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2001年安徽省春季高考数学 理 试题简析 中图分类号 O12 44 文献标识码 C 文章编号 0488 7395 2001 09 0041 04 收稿日期 2000 04 10 安徽省自2000年试行春季高考后 取得较为成 功的经验 经教育部批准今年继续实行春季招生 现 提供春季高考的数学试卷并作简短评析 选择题 1 集合M 1 2 3 4 5 的子集个数是 A 32 B 31 C 16 D 15 本题考查集合运算 组合数性质 利用公式 C0n C1n Cnn 2 n 可知本题选 A 2 函数 f x ax a 0且a 1 对于任意的实数 x y都有 A f xy f x f y B f xy f x f y C f x y f x f y D f x y f x f y 本题考查指数的运算法则 函数概念和性质 f x y ax y ax ay f x f y 选 C 3 lim n Cn2n Cn 1 2n 2 A 0 B 2 C 1 2 D 1 4 本题考查组合数计算 阶乘的性质及极限的运 算法则 原式 lim n 2n n n 2n 2 n 1 n 1 lim n n 1 n 1 2n 2 2n 1 1 4 故选 D 4 函数y 1 x x 1 的反函数是 A y x2 1 1 x 0 B y x2 1 0 x 1 C y 1 x2 x 0 D y 1 x2 0 x 1 本题考查求反函数的方法 特别应注意互为反函 数的两函数的定义域 值域之间的对应关系 从 原函数知y 0 从而反函数为y 1 x2 x 0 选 C 5 极坐标系中 圆 4cos 3sin 的圆心的坐标 是 A 5 2 arcsin 3 5 B 5 arcsin 4 5 C 5 arcsin 3 5 D 5 2 arcsin 4 5 本题由 解析几何 P138第10题改编而成 思路1 化为直角坐标方程x2 y2 4x 3y x 2 2 y 3 2 2 25 4 圆心 2 3 2 化为 极坐标 5 2 arcsin 3 5 故选 A 思路2 运用三角公式化为 5cos 其 中tg 3 4 与 2acos 比较得圆心坐标 6 设动点P在直线x 1上 O为坐标原点 以OP 为直角边 点O为直角顶点作等腰Rt OPQ 则动点Q的轨迹是 A 圆 B 两条平行直线 C 抛物线 D 双曲线 本题考查求曲线轨迹方程的基本方法 思路1 常规方法 设Q x y P 1 b 则 x 1 2 y b 2 2 x 2 y2 2 1 b2 消 去b得方程y2 1 故选 B 思路2 用复数法 设Q点对应复数x yi P 点对应复数1 bi 则x yi 1 bi i b i x b y 1 这说明对b R Q点轨 迹是y 1 7 已知f x6 log2x 那么 f 8 等于 A 4 3 B 8 C 18 D 1 2 本题考查化归思想 用换元法 令x6 u 则 142001年第9期 数 学 通 讯 f u 1 6 log2u f 8 1 6 log28 1 2 选 D 8 若A B是锐角 ABC的 两 个 内 角 则 点 P cosB sinA sinB cos A 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 本题考查三角函数的基础知识及三角形边角关 系 思路1 特例法 设A B 60 则cosB sinA 0 选 B 思路2 化积判定符号 cosB sinA sin 90 B sinA 2cos 90 B A 2 sin 90 B A 2 A B 90 A B 90 cosB sinA 0 9 如果圆锥的侧面展开图是半圆 那么这个圆锥的 顶角 圆锥轴截面中两条母线的夹角 是 A 30 B 45 C 60 D 90 本题考查空间想象能力 圆锥的概念与性质 设 半圆半径为R 圆锥底面半径为r 则 R 2 r r R 2 轴截面顶角为60 选 C 10 若实数a b满足a b 2 则3a 3b的最小值 是 A 18 B 6 C 23 D 2 43 本题灵活运用基本不等式求函数最值 是选择 题中最容易的一道题 3a 3b 23a b 6 故选 B 图1 第11题图 11 右图是正方体的 平面展开图 在这 个正方体中 BM与ED平 行 CN与B E是异 面直线 CN与BM成60 角 DM与BN垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 A B C D 本题考查空间想象能力 将展开图还原成正方 体后易知 BM ED CN B E CN与BM成 60 角 DM与BN垂直 应选 C 12 根据市场调查结果 预测某种家用商品从年初 开始的n个月内累积的需求量Sn 万件 近似 地满足Sn n 90 21n n2 5 n 1 2 12 按此预测 在本年度内 需求量超过115 万件的月份是 A 5月 6月 B 6月 7月 C 7月 8月 D 8月 9月 本题是一道创新性应用题 以数列知识为背景 考查运算能力 综合分析能力 an Sn Sn 1 1 30 n2 15n 9 令 1 30 n2 15n 9 1 5 n 6 n 9 0 6 nb 0 求f x 的单 调区间 并证明 f x 在其单调区间上的单调 性 本题考查函数单调性及不等式的基础知识 考 查数学判断能力 推理能力和运算能力 应从求 函数定义域入手 判定 f x 在 b 和 b 上分别单调递减 用定义证明 证 略 18 已知z7 1 z c且z 1 证明1 z z2 z3 z4 z5 z6 0 设z的辐角为 求cos cos2 cos4 的值 本题考查复数的运算和几何意义 考查综合运 用所学知识解决问题的能力 将复数知识与三 角函数及数列求和有机结合 体现了在知识的 交汇点处命题的指导思想 第 问就是等比数列求和 z 1 1 z z2 z6 1 z7 1 z 0 标准答 案提供的解法是从方程出发 通过因式分解获 证 第 问是一个古典三角恒等式 即 cos cos2 cos4 1 2 其中 2 7 思路1 代数法 由z7 1 z 1而z z 1 z z6 1 z6 z 同理z5 z2 z3 z4 z z2 z4 z3 z5 z6 由 知z z2 z4 z z2 z4 1 故z z2 z4的实 部为 1 2 思路2 三角法 由于 考试说明 降低对三 角变换的需求 很多考生没有向这方面考虑 事 实上由复数开方的几何意义知 2 7 cos 2 7 cos 4 7 cos 8 7 2sin 2 7 cos 2 7 2sin 2 7 cos 4 7 2sin 2 7 cos 8 7 2sin 2 7 sin 4 7 sin 2 7 sin 10 7 2sin 2 7 1 2 图3 第19题图 19 已知V C是 ABC所 在平面的一条斜线 点 N是V在平面ABC上 的射 影 且 在 ABC 的高CD上 AB a V C与AB之间的距离 为h 点M V C 证明 MDC是二面角M2AB2C的平面 角 当 MDC CV N时 证明V C 平面 AMB 若 MDC CV N 0 9 4 n2 用数学归纳法证明 证略 21 某摩托车生产企业 上年度生产摩托车的投入 成本为1万元 辆 出厂价为1 2万元 辆 年销 售量为1000辆 本年度为适应市场需求 计划 提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投 入成本增加的比例为 x 0 x 1 则出厂价 相应的提高比例为0 75x 同时预计年销售量 增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 写出本年度预计的年利润y与投入成本 增加的比例x的关系式 为使本年度的年利润比上年有所增加 问 投入成本增加的比例x应在什么范围内 本题考查建立数学模型解决实际问题的能力 要求考生有较强的阅读理解能力 能根据题目 提供的信息正确地将文字语言转换成数学符 号 通过列表对比弄清出厂价 投入成本 年销 售量及年利润之间的关系即可得 y 1 2 1 0 75 x 1 x 1000 1 0 6 x 60 x2 20 x 200 0 x 0 0 x 1 0 x 0 过动点M a 0 且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两 点A B AB 2p 求a的取值范围 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N 求 NAB面积的最大值 本题考查直线与抛物线的位置关系 考查综合 运用解析法解决数学问题的能力 第 问是 常见题型 联立 y x a y2 2px x2 2 a p x a2 0和利用弦长公式得 AB 1 k2 x2 x1 8p p 2a 令 0 8p p 2 a 2p p 2 a p 4 图4 第 22 题图 第 问有两种思路 思路1 标准答案提供 的解法 比较简捷 设 AB的 垂 直 平 分 线 交 AB于Q点 Q x3 y3 则 x3 x1 x2 2 a p y3 y1 y2 2 p QM 2 2p2 MNQ为等腰直角三角形 QN QM 2p S NAB 1 2 AB NQ 2 2 p AB 2p2 即 NAB面积最大值为2p2 思