定积分的应用.ppt

机动目录上页下页返回结束 定积分的应用 一 什么问题可以用定积分解决 二 如何应用定积分解决问题 第六章 平面图形的面积体积平面曲线的弧长 定积分在几何上的应用 定积分的元素法 提示 回顾 曲边梯形求面积的问题 一 什么问题可以用定积分解决 表示为 一 什么问题可以用定积分解决 1 所求量U是与区间 a b 上的某分布f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 机动目录上页下页返回结束 一个整体量 二 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出局部量的 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法成为元素法 或微元分析法 元素的几何形状常取为 条 带 段 环 扇 片 壳等 近似值 精确值 第二节目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 定积分在几何学上的应用 第六章 平面图形的面积体积平面曲线的弧长 一 平面图形的面积 曲边梯形的面积 阴影部分的面积 例1 计算两条抛物线 在第一象限所围 所围图形的面积 解 由 得交点 机动目录上页下页返回结束 解 两曲线的交点 选为积分变量 于是所求面积 注意各积分区间上被积函数并不相同 积分变量只能选x吗 选取y 解 两曲线的交点 选为积分变量 例4 求椭圆 解 所围图形的面积 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当a b时得圆面积公式 机动目录上页下页返回结束 利用对称性 例4 求由摆线 的一拱与x轴所围平面图形的面积 解 机动目录上页下页返回结束 解 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 对应 从0变 例7 计算阿基米德螺线 解 点击图片任意处播放开始或暂停 机动目录上页下页返回结束 到2 所围图形面积 内容小结 1 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 机动目录上页下页返回结束 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 二 体积1 旋转体的体积 例2 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 方法1利用直角坐标方程 则 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 方法2利用椭圆参数方程 则 特别当b a时 就得半径为a的球体的体积 机动目录上页下页返回结束 例3 计算摆线 的一拱与y 0 所围成的图形分别绕x轴 y轴旋转而成的立体体积 解 绕x轴旋转而成的体积为 利用对称性 机动目录上页下页返回结束 绕y轴旋转而成的体积为 注意上下限 注 注目录上页下页返回结束 分部积分 注 利用 偶倍奇零 注目录上页下页返回结束 补充 柱壳法 利用这个公式 可知上例中 说明 注 偶函数 奇函数 机动目录上页下页返回结束 解 体积元素为 2 平行截面面积为已知的立体的体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 三 小结 三 平面曲线的弧长 直角坐标方程 三 平面曲线的弧长 参数方程 极坐标方程 解 所求弧长为 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 2020 3 17 40 可编辑 内容小结 1 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 机动目录上页下页返回结束 已知平行截面面面积函数的立体体积 2 旋转体的体积 绕x轴 绕y轴 机动目录上页下页返回结束 3 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程 极坐标方程 弧微分 直角坐标方程 练习1 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所指面积 机动目录上页下页返回结束 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 机动目录上页下页返回结束 2 解 由对称性 有 由对称性 有 由对称性 有 测验题 测验题答案 第三节 一 变力沿直线所作的功 二 液体的侧压力 三 引力问题 四 转动惯量 补充 机动目录上页下页返回结束 定积分在物理学上的应用 第六章 一 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F x 作用下沿x轴从x a移动到 力的方向与运动方向平行 求变力所做的功 在其上所作的功元 素为 因此变力F x 在区间 上所作的功为 机动目录上页下页返回结束 例1 一个单 求电场力所作的功 解 当单位正电荷距离原点r时 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明 机动目录上页下页返回结束 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处 a b 在一个带 q电荷所产生的电场作用下 例2 体 求移动过程中气体压力所 解 由于气体的膨胀 把容器中的一个面积为S的活塞从 点a处移动到点b处 如图 作的功 建立坐标系如图 由波义耳 马略特定律知压强 p与体积V成反比 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 机动目录上页下页返回结束 力为 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 例3 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 解 建立坐标系如图 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功 功元素 为 故所求功为 KJ 设水的密度为 机动目录上页下页返回结束 KN 一蓄满水的圆柱形水桶高为5m 底圆半径为3m 面积为A的平板 二 液体侧压力 设液体密度为 深为h处的压强 当平板与水面平行时 当平板不与水面平行时 所受侧压力问题就需用积分解决 机动目录上页下页返回结束 平板一侧所受的压力为 小窄条上各点的压强 例4 的液体 求桶的一个端面所受的侧压力 解 建立坐标系如图 所论半圆的 利用对称性 侧压力元素 端面所受侧压力为 机动目录上页下页返回结束 方程为 一水平横放的半径为R的圆桶 内盛半桶密度为 说明 当桶内充满液体时 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 机动目录上页下页返回结束 三 引力问题 质量分别为 的质点 相距r 二者间的引力 大小 方向 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力 则需用积分解决 机动目录上页下页返回结束 例5 设有一长度为l 线密度为 的均匀细直棒 其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M 该棒对质点的引力 解 建立坐标系如图 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 机动目录上页下页返回结束 在 试计算 利用对称性 棒对质点引力的水平分力 机动目录上页下页返回结束 故棒对质点的引力大小为 棒对质点的引力的垂直分力为 说明 2 若考虑质点克服引力沿y轴从a处 1 当细棒很长时 可视l为无穷大 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 移到b a b 处时克服引力作的功 机动目录上页下页返回结束 则有 引力大小为 机动目录上页下页返回结束 注意正负号 3 当质点位于棒的左端点垂线上时 四 转动惯量 补充 质量为m的质点关于轴l的转动惯量为 的质点系 若考虑物体的转动惯量 则需用积分解决 机动目录上页下页返回结束 关于轴l的转动惯量为 例6 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 解 建立坐标系如图 设圆盘面密度为 小圆环质量 对应于 的小圆环对轴l的转动惯量为 故圆盘对轴l的转动惯量为 机动目录上页下页返回结束 设有一个半径为R 质量为M的均匀圆盘 平行y轴的细条 关于y轴的转动惯量元素为 细条质量 故圆盘对y轴的转动惯量为 机动目录上页下页返回结束 取旋转轴为y轴