高二数学曲线和方程.doc

曲线和方程曲线和方程（1）一、知识小结1曲线和方程的概念：在直角坐标系中，如果曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与方程的实数解集之间具有以下两个关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么曲线上的点与方程的解是一一对应的，此时把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线定义中条件（1）说明曲线上没有哪个点的坐标不满足方程，即曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外，即曲线具有纯粹性；条件（2）说明适合条件的点都有在这条曲线上而无一遗漏，也就是说曲线具有完备性由曲线与方程的关系可以知道，曲线的方程实质就是这条曲线上的任意一点的横坐标与纵坐标之间的等量关系注意点：数形结合分析问题2点与曲线的关系的判断：若曲线的方程，则点，即要判断一个点是否在曲线上，只要把点的坐标代入曲线方程，如果满足方程，则点在曲线上；如果不满足方程，则点不在曲线上注意点：用代入法来解决问题3求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（建系）；（2）设曲线上任意一点的坐标为（设点）；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（列式）；（4）用坐标，表示这个等式，并化方程为最简形式（化简）；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（证明）注意点：要检验，防止出现增解或失解4求曲线的方程的一般方法：（1）直接法：根据题意与条件，设出动点坐标，直接列出相关等式，然后化简得结果；（2）代入法：设出动点坐标，然后找出相关点的联系，利用相关点的规律，从而得出动点之间关系的等式；注意点：过程中要保持等价变形，这样可省略检验环节5曲线的交点的求法：如果曲线、的方程分别为、，则点是曲线、交点的充要条件是由曲线上点的坐标和它的方程的实数解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点因此，求曲线的交点坐标就是求曲线的方程所组成的方程组的解注意点：代数与几何方法要结合6解析几何的本质：用代数的方法来研究几何问题，具体来说就是用方程的思想来解决曲线的问题其中会涉及两个主要问题：（1）已知曲线，求相应的方程；（2）已知方程，画出相应的曲线，并研究其相关的性质二、应用举例：例1、方程的曲线过原点的条件是 例2、到两坐标轴距离的积为2的动点轨迹方程是 例3、已知定点，为曲线上一个动点，那么线段中点的轨迹方程是_曲线和方程曲线和方程（2）一、应用举例例4、设为曲线上一动点，为坐标原点，为线段中点，则点的轨迹方程是_例5、直线被曲线截得的线段长是_例6、已知直线与曲线（1）当直线被曲线截得的线段长为时，直线方程是_；（2）直线与曲线相交而得交点的中点轨迹方程是_例7、长为的线段的两端点分别在直线和上运动，则线段中点的轨迹为 例8、若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限，则实数的取值范围为_例9、已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足，则动点的轨迹方程为 例10、直线交曲线于、两点，若弦中点的横坐标为2，则_曲线和方程（3）一、应用举例：1选择题例11、直线关于直线对称的直线方程是（ ）（A）（B）（C）（D）例12、设有一组圆，则下列四个命题中正确的是（ ）（A）存在一条定直线与所有的圆均相切（B）所有的圆均不经过原点（C）存在一条定直线与所有的圆均不相交（D）存在一条定直线与所有的圆均相交例13、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于，两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是（ ）（A）（B）（C）（D）例14、直线与曲线且的公共点的个数为( )（A）1（B）2（C）3（D）42解答题例15、（1）求曲线关于点对称的曲线的方程；（2）若直线与曲线的两个交点的横坐标之和为零，求的值例16、已知动点到定点和直线的距离之和等于4，求点的轨迹方程曲线和方程（4）一、应用举例：1解答题例17、已知的两个顶点，顶点在曲线上运动，求的重心的轨迹方程例18、过原点作曲线的割线，求弦的中点的轨迹方程例19、为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程的曲线（2）曲线与直线有两个交点时，试求出实数的取值范围例21、若两条曲线的方程是和，交点为，（1）证明：方程的曲线也经过（为任意实数）；（2）求经过曲线和的交点的直线方程例22、已知曲线，点，求曲线与线段有两个不同交点的充要条件曲线和方程（4）一、应用举例：1解答题例17、已知的两个顶点，顶点在曲线上运动，求的重心的轨迹方程例18、过原点作曲线的割线，求弦的中点的轨迹方程例19、为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例20、（1）画出方程的曲线（2）曲线与直线有