011 YPXP 则 A YX B 25 0 YXP C 5 0 YXP D 1 YXP 3 设随机变量 21 X X的概率分布为 2 1 4 12 14 1 101 i P Xi 且 10 21 XXP 则 21 XXP A 0 B 1 4 C 1 2 D 1 4 设两个相互独立的随机变量X和Y分布服从正态分布 1 0 N和 1 1 N 则下列结论正确的是 A 5 00 YXP B 5 01 YXP C 5 00 YXP D 5 01 YXP 5 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 10 41 NYNX 令 YXZ 则 2 EZ A 1 B 4 C 5 D 6 6 已知随机变量YX 不相关 有关数字特征均存在 则以下结论中不成 立的是 A 0 Cov YX B DDYDXYX C DYDXXYD D EYEXXYE 7 若X与Y的相关系数0 XY 则表示X与Y A 相互独立 B 不线性相关 C 存在常数ba 使得1 baXYP D EY EX Y X E 三 计算题 1 设袋中有 4 个球 分别标有号码 1 2 3 4 现从中每次任取 1 个球 不放 回抽取两次 YX 分别表示取出的球上的最小号码和最大号码 求 YX的概率分布并判断X与Y的独立性 计算DYDXEYEX 2 设二维随机向量 YX的概率分布为 Y X 1 0 1 0 0 1 0 25 0 3 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 30 1 0 15 0 1 0 1 试求 1 YX 的边缘分布 2 cov YX YXD 和 XY 3 设A B为两个随机事件 且 4 1 AP 3 1 ABP 2 1 BAP 令 不发生 发生 A A X 0 1 不发生 发生 B B Y 0 1 求 1 二维随机变量 YX的概率分布 2 X与Y的相关系数 XY 3 22 YXZ 的概率分布 4 设随机变量X在区间 10 上服从均匀分布 在 10 xxX的条件 下 随机变量Y在区间 0 x 上服从均匀分布 求 1 随机变量X和Y 的联合概率密度 2 Y的概率密度 3 概率 1 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 31 5 设随机向量 YX的密度函数为 其他 0 10 2 yxyx yxf 1 求YX 的边缘密度函数 并判断YX 是否相互独立 2 求 1 YXP 3 求 XYE 6 为方便计算 在进行加法运算时 对每个加数都四舍五入取到百分位 其各加数的舍入误差可以认为是服从 105 0105 0 22 上均匀分 布的相互独立的随机变量 现有 100 个加数相加 试以 99 7 的概率断 定其误差所在的范围 aa 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 32 第四章 数理统计的基础知识 4 1 总体与样本 4 2 统计量 1 设容量9 n的样本的观察值为 8 7 6 9 7 7 5 8 6 则样 本均值X与样本方差 2 S分别为多少 2 设 n XXX 2 1 是取自总体X的样本 2 SX分别为样本均值与样本 方差 假定DXEX 2 均存在 试求 2 ESXDXE 3 1 设总体X服从参数为 的泊松分布 n XXX 21 是来自总体 的样本 试写出样本的概率分布 2 设总体X服从参数为 的指数分布 n XXX 21 是来自总体的 样本 试写出样本的概率密度函数 4 3 常用的统计分布 4 4 抽样分布 1 设总体X服从正态分布 4 5 42 2 N 从总体X中随机抽取一容量为 25 的样本 求样本均值X落在 40 8 到 43 8 之间的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 33 2 设 4321 XXXX是来自正态总体 2 0 2 N的简单随机样本 2 43 2 21 43 2 XXXXX 若统计量X服从 2 分布 试计 算 的值 3 假设总体X与总体Y相互独立且都服从 3 0 2 N 921 XXX 和 921 YYY 是 分 别 来 自 总 体X和Y的 样 本 试 证 明 统 计 量 9 2 9 2 2 2 1 921 t YYY XXX T 4 设 1234 XXXX是 来 自 正 态 总 体 2 0 2 N的 样 本 令 统 计 量 22 1234 YXXXX 若CY 2 2 求常数C 5 设 81 XX 和 101 YY 分别是取自总体 5 2 2 1 2 NN和 的样 本 且相互独立 2 2 2 1 SS 和分别是两个样本的样本方差 试求 2 2 2 1 4 5 S S 服从的 分布 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 34 第四章 自测题 一 选择题 1 12 n XXX是来自正态总体 2 NX的样本 其中 已知 未知 则下列不是不是统计量的是 A k nk X 1 max B X C 1 n k k X D 1 min k k n X 2 设随机变量X的密度函数为 2 1 4 3 2 x exf x 则服从 1 0 N分布的随机变量为 A 2 3 X B 2 3 X C 2 3 X D 2 3 X 3 X服从正态分布 1 EX 4 2 EX n XXX 21 是来自总体 X的样本 n i i X n X 1 1 则X服从的分布为 A 3 1 n N B 4 1 n N C 4 1 n N D 3 1 nn N 4 设 0 2 NX 则服从自由度为1 n的t分布的随机变量是 A S Xn B S Xn C 2 S Xn D 2 S Xn 5 设总体 9 0 16 0 NYNX YX 相互独立 921 XXX 和 1621 YYY 分别为来自X和Y的样本 则 2 16 2 2 2 1 2 9 2 2 2 1 YYY XXX 服从的分布为 A 9 16 F B 16 9 F C 9 9 F D 16 16 F 6 设X 2 N 其中 已知 2 未知 321 XXX是样本 则下列 选项中不是不是统计量的是 A 321 XXX B max 321 XXX C 3 1 2 2 i i X D 1 X 7 设 2 NX 且 已知 2 未知 n XXX 21 是X的一个容 量为n的样本 下列各式中哪个不是不是统计量 A 21 XX B 5 1 n i i X C n i i X 1 2 D 1 X 8 假 设 总 体 2 1 2 1 UX其 中 为 未 知 参 数 又 假 设 n XXX 21 是来自总体X的一组样本 令 n i i X n Y 1 2 1 则当 为 时 Y不是不是统计量 A n i i X n1 1 B i ni X 1 max C EX D DX 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 35 9 设 1 0 NX n i i X n X 1 1 n i i XX n S 1 22 1 1 服从自由 度为1 n的 2 分布的随机变量是 A n i i X 1 2 B 2 S C 2 1 Xn D 2 1 Sn 10 设 n XXX 21 为来自正态总体 2 N简单随机样本 X是样本 均 值 记 2 1 2 1 1 1 XX n S n i i 2 1 2 2 1 XX n S n i i 2 1 2 3 1 1 n i i X n S 22 4 1 1 n i i SX n 则服从自由度为1 n 的t分布的随机变量是 A 1 1 nS X t B 1 2 nS X t C nS X t 3 D nS X t 4 11 设 n XXX 21 是取自总体 1 0 N的样本 SX 分别为样本均值与 样本标准差 则下列正确的是 A 1 0 NX B 1 0 NXn C 2 1 2 nX n i i D 1 ntSX 12 设 1621 XXX 是取自总体 1 2 NX的样本 X为样本均值 已知 1 0 NbXaY 则有 A 4 4 ba B ba C 4 4 ba D ba 13 设总体X与Y相互独立 且都服从 0 2 N 321 XXX和 4321 YYYY分别是来自X和Y的样本 则统计量 4 1 3 1 2 i i i i YY X 服从的 分布为 A 01 N B 3 3 F C 4 3 F D 3 t 二 填空题 1 设 n XXX 21 是来自总体 3 1 2 NX的一个简单随机样本 X是 样本均值 则 XE XD 2 设 105 110 120 125 118 为总体X的一组样本值 则样本均值 X 样本方差 2 S 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 36 3 设 421 XXX 是来自总体的一个简单随机样本 总体 2 nX X是样本均值 则 XE XD 4 设 4321 XXXX是来自总体 2 NX的一个简单随机样本 令 2 1 2 43 i i X XX W 则 W 需指明自由度 5 设 总 体 n XXNX 31 2 0 是 取 自 总 体 的 一 个 样 本 则 2 2 3 2 22 2 12 2 2 2 2 2 1 nnn n XXX XXX Y 服从 分布 需指明自由度 6 设 n XXX 21 是取自两点分布总体 1 pb的样本 则 n i i X 1 的分布为 当n很大时 样本均值X近似服从 分布 7 设 91 XX 是取自总体 0 2 N的样本 则统计量 4 1 5 1 9651 XXXXY 服从的分布为 8 设 54321 XXXXX是来自总体 0 2 NX的一个简单随机样 本 若 2 5 2 4 2 3 21 XXX XXa 服从t分布 则 a 三 计算题 1 假设样本 n XXX 21 来自正态总体 2 10 2 N 样本均值X满足概 率等式95 0 98 1002 9 XP 试确定样本容量n的大小 2 已知总体X和Y相互独立 且 5 20 3 20 NYNX 分别在总 体X和Y中抽取25 10 nm的简单随机样本 X Y分别为X和 Y的样本均值 试求 3 0 YXP 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 37 3 设 n XXX 21 是来自正态总体 2 0 2 N的简单随机样本 试求系数 cba使得统计量 2 9876 2 543 2 21 XXXXcXXXbXXaW 服从 2 分布 并求自由度 四 证明题 1 已知 121 nn XXXX 是取自正态总体 2 N的样本 试证明 1 0 1 1 2 1 1 1 n n NX n XY n i in 2 已知 ntX 证明 1 2 nFX 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 38 第五章 参数估计与假设检验 5 1 点估计概述 1 设总体 2 NX 其中 未知 2 已知 又设 n XXX 21 是来自总体X的样本 试指出以下各量是不是统计量 在统计量中哪些是 的无偏估计量 并说明理由 1 321 6 1 3 2 2 1 XXX 2 2 3 1 2 X 3 3 X 4 n i i X 1 2 2 2 假设总体 X 服从参数为 的泊松分布 n XXX 21 是来自总体 X 的简单随机样本 其均值为X 样本方差 n i i XX n S 1 22 1 1 已知 2 32 SaXa 为 的无偏估计 计算 a 3 设 是 的无偏估计量 且有0 D 证明 2 不是 2 的无偏估计 4 设 n XXX 21 是来自于总体 1 N的简单随机样本 试证估计量 3 2 3 1 3 2 3211 XXX 3 1 3 1 3 1 3212 XXX 3213 2 1 2 1 XXX 均是 的无偏估计量 并指出哪一个估计量最为有效 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 39 5 2 参数的最大似然估计与矩估计 1 设 n XXX 21 是来自总体X的简单随机样本 试求下列总体分布 中未知参数的矩估计与最大似然估计 1 X的密度函数为 0 10 1 其他 xx xf 1 为未知参 数 2 X服从参数为 的指数分布 0 为未知参数 3 X服从参数为 的泊松分布 0 为未知参数 2 总体X具有分布律 22 1 1 2 321 P X 其中 10 为 未知参数 已知随机抽样取得样本值1 2 1 321 xxx 试求参数 的 矩估计值和最大似然估计值 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 40 5 3 置信区间 1 为了对完成某项工作所需时间建立一个标准 工厂随意抽选了 16 名有 经验的工人分别去完成这项工作 结果发现他们所需的平均时间为 13 分钟 样本标准差为 3 分钟 假定完成这项工作所需的时间服从正态 分布 试确定完成此项工作所需平均时间的 95 置信区间 2 随机地从一批零件中抽取 16 个 测得长度 cm为 2 14 2 10 2 13 2 15 2 13 2 12 2 13 2 10 2 15 2 12 2 14 2 10 2 13 2 11 2 14 2 11 设零件长度分布为正态分布 试求总体 的 90 的置信区间 1 若0 01 cm 2 若 未知 3 从某校初一年级中随机抽取 20 名学生 他们的数学期末考试成绩为 81 84 74 98 66 99 84 97 92 69 48 87 72 100 84 88 41 55 49 64 设该年级学生的数学成绩X服从正态分布 2 N 求 1 该年级学生的数学平均成绩 的 95 的置信区间 2 该年级学生数学成绩的方差 2 的 95 的置信区间 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 41 5 4 假设检验概述 5 5 单正态总体的参数假设检验 1 某电器零件的平均电阻一直保持在 64 2 标准差保持在 06 0 改 变加工工艺后 测得100个零件 其平均电阻为 62 2 标准差不变 问 新工艺下此零件的平均电阻有无显著变化 05 0 2 某机床生产某种型号零件的直径 单位 mm 在正常状态下服从正态 分布 2 30 N 某日开工后测得 6 件该型号零件的直径分别为 28 27 31 29 30 27 mm 根据测试结果判断该天机床工作是否正常 05 0 3 9 名测量人员独立测量同一块土地 分别得到面积数据为 单位 2 km 1 24 1 29 1 28 1 26 1 22 1 28 1 26 1 27 1 25 设测量值服从正态分布 由观测数据能否说明这块土地面积超过1 26 2 km 05 0 4 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 且标准差为 0 048 从某 天产品中抽取 5 根纤维 测得其纤度为 1 32 1 55 1 36 1 40 1 44 问这一天纤度的总体方差是否正常 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 42 5 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常条件下服从正态分布 108 0 2 N 现对操作工艺进行了某些改进 从中抽取 5 个样品 测得含碳量为 4 421 4 052 4 357 4 287 4 683 据此是否可以认为新工艺炼出的 铁水含碳量的方差仍为 2 108 0 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 43 5 6 双正态总体的参数假设检验 1 设甲 乙两台车床生产同一种产品 今从甲车床生产的产品中抽取 30 件 测得平均重量为 130 克 从乙车床生产的产品中抽取 40 件 测得平 均重量为 125 克 假定两台车床生产的产品的重量都服从正态分布 方差 分别为80 60 2 2 2 1 问在显著性水平05 0 下 两台车床生产的 产品重量是否有显著差异 2 甲 乙两厂生产同种灯泡 其寿命YX 分别服从正态分布 2 11 N 2 22 N 已知他们寿命的标准差分别为 84h 和 96h 现从两厂生产的 灯泡中各取 60 只 测得平均寿命分别为 1295h 和 1230h 能否认为甲厂生 产的灯泡的寿命比乙厂生产的灯泡的寿命长 05 0 3 有甲 乙两台机床加工相同的产品 从这两台机床加工的产品中随机地 抽取若干件 测量它们的直径 单位 mm 数据如下 397 0 20 7 216 0 925 19 8 2 22 2 11 synsxn 试比较甲 乙两台机床加工的产品直径均值有无显著差异 假定两台机床 加工的产品直径都服从正态分布 且总体方差相等 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 44 第五章 自测题 一 填空题一 填空题 1 设总体X的均值 EX 方差 2 DX 其中 是未知参数 n xxx 21 是 来 自X的 一 组 样 本 观 测 值 则 的 矩 估 计 为 2 的矩估计为 2 2 已知总体X服从参数为 的泊松分布 n xxx 21 是来自 X 的一组样 本观测值 则 的矩估计为 3 设总体X的密度函数 其他0 10 1 xx xf 0 是未知参 数 n xxx 21 是来自X的一组样本观测值 则似然函数 L 4 设总体X的均值 EX 方差1 DX 23 321 XXXk 为 的一个估计量 其中 321 XXX为X的样本 k为常数 则当 k 时 为 的无偏估计量 此时 D 5 设 为总体X的未知参数 21 为统计量 若 21 为 的置信度 为 10 1 的置信区间 则 21 P 6 一名汽车销售经理正在考虑采取一种新型的奖励计划以提高销售量 目 前 平均每月销售 14 辆汽车 经理通过研究想知道这种新型的奖励计 划能否增加销量 在该项研究中 合适的原假设和备择假设为 7 假设检验的实际推断原理是 8 设 101 xx 是来自 2 N的样本 其中 2 未知 考虑假设检验问 题10 10 10 HH 显著水平05 0 则此检验的拒绝域 为 26 2 9 025 0 t 二 判断题二 判断题 1 设总体X的密度函数为 xf是未知参数 对于总体的一组样本观 测值 21n xxx 则 n i i xf 1 是参数 的函数 2 最大似然估计就是要找出一个估计量 使得似然函数的对数取最大 值 即 lnmax ln LL 3 对于给定的置信度 任一未知参数的置信区间都是唯一的 4 对于任一总体X 样本方差 n i i XX n S 1 22 1 1 都是总体方差 2 的无偏估计量 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 45 5 任一总体的未知参数 的最大似然估计量一定是无偏估计量 6 假设检验中 若检验法选择正确 且计算无误 则计算精确就可避免做 出错误判断 三 计算题三 计算题 1 设总体 2 2 NX 321 XXX是它的样本 试问 32123211 12 5 4 1 3 1 7 2 7 3 7 2 XXXXXX 213 6 1 3 1 XX 3 2 1 X 是否都是 的无偏估计量 并问哪个估计量最有效 2 用最大似然估计法估计几何分布 1 1 k ppkXP 2 1 k 中的未知参数 p 3 设总体X的密度函数为 xexf x 2 1 0 为未 知参数 n xxx 21 是X的一组样本值 试求 的最大似然估计 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 46 4 某工厂滚珠车间 根据长期实践经验 滚珠直径服从正态分布 05 0 2 N 现从生产的滚珠中任取 6 个 测得直径为 1 152 158 149 141 156 11 试求该车间生产的滚珠直径的均值的置信区间 05 0 5 某食品公司连续统计了 12 个月的猪肉销售量 单位 吨 数据如下 45 42 39 36 5 42 43 5 39 5 42 40 46 5 43 45 假设猪肉的销售量X服从正态分布 试求其方差 2 的置信区间 05 0 四 应用题四 应用题 1 某厂生产的电池的寿命均值一直稳定在 30 小时 今用新工艺生产电 池 假定其寿命 2 NX 参数均未知 从用新工艺生产的电池 中随机地抽取 9 个 测得 9 32 2 sx 1 求 的置信度为 0 95 的置信区间 2 与以往相比 用新工艺生产的电池的寿命均值是否有显著提高 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 47 2 某洗衣粉包装机 在正常工作情况下 每袋标准重为 1000 克 标准差 不能超过 15 克 假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布 某天为检查机器 工作是否正常 从已包装好的洗衣粉中 随机地抽查 10 袋 测得净重 克 为 950 982 976 998 1048 1014 994 968 1030 1020 问这天机器工作是否正常 05 0 3 从甲 乙两校的高考英语试卷中各抽 27 份和 26 份 其英语平均分分别 为 67 分和 71 分 假定两校学生的高考英语成绩均服从正态分布且标 准差均为 8 分 试问两校高考英语成绩有无显著差异 05 0 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 48 4 有两台车床生产同一型号的滚珠 根据以往经验 这两台车床生产的滚 珠的直径服从正态分布 现在从这两台车床生产的产品中分别抽取 8 个和 9 个 测得滚珠的直径的标准差分别为 7 67 0 和 8 21 0 问乙车床 产品的方差是否比甲车床的小 05 0 20201515 20201616 学年第学年第 1 1 学期 学期 概率论概率论与数理统计与数理统计 期中期中试卷试卷 一 一 1212 分 分 设一仓库中有 10 箱同种规格的产品 其中由甲 乙 丙三厂 生产的分别为 5 箱 3 箱 2 箱 三厂产品的次品率依次为 0 1 0 2 0 3 从 这 10 箱中任取一箱 再从这箱中任取一件 求这件产品为正品的概率 若取出的产品为正品 它是甲厂生产的概率是多少 二 二 1 13 3 分 分 调查某单位得知 购买空调的占 15 购买电脑占 12 购 买 DVD 的占 20 其中购买空调与电脑占 6 购买空调与 DVD 占 10 购 买电脑和 DVD 占 5 三种电器都购买占 2 求下列事件的概率 1 至少购买一种电器的 2 至多购买一种电器的 3 三种电器都没购买 的 三 三 1212分分 设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 函 数 为 2 1 xexf x 求 1 X的概率分布函数 2 X落 在 5 10 内的概率 概率论与数理统计 同步练习册 班级 姓名 学号 49 四四