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高考数学二轮复习资料参数方程 极坐标高考数学二轮复习资料参数方程 极坐标 本章重点与难点 本章重点与难点 重点 重点 会运用直线和圆锥曲线的参数方程 解决有关计算和证明问题 会 运用参数方程求轨迹的方程 能运用简单曲线的极坐标方程和圆锥曲线的 极坐标方程解决有关的计算和证明问题 并能根据已知条件求某些曲线的 极坐标方程 难点 难点 参数方程与普通方程的互化与极坐标直角互化时 方程的等价问题 的讨论是本章的难点 本章知识点与考试要求 本章知识点与考试要求 1 知识点归纳 1 参数方程的定义 在给定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变量 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 ty tfx M x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程 联系 x y 之间关系的变数叫做参变数 简称参数 参数方程中的参数可 以是有物理 几何意义的变量 也可以是没有明显意义的变数 2 参数方程与普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程 是曲线方程的不同形式 它们都是表 示曲线上的点坐标之间的关系 一般情况下 我们可以消去参数方程中的 参数 得出 x y 之间关系的普通方程 也可以选择一个参数 将普通方 程化为参数方程的形式 在互化中 必须根据曲线参数的定义 保持互化前后的等价性 如果 在互化中某个变量范围扩大了 互化后 必须注明 将扩大的部分去掉 如果减少了 必须注明 将减少部分补上 另外 由于选择的参数方程不 同 同一曲线的参数方程也不一样 因此 一般曲线的参数方程不唯一 同时 不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程的 3 注意理解参数方法的实质 学好参数法 参数观点 的关键在于深刻领会这一思维方法的实质 掌握参数变与不变的辩证关系 既要善于运用参数刻划运动变化的过程 又要在引入参数之后 把参数看作暂时不变的已知量 运用参数根据题意 求出参数与其变量之间的内在联系 发挥参数的媒介作用 这一思想既能 体现在轨迹问题中 又能反映于曲线系和各处不同形态的论证问题与计算 问题之中 4 常见曲线的参数方程 直线直线 直线的标准参数方程即过定点 M0 x0 y0 倾斜角为 的直线 l 的参 数方程的标准形式为 t 为参数 sin cos 0 0 tyy txx t的几何意义 即t为有向线段的数量 并注意t 的正负值 MM0 参数t 的几何意义中如下常用结论 若 M1 M2为 t 上任意两点 M1 M2对应 t 的值分别为 t1 t2 则 M1M2 t1 t2 若 M0为 M1M2的中点 则有t1 t2 0 弦 M1M2的中点为 M 则 M0M tM 2 21 tt 直线的参数方程的一般式 t 为参数 具有上述几何意义只 btyy atxx 0 0 有当a2 b2 1 且b 0 时 若b 0 方程也具有上述几何意义 btyy atxx 0 0 当a2 b2 0 且b 0 时 参数方程同样具有上述几何意 t ba b yy t ba a xx 22 0 22 0 义 圆圆 圆x2 y2 r2 的参数方程为 为参数 sin cos ry rx 圆 x a 2 y b 2 r 2的参数方程为 为参数 sin cos rby rax 椭圆椭圆 中心在原点 对称轴为坐标轴的椭圆b2x2 a2y2 a2b2的参数方程为 为参数 sin cos by ax 中心在点 x0 y0 对称轴分别平行于坐标轴的椭圆 b2 x x0 2 a2 y y0 2 a2b2的参数方程为 为参 sin cos 0 0 byy axx 数 双曲线双曲线 中心在原点 对称轴为坐标轴的双曲线b2x2 a2y2 a2b2的参数方程为 为参数 btgy axsec 中心在点 x0 y0 对称轴分别平行于坐标轴的双曲线 b2 x x0 2 a2 y y0 2 a2b2的参数方程为 为参 btgyy axx 0 0 sec 数 抛物线抛物线 抛物线y2 2px p 0 的参数方程为 t为参数 pty ptx 2 2 2 极坐标系与点的极坐标极坐标系与点的极坐标 极坐标系和直线坐标系都是常用的坐标系 极坐标系也是一种平面点 集与实数对之间的映射 但不是一一映射 而是一对多的对应 与直角坐 标系对比 有它特殊的优越性 也有其局限性 对于极坐标系首先要弄清 从点到数组 即点的极坐标 和从数组到点之间的对应法则 还应注意极 坐标 和 1 n n n Z 表示的是同一点 当 0 时 规定点 M 的位置在极角 的终边的反向延长线上 且 OM 极坐标系中的两点距离公式极坐标系中的两点距离公式 如果 P1 1 1 P2 2 2 则 P1P2 cos 2 2121 2 2 2 1 极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化 若以直角坐标系的原点为极点 x 轴的正方向为极轴 两坐标系取相同的 长度单位 设点 M 的直角坐标为 x y 极坐标为 则有如下 关系 sin cos y x 0 222 x x y tg yx 在由直角坐标化为极坐标时 注意三角方程的解的取舍原则 即必 须考虑所在的象限 所求的极角必须与点所在的象限一致 常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程 极坐标系中的方程与曲线之间的联系和直角坐标系一样 还应该注意 方程 F 0 与 F 1 n 0 n Z 表示同一曲线 在极坐标系中 称方程 F 0 是曲线 C 的极坐标方程 如果 以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线 C 上的点 而且 C 上每一个点 的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程 直角坐标系中研究曲线与方程的方法也适用于极坐标系 注意这些方 法在极坐标系中的应用 直线 R cos a 0 sin 0 0 圆圆 r 极点为圆心 r为半径 2rcos r 0 为圆心 r为半径 2 12 2 1 cos 1 r2 1 1 为圆心 r为半径 圆锥曲线的统一极坐标方程圆锥曲线的统一极坐标方程 当 0 e 1 时 方程表示椭圆 定点 F 是它的左焦点 cos1e ep 定直线是它的左准线 当 e 1 时 方程表示开口向右的抛物线 e 1 时 方程只表示双曲线右支 定点 F 是它的右焦点 定直线是它的右准线 如 果允许 0 方程就表示整个双曲线 2 考试要求考试要求 掌握直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线及圆的渐开线的参数方程 并 了解其参数的几何意义和物理意义 参数方程和普通方程的互化 掌握极 坐标平面内点与有序数对的对应关系 直线 圆 圆锥曲线 等速 螺线的极坐标方程 极坐标与直角坐标的关系 点和方程的极坐标与直角 坐标的互化 命题趋向与复习建议命题趋向与复习建议 解析几何是初等数学与高等数学的纽带 它本身侧重于数形结合 形 象思维 本章内容更综合了代数 三角 平面几何等知识 因此 它是高 考历来的重要内容之一 从近几年的高考试题分析可知 解析几何约占 22 仅次于代数 参数方程与极坐标在这部分内容中又经常以选择题 填空题或做为工具的使用而出现 解析几何题多数以直线和二次曲线为背景 考查直线与二次曲线或二 次曲线与二次曲线相交的问题 形式以计算题 轨迹题较多 证明题较少 从运用的知识来看 一般以直线与二次曲线的基础知识和二次函数的理论 为主 从思维方法来分析 一是数形转化 二是方程观点 用方程表示曲 线 三是参数观点 从考生失分的原因来看 一是运算不过关 得不到 正确的答案 二是对数学思维方法不理解或理解不透彻 以致找不到正确 的解题思路 事实上有部分高考题如果能转化为参数方法 或用极坐标方 法 去解决 往往会收到事半功倍的效果 如 1987 年的高考压轴题 数学思想方法数学思想方法 转化的数学思想方法转化的数学思想方法 由于普通方程和参数方程都是曲线方程的表示形式 普通方程对判断 曲线类型 形状 位置都较明显 而参数方程表示曲线上动点的两个坐标 之间联系明显 且参数方程中参数的几何意义和物理意义较明显 便于应 用 由于这两种不甘落后 曲线方程各有利弊 故两种形式的曲线方程之 间的转化是实际问题的需要 因为极坐标系具有直角坐标第所没有的功效 如圆锥曲线方程 就可 以统一成一种形式 因而这两种坐标系之间的转化 就要看问题的需要而 进行 由此可见 方程两种形式的转化和两种坐标系的转化是本章转化思想 的主要内容和基本特点 例 1 求 f cos 3tg 2 sin 3ctg 2的22 最小值 分析 用纯代数法求解难以完成 应设法将问题转化 经观察 并联系问题的几何意义 不难发现函数 f 是两动点 P cos sin Q 3tg 3ctg 之间的距离的平方 22 于是问题就转化为求 P Q 两点之间的最短距离 又因为 cos 2 sin 2 2 且 3tg 3ctg 9 故动点 P 22 在圆 x2 y2 2 上 而动点 Q 在双曲线 xy 9 上 问题又进一步明确 为 求圆 x2 y2 2 和在双曲线 xy 9 间的距离 解 由分析知圆 x2 y2 2 上的动点 P cos sin 与双曲线22 xy 9 上动点 Q 3tg 3ctg 的最短距离的平方为 PQ 2 而由图知只需考虑 Q 点在双曲线 xy 9 位于第一象限的那一支 设 Q x y 为 xy 9 x 0 上任一点 易见点 P 应在圆心 O 与 Q 的 连线上 因为由三角形两边和大于第三边知 对 P P 而言有 OP QP OP PQ QP QP 于是可先求 OQ 的最小值 因为 OQ 2 x2 y2 2xy 2 9 18 故 OQ 且当 x y 3 时 OQ 18 所以当 Q 点在 3 3 时 PQ 有最小值 有最小值18182 2 8 也即 f 最小值 8 182 点评 在解题中恰当地转化命题利用变换的思想去寻求解题思路 往 往可以使问题的求解化难为易 对此我们可以从题设出发 通过观察 联想 类比 模拟等思维活动 给 纯数学问题 中的数量关系或空 间形式以适当的实际意义 构造问题相应的现实原型 从而使总题获 解 数形结合的思想方法数形结合的思想方法 数形结合的方法是贯穿整个解析几何中的基本方法 在本章中无论建 立曲线的参数方程 还是利用参数的几何意义研究有关曲线的性质 都要 注意结合图形 利用有关曲线的性质 因此 充分利用图形的直观性 寻 找合理简捷的运算步骤是顺利解决这些问题的重要方法 例 2 已知点 M N 满足 y r 0 直线 l x r 2a 22 xr 2a M N 与直线 l 的距离 MD NQ 满足条件 2 r 求证 AM AN AB 1 AN NQ AM MD 分析 如图 此题需证 AM AN r 由题意知 AM MD AN NQ 且 AT 2a 所以 M N 在抛物线 y2 4ax 上 只要求出 MD NQ 即可求得 AM 与 AN 从而证明等式成立 证法 1 如图所示 取线段 TA 的中点 O 为坐标原点 以有向直线 TA 为 x 轴 建立直角坐标系 设 M N 的横坐标为 x1 x2 半圆方程为 例例 3 解题规律与范例精讲 解题规律与范例精讲 例 和方程 xy 1 表示同一曲线的参数方程是 C A B t t ey ex sec cos y x 2 k C D 为参数 ctgy tgx Zkk 2 1 cos arccos sin arcsin t y tx t 解 在方程中 A B C D 四个参数方程化为普0 0 yxRyRx且 通方程均是 xy 1 的形式 但在 A 中 0 0 tt eyexRt时 A 表示的曲线是 xy 1 在第一象限内的部分 在 B 中当时 Zkk 2 1 1 sec 0 1 1 0 cos yx B 表示的曲线分别是 xy 1 在第一 第三象限内的一部分 在 C 中时 与原方程中 2 k 0 0 0 0 ytgx x y 的取值范围相同 且 xy C 与原方程表示同一条1 ctgtg 曲线 在 D 中由反三角函数的知识 可知 t 的取值范围 且 1 1 t 1 1 1 t t 1 或 t 1 当 t 1 时 x 1 y 1 表示点 1 1 当 t 1 时 x 1 y 1 表示点 C 1 1 规律概括 规律概括 此题是参数方程与普通方程的互化问题 在曲线的参数方程中 参数的取值范围决定了变量 x y 的范围 在例 1 中 A B C D 化成普 通方程后虽然方程都是 xy 1 由于参数取值范围不同 决定了曲线的存 在范围 所以参数方程化成普通方程时注意方程的等价性 例 2过定点 F 的直线交 y 轴于 Q 点 过 Q 点引与 FQ 垂直的直线 0 2 p QT 与 x 轴交于 T 点 延长 TQ 到 P 点 使得 TQ QP 求点 P 的轨迹 解 设直线 FQ 方程为 令 x 0 得 Q 点坐标为 直线 2 p xky 2 0 pk TQP 方程是 令 y 0 得 T 由 Q 点是 TP 中点 设x k pk y 1 2 0 2 2 pk P x y 则 k 是参数 消去 k 得 22 0 0 2 2 2 pky pk x 2 2 2 pk y pk x 当 k 0 时 Q T P 三点重合为一点 这时 P 点也在抛物线pxy2 2 上pxy2 2 规律概括规律概括 1 本题实际又给出了抛物线的另一种定义方式 2 在上述解法中 得到 P 点参数方程 k 是参数 如果令 t 2 2 2 pk y pk x 则 P 点的轨迹的参数方程又可写为 t 为参数 且 k 2 1 pty ptx 2 2 2 Kt 消去参数 t 而得 为 P 点的轨迹方程 这样参数 t 的几何意义pxy2 2 就清楚了 t 表示过焦点 F 的直线斜率一半的相反数 由于得到 0 2 p 了抛物线的参数方程 抛物线上的坐标就可写成 pty ptx 2 2 2 Kt 从而给应用带来了方便 当然抛物线的参数方程还有其它形式 ptpt 2 2 2 但上述参数方程是常用的 例 3已知抛物线 O 为顶点 A B 为抛物线上两动点且pxy4 2 0 p 满足 OA OB 如果 OM AB 于 M 点 求 M 点的轨迹方程 解 抛物线参数方程为 t 为参数 设 A B 两点坐标分别为 pty ptx 2 2 由 t 的几何意义 例 2 可知 1 2 1 2 ptpt 2 2 2 2 ptpt OA OB t1t2 4 1 2 t KOA 2 2 t KOB 21 2 tt KAB AB 方程为 直线 OM 的方程是 2 2 2 1 21 ptx tt pty x tt y 2 21 得 直线 AB 的方程还可以写成0 2 22 1 2 1 yxtpytpx 得 2 2 2 2 21 2 ptx tt pty 0 2 22 2 2 2 yxtpytpx 由 可知是方程的两根 由韦达定理得 又 t1t2 4 21 t t px yx t t 22 21 除原点 为所求04 22 pxyx 规律概括规律概括 此题在圆锥曲线部分利用参数法求轨迹方程已求过 通过上面 解法 我们看到恰当地利用了抛物线参数方程 t 为参数 中参 pty ptx 2 2 数的几何意义 给解题带来很大方便 所以学习参数方程时 要重视对曲 线参数方程中参数几何意义和物理意义的研究 例 4圆 C 的圆心为 C a 0 a 0 半径为 a M 是 C 上任意一点 Mox t tg 为参数 求该圆的参数方程 解 设 M 点坐标 x y MB x 轴于 B 则 x OB y BM 如图 M 与 O 不重 合 OM OB OA 2 22 2 cos2 2 cos4 a a a OA OM x 由于 BN 2a OM MA 22 2 1 2 1 1 1 2cos1 t a tg tg aa 2 1 2 2sin 2 sin2cos2 t t aa a aa y C 的参数方程为 t R t 为参数 或 2 2 1 2 1 2 t at y t a x 0 0 y x 规律概括规律概括 曲线参数方程的建立有三种类型 1 已知某常见曲线 自选参数求该曲线参数方程 其解法通常采用几何或三角的计算 或在普 通方程的基础上做变量代换而得参数方程 2 已知某曲线 按指定的 参数 求该曲线的参数方程 如本题便是 3 根据轨迹条件 合理选 择参数 建立形如 t 为参数 的参数方程 如例 2 ty tfx 从例 4 解法中可以看到 建立曲线形如 t 为参数 的参数 ty tfx 方程 实质上是求 x y 把轨迹条件分成若干侧面 每个侧面各自独立 地借助于参数 动点坐标 已知数 来描述蕴含其间的等量关系 就每 个侧面而言 类似于直接法 把各个侧面的结果综合起来 联立而成方程 组 就是轨迹的参数方程 例 5 如图 双曲线的一条准线与实轴交于 A 点 过 A 引一 222 ayx 条直线和双曲线交于 M N 两点 又过一焦点 F 引一条垂直于 MN 的直线和 双曲线交于 P Q 两点 求证 FP FQ 2 AM AN 证明 由题意 A F 0 2 2 a 0 2a 设直线 NAM 的参数方程为 t 为参数 sin cos 2 2 ty tax 则直线 QFP 的参数方程为 t 为参数 2 sin 2 cos 2 ty tax 设 P Q M N 对应的参数法为 由 t 为 NMQP tttt 222 sin cos 2 2 ayx ty tax 参数 得 而 222 sin cos 2 2 atta 0 2 cos2 sin cos 2 222 a tat 由韦达定理知 由 2cos 2 2cos 2 2 2 a a tt NM 222 sin cos 2 2 ayx ty tax 得 222 2 sin 2 cos 2 atta 即 由韦达定理0sin22 cos sin 2222 atat 2cos 2cos 22 aa tt QP 由参数方程中参数 t 的几何意义可知 FP FQ AM AN QP tt NM tt FP FQ 2 AM AN 规律概括规律概括 当涉及过一定点的直线 并与此定点距离有关的问题时 常利用过定点 M x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程 t 为参数 中 t 的几何意义来解决 此时 t 的几何意义是 sin cos 0 0 tyy txx 定点 M 到直线上点 P 的右向线段的数量 t MP 本题就是利用的几何意 义 由韦达定理得出结论 例 6直线交椭圆于 A B 两点 M 为 AB01 yxl 0 0 1 22 babyax 中点 交 轴于 N 若 MN 求 与 的关系及 的取值范围 lx 4 2 abab 解 由得 N 点坐标为 1 0 又直线的倾斜角为 01 0 yx y 01 yx 4 3 的参数方程为 t 为参数 由01 yx ty tx 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 22 byax ty tx 得 设 M 对应参数为0 1 222 2 aattba ba a tt 22 210 t M 是 AB 中点 则方程有实根 0 1 222 2 aattba 又 0 1 2 48 2 abaaab3 40 3 4 0 b a 规律概括规律概括 此题仍然是利用直线参数方程中参数 t 的几何意义来解题 A B 两点对应的参数是 而 M 点是 AB 中点 则 M 点对应的参数 21 t t 然后应用韦达定理建立等量关系 从而导出的关系 2 21 0 tt t ba 例 7在椭圆上求一点 使它到直线的距离最2847 22 yx01623 yxl 短 并求出这个距离 解 椭圆的参数方程为 为参数 2847 22 yx sin7 cos2 y x 设点 P是椭圆上任意一点 则 P 到的距离 sin7 cos2 01623 yxl 其中 13 16 sin 8 13 16sin72cos6 d 4 3 arcsin 当时 有最小值 最小值为 2 d 13 138 此时 2 4 3 sincos 4 7 sinsin P 点坐标为 4 7 2 3 规律概括规律概括 椭圆的参数方程主要应用是求与椭圆有关的最大值 最小值 利用椭圆参数方程 由点到直线距离公式引出 的函数表达式 再利用三d 角函数运算易求得最值 若不引进参数 直接设椭圆上点的坐标 00 yx 其到直线 距离为 再与联立 求 的最小l 13 1623 00 yx d2847 2 0 2 0 yxd 值 这将很难解决 当然此题也可利用直线与椭圆位置关系解决 见圆锥 部分 例 8 在椭圆的第一象限的上求一点 P 使四边形 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x AB OAPB 面积最大 并求最大面积 解 将椭圆化为参数方程 为参数 设 P sin cos by ax sin cosba S ABC S OAP S OPB 4 sin 2 2 cos sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 ababbaab 当时 四边形 OAPB 面积最大 最大面积为 4 ab 2 2 此时 P 点坐标为 2 2 2 2 ba 规律概括规律概括 利用椭圆参数方程将求最大最小值问题转化为三角函数求 最值问题 使问题简化 当然此题也可将 OAPB 分成 OAB 和 APB 两个三角 形 而 S OAB是定值 只需 S PAB最大即可 又 AB 为定值 只需 P 到 AB 距 离最大 当过 P 点的椭圆的切线与 AB 平行时 P 到 AB 距离最大 若求椭 圆切线方程 过程较繁 但若仍利用椭圆参数方程 求 P到 sin cos ba 直线 AB 的最短距离 也可使问题得到解决 例 9已知双曲线 写出它的极坐标的统一方程 并指出 0 222 aayx 取 e 值时极角的取值范围 解 已知双曲线的离心率为 P P 2 eabac c b 2 2 22 2 a a a 其极坐标的统一方程为 由于 aeP cos21 a 0 a 当且仅当时 即 0cos21 0 2 2 2 1 cos 即当时 44 44 0 也就是当时对应的点在双曲线的左枝上 44 222 ayx 规律概括规律概括 圆锥曲线的统一极坐标方程中 表示双曲线左支上的点 0 这个内容是一难点 而课本上只是一句话 没有展开 给学习带来了困难 实际上这里有三个问题 1 产生的原因 2 时极角的取值0 0 范围 3 为什么表示左枝上的点 本题解决了其中一个 0 例 10 已知 锐角 AOB 2 内有动点 P PM OA PN OB 且四边形 PMON 的面积等于 C2 令以 O 为极点 AOB 的角平分线 OX 为极轴 求动点 P 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 解 设 P是所求轨迹上任意一点 在 MOP 中 OP MOP 由锐角三角函数出发可得 OM OP cos cos MOP MP OP sin sin MOP S OMP cos sin 2 1 2 1 2 MPOM 在 NOP 中 OP 由锐角三角函数 NOP 可得 ON OP PN OP cos cos NOP sin sin MOP S ONP 又四边形 PMON 的面积为 C2 cos sin 2 1 2 S OMP S ONP C2 即 cos sin 2 2 2 cos sin C 2222 22cos2sin2 22sin 22 sin 2 1 CCP 这就是点 P 的轨迹的极坐标方程 由二倍角公式 令 2sin 2 sincos 2 2222 C yx sin cos 所求 P 点的轨迹的直角坐标为方程 2sin 2 2 22 C yx 其轨迹是双曲线夹在 AOB 之间的部分 规律概括规律概括 这是一道求轨迹的极坐标方程的问题 求轨迹的极坐标方程有 三个典型的方法 直接法 转移法和参数法 相题利用的是直接法 其步 骤如下 1 建立适当的极坐标系 如果没有给出极坐标系 2 设 P 是所求动点轨迹上的任意一点 3 把动点 P的极径 极角 已知量汇合到一个三角形中 用边角关系建立方程 或把轨迹0 f 条件直译为的一个关系而得方程或对绕极点旋转后的曲线的 0 f 方程 例 11 求过椭圆的焦点的各弦中点的轨迹1 2 2 2 2 b y a x 解 以椭圆的左焦点 F 为极点 且以射线 FO 为极轴 O 为直角坐标原点 建 立极坐标系 则椭圆的极坐标方程为 cos1e eP 弦 MN 过焦点 设 M N M N 的中点为 P MN 在椭圆上 m n cos1 cos1e eP e eP nm P 是 MN 中点 22 2 cos1 cos cos1cos1 2 1 2e PeeP e eP nm 令 coscos 22222 Pee sin cos yx 即 22 22 2 Pxexeyx 0 1 2 2 2 2 2 2 2 x c b a c yx a c 1 0 22 22 2 xcbyaxb 将的原点移至到原坐标系的原点 O 得移轴公式 Fy x yy cxx 将其代入 1 得 0 整理得 22222 cxcbyacxb 0 22222 xcbyaxb 中点轨迹方程为 4 2 22 2222 cb ya c xb 1 4 4 2 2 222 2 22 2 22 a bab y ba ba x 轨迹是椭圆 规律概括规律概括 此题利用转移法 相关点法 来解决轨迹方程问题 和椭圆的 极坐标方程 M N 中点的极角与 M 点的极角相同 而极径为 2 nm 从而易得中点的极坐标方程 然后再将其化成直角坐标方程 但要注意 此时化得的直角坐标方程相当于是将原直角坐标的原点移至左焦点得到的 新坐标系下的方程 所以要得到原坐标系的弦的中点轨迹方程必须再进行 移轴 当然此题也可直接在直角坐标系中解或利用直线参数方程中 t 的几 何意义来解 例 12 圆上有两个动点 P Q 同时自圆上定点 A a 0 出发 0 aa 逆时针方向作匀角速运动 点 P 的角速度为 点 Q 的角速度为 2 求 线段 PQ 中点 M 的轨迹的极坐标方程 解 如图 设时刻 t 时 P Q 位置如图所示 则 POA t QOA 2 t 设 M 点坐标为 则 1 在 Rt OMP 中 MOP t tt 2 3 2 2 t 2 1 OM QP cos MOP 2 ta 2 1 cos 由 1 2 消去 t 得 这就是 M 点轨迹的极坐标方程 3 cos a 规律概括规律概括 本题是利用参数法求轨迹的极坐标方程