2012届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案.doc

2012届高考数学数列第一轮基础知识点复习教案 第六编 数列6.1 数列的概念及简单表示法 1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 （填序号）.答案 2.设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大.答案 10或113.(2008 安徽文，15)在数列an中,an=4n- ,a1+a2+an=an2+bn,nN*,其中a、b为常数，则ab= .答案 -14.已知数列an的通项公式是an= 则a2 a3= .答案 205.（2008 北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .答案 -30例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2） ， ， ， ， ，；（3）-1， ，- ， ，- ， ，；（4） ，-1， ，- ， ，- ，；（5）3，33，333，3 333，.解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an= .（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n .也可写为an= .（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为 ，- ，所以an=(-1)n+1 .（5）将数列各项改写为 ， ， ， ，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an= (10n-1).例2 已知数列的通项公式为an= .（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足 =0.98，n2=0.98n2+0.98.n=7时成立，0.98是它的项.（2）an+1-an= = 0. 此数列为递增数列.例3 （14分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1= ,求an.解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即 - =2， 4分数列 是公差为2的等差数列. 6分又S1=a1= ， =2， =2+（n-1） 2=2n，Sn= . 10分当n2时，an=-2SnSn-1=-2 =- ， 12分an= . 14分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1） ， ， ， ， ，（2） ，2， ，8， ，（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an= .（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： ， ， ， ， ，可得通项公式an= .（3）联想 =10n-1,则an= = = (10n-1),即an= (10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，则an=5sin .（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2 -2 =-2n，即an- =-2n.a +2n an-1=0.an= ，又an0，an= -n.（2）证明 an0，且an= -n, = = 1.an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2 =an+1，求an.解 2 =an+1,Sn= (a +2an+1),Sn-1= (a +2an-1+1),当n2时，an=Sn-Sn-1= （a -a ）+2（an-an-1），整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列. an=2n-1 (nN*).一、填空题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是 .答案 142.数列an中，a1=1,对于所有的n2，nN*都有a1 a2 a3 an=n2，则a3+a5= .答案 3.数列-1, ，- ， ，的一个通项公式是 .答案 an=(-1)n 4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）答案 4n+85.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k= .答案 86.若数列an的通项公式an= ，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.答案 7.（2008 沈阳模拟）数列an满足an+1= a1= ，则数列的第2 008项为 .答案 8.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式an= .答案 n二、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为an= 10.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2- 总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n2时，3Sn-4,an,2- 成等差数列，2an=3Sn-4+2- Sn-1，an=3Sn-4（n2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2= ,a3=3 -4,a3=- ,a4=3 -4,a4= .a2= ，a3=- ，a4= .（2）当n2时，an=3Sn-4,3Sn=an+4, ,可得:3an+1=an+1-an, =- ，a2，a3，an成等比数列，an=a2 qn-2= =- ，an= .11.在数列an中，a1= ，an=1- (n2,nN*)，数列an的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1- =1- =1- = =1- =1- =1- =1-(1-an)=an.an+3=an.（2）解 由（1）知数列an的周期T=3，a1= ，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1= .a2 008= .12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f（x）0的解集有且只有一个元素，=a2-4a=0 a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+）上递增，故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an= . 6.2 等差数列及其前n项和1.（2008 广东理，2）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1= ，S4=20，则S6= .答案 482.（2008 陕西理，4）已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10= .答案 1003.（2008 全国理，5）已知等差数列 满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10= .答案 954.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是 个.答案 55.（2009 姜堰中学高三第四次综合练习）设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a12+a17+a19=8，则S25的值为 .答案 50例1 已知数列an满足a1=4,an=4- (n2),令bn= .求证：数列bn是等差数列.证明 an+1-2=2- = = = = + - = ，bn+1-bn= .数列bn是等差数列.例2 在等差数列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得 a61=-23+(61-1)4=217.方法二 由d= ,得d= = =4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.（2）a6=10,S5=5, .解方程组得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,S8=8 =44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：, , .d0,d=2,a-d=2.首项为2.a1=2.例3 （14分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+ d=1520+ d，d=- . 4分an=20+（n-1）(- )=- n+ . 8分a13=0. 10分即当n12时，an0,n14时，an0.当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+ (- )=130. 14分方法二 同方法一求得d=- . 4分Sn=20n+ (- )=- n2+ n=- + . 8分nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 14分方法三 同方法一得d=- . 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 14分1.设两个数列an,bn满足bn= ，若bn为等差数列，求证：an也为等差数列.证明 由题意有a1+2a2+3a3+nan= bn， 从而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1= bn-1(n2), 由-，得nan= bn- bn-1,整理得an= ,其中d为bn的公差(n2).从而an+1-an= - = = (n2).又a1=b1，a2= a2-a1= -b1= = .综上，an+1-an= d（nN*）.所以an是等差数列.2.设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列 的前n项和,求Tn.解 设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+ n(n-1)d,S7=7,S15=75, ,即 ,解得 , =a1+ (n-1)d=-2+ (n-1), - = ,数列 是等差数列,其首项为-2,公差为 ,Tn= n2- n.3.等差数列an中，a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解 由条件S9=S12可得9a1+ d=12a1+ d，即d=- a1.由a10知d0,即数列an为递增数列.方法一 由 ，得 ,解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小.方法二 S9=S12，a10+a11+a12=3a11=0，a11=0.又a10,公差d0，从而前10项或前11项和最小.方法三 S9=S12，Sn的图象所在抛物线的对称轴为x= =10.5,又nN*，a10,an的前10项或前11项和最小.方法四 由Sn=na1+ d= + n，结合d=- a1得Sn= n2+ n=- + a1 （a10），由二次函数的性质可知n= =10.5时，Sn最小.又nN*，故n=10或11时Sn取得最小值.一、填空题1.等差数列an的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4= .答案 82.在等差数列an中，已知a =2,a2+a3=13,则a4+a5+a6= .答案 423.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 .答案 34.已知等差数列an的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为 .答案 an=4n-35.（2009 东海高级中学月考）设an是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80，则a11+a12+a13= .答案 1056.(2009 兴化市板桥高级中学12月月考)数列an的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn，则数列 的前11项和为 .答案 -667.（2008 重庆理，14）设Sn是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .答案 -728.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1N*.设cn=a (nN*),则数列cn的前10项和等于 .答案 85二、解答题9.已知数列an中，a1= ，an=2- (n2,nN*),数列bn满足bn= (nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明 因为an=2- (n2,nN*),bn= .所以当n2时，bn-bn-1= - = - = - =1.又b1= =- .所以，数列bn是以- 为首项，以1为公差的等差数列.（2）解 由（1）知，bn=n- ,则an=1+ =1+ .设函数f(x)=1+ ,易知f(x)在区间(-, )和( ,+)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.10.等差数列an的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解 设等差数列an的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ,得 = ，解得,m=8,数列共有2m+1=17项，把m=8代入，得a9=24,又a1+a17=2a9，a17=2a9-a1=47，且d= = .an=1+(n-1) = (nN*,n17).11.设Sn是等差数列an的前n项和，已知 S3， S4的等比中项为 S5; S3， S4的等差中项为1，求数列an的通项公式.解 方法一 设等差数列an的首项a1=a，公差为d，则Sn=na+ d，依题意，有整理得 a=1，d=0或a=4，d=- .an=1或an= ，经检验，an=1和an= 均合题意.所求等差数列的通项公式为an=1或an= .方法二 因Sn是等差数列的前n项和，易知数列 是等差数列.依题意得解得 或 由此得a4=S4-S3=1，a5=S5-S4=1，或a4=- ，a5=- ，d=0或d=- .an=a4+（n-4）0=1或an=a4+（n-4）(- )= - n.故所求等差数列的通项公式an=1或an= - n.12.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3 a4=117,a2+a5=22.（1）求通项an;(2)若数列bn满足bn= ,是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解 （1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1)知Sn= =2n2-n,所以bn= = .方法一 所以b1= ,b2= ,b3= (c0).令2b2=b1+b3,解得c=- .当c=- 时，bn= =2n,当n2时，bn-bn-1=2.故当c=- 时，数列bn为等差数列.方法二 当n2时，bn-bn-1= = ,欲使bn为等差数列，只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c0)解得c=- .6.3 等比数列及其前n项和 1.（2008 海南、宁夏理，4）设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则 = .答案 2.等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 .答案 1或- 3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= ,ac= .答案 -3 94.在等比数列an中，已知a1a3a11=8，则a2a8= .答案 45.（2008 浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+anan+1= .答案 (1-4-n)例1 已知an为等比数列，a3=2，a2+a4= ，求an的通项公式.解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q0，a2= = ，a4=a3q=2q， +2q= .解得q1= ，q2=3.当q= 时，a1=18，an=18( )n-1= =233-n.当q=3时，a1= ，an= 3n-1=23n-3.an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ，则a2，a4为方程x2- x+4=0的两根，解得 或 .当a2= 时,q=3,an=a3 qn-3=23n-3.当a2=6时，q= ,an=233-nan=23n-3或an=233-n.例2 （14分）已知数列an的前n项和为Sn，且对任意nN*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列bn是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1 (n2)，求cn的通项公式.（1）证明 由a1+S1=1及a1=S1得a1= .又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1.2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.数列bn是以b1=a1-1=- 为首项，为公比的等比数列. 6分（2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.2an=an-1+1 (n2), 8分2an+1-2an=an-an-1,2cn+1=cn (n2).又c1=a1= ,a2+a1+a2=2,a2= .c2= - = ,即c2= c1.数列cn是首项为 ，公比为 的等比数列. 12分cn= ( )n-1=( )n. 14分方法二 由（1）bn=(- ) ( )n-1=-( )n.an=-( )n+1.cn=-( ) +1- = - = = （n2）. 12分又c1=a1= 也适合上式，cn= . 14分例3 在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且 + + + + =2,求a3.解 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列， 也是等比数列，公比为 .由已知条件得 ,解得a q =4,a =（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得： + + = = =2.a =4.a3=2.例4 某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩（全部成活）（1）问需要几年，可将此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S.求S约为多少万立方米？（精确到0.1）解 （1）每年植树的亩数构成一个以a1=100，d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n年可将此山全部绿化，则Sn=a1n+ (n-1)d=100n+ 50=3 250.解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1（1+0.1）10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第10年后的木材量依次构成数列bn，则其和为T=b1+b2+b10=2001.110+3001.19+1 1001.11.0（万立方米）.答 需要10年可将此山全部绿化，10年后木材总量约为1.0万立方米.1.已知等比数列an中，a3= ,S3=4 ,求a1.解 当q=1时，a1=a2=a3= ,满足S3=4 ,当q1时，依题意有 ,解得q2= ,a1=6.综上可得：a1= 或a1=6.2.设数列an是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列an中找一项am,使得a3,a5,am成等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,nt, （tN*）满足5n1n2nt使得a3,a5, , , ,是等比数列，求数列nt的通项公式.解 （1）设an的公差为d,则由a5=a3+2d,得d= = ,由ama3=a ,即3 =62，解得m=9.即a3,a5,a9成等比数列.（2）a3=2，a5=6，d= =2，当n5时，an=a5+(n-5)d=2n-4,又a3,a5, , , ,成等比数列，则q= = =3, =a5 3t,t=1,2,3,. 又an =2n -4,2n -4=a5 3t=6 3t,2n =2 3t+1+4.即n =3t+1+2,t=1,2,3,.3.（1）在等比数列an中，a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；（2）在等比数列an中，已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.解 （1）由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6).a5+a6=4.（2）a3a5=a ，a3a4a5=a =8，a4=2，又a2a6=a3a5=a ，a2a3a4a5a6=a =32.4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解 设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1= ，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，an+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8% an的剩余面积92% an，另一部分是新绿化的12% bn，所以an+1=92% an+12%(1-an)= an+ ,即an+1- = (an- ), 是以- 为首项， 为公比的等比数列，则an+1= - n,an+150%, - n , n ,nlog = =3.则当n4时，不等式 n 恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.一、填空题1.（2008 福建理）设an是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列an的前7项的和为 .答案 1272.若数列an的前n项和Sn=3n-a，数列an为等比数列，则实数a的值是 .答案 13.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2， 的值为 .答案 4.等比数列an前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 .答案 T175.已知等比数列an的前n项和为Sn=x 3n-1- ，则x的值为 .答案 6.已知等比数列an中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6= .答案 4807.设数列an的前n项和为Sn，Sn= （对于所有n1)，且a4=54，则a1的值是 .答案 28.设等比数列an的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则通项an= .答案 2n-1或- （-2）n-1二、解答题9.数列an的前n项和为Sn，且Sn= (an-1).（1）求a1,a2;(2)证明：数列an是等比数列；（3）求an及Sn.（1）解 a1=S1= （a1-1），a1=- .又a1+a2=S2= (a2-1),a2= .(2)证明 Sn= （an-1），Sn+1= （an+1-1），两式相减，得an+1= an+1- an,即an+1=- an,数列an是首项为- ，公比为- 的等比数列.（3）解 由（2）得an=- (- )n-1=-(- )n,Sn= .10.数列an中，a1=2,a2=3,且anan+1是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (nN*).(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2）求证：bn是等比数列.（1）解 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=a1a2 3n-1=2 3n，a3= =6，a4= =9，a5= =18，a6= =27.（2）证明 anan+1是公比为3的等比数列，anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，a1，a3，a5,，a2n-1，与a2,a4,a6，a2n，都是公比为3的等比数列.a2n-1=2 3n-1,a2n=3 3n-1，bn=a2n-1+a2n=5 3n-1. = =3，故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.11.设数列an的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3 （nN*），其中m为常数，且m-3,m0.（1）求证：an是等比数列；（2）若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn= f(bn-1) (nN,n2),求证： 为等差数列，并求bn.证明 （1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m-3, = 0 (n1).an是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,b1=1.q=f(m)= ,nN且n2时，bn= f(bn-1)= ，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出 - = . 是以1为首项、 为公差的等差数列. =1+ = .bn= .12.（2008 四川文，21）设数列an的前n项和Sn=2an-2n.（1）求a3，a4；（2）证明：an+1-2an是等比数列；（3）求an的通项公式.(1)解 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1. 所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明 由题设和式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1) 2n-1. 6.4 数列的通项公式及求和 1.如果数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1，公比为3的等比数列，则an= .答案 2.数列1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+ ,的前n项和Sn的值等于 .答案 n2+1- 3.如果数列 满足a1=2，a2=1，且 = (n2)，则此数列的第10项为 .答案 4.设函数f（x）=x +ax的导数为f/（x）=2x+1，则数列 （ N ）的前n项和是 （用含n的代数式表示）.答案 5.设an是首项为1的正项数列，且（n+1）a -na +an+1an=0 (n=1,2,3,).则它的通项公式是an= .答案 例1 已知数列an满足an+1= ,a1=2,求数列an的通项公式.解 已知递推式可化为 - = , - = , - = , - = ,- = ,将以上(n-1)个式子相加得- = + + + , = =1- ,an= .例2 求和：Sn= + + + .解 （1）a=1时，Sn=1+2+n= .（2）a1时，Sn= + + + Sn= + + + 由-得 Sn= + + + - = - ,Sn= .综上所述，Sn= .例3 （14分）已知数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足S =an(Sn- ).（1）求Sn的表达式；（2）设bn= ，求bn的前n项和Tn.解 （1）S =an ，an=Sn-Sn-1，（n2），S =（Sn-Sn-1） ,即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn， 4分由题意Sn-1 Sn0，式两边同除以Sn-1 Sn，得 - =2，数列 是首项为 = =1，公差为2的等差数列. 6分 =1+2（n-1）=2n-1，Sn= . 8分（2）又bn= = = ， 10分Tn=b1+b2+bn= = = . 14分1.（2008 江西理）在数列an中，a1=2，an+1=an+ln ，则an= .答案 2+lnn2.（2008 全国文，19）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n.(1)设bn= .证明：数列bn是等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn.（1）证明 an+1=2an+2n， = +1，bn= ，bn+1=bn+1，即bn+1-bn=1,b1=1,故数列bn是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由（1）知,bn=n,an=n2n-1,则Sn=1 20+2 21+(n-1) 2n-2+n 2n-12Sn=1 21+2 22+(n-1) 2n-1+n 2n两式相减，得：Sn=n 2n-1 20-21-2n-1=n 2n-2n+1.3.（2008 湖州模拟）已知数列an的前n项和Sn=an2+bn+c（nN*），且S1=3,S2=7,S3=13,（1）求数列an的通项公式；（2）求数列 的前n项和Tn.解 （1）由已知有 解得 所以Sn=n2+n+1.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2+(n-1)+1=2n,所以an= (2)令bn= ,则b1= = .当n2时，bn= = .所以b2+bn= = .所以Tn= + = (nN*).一、填空题1.对正整数n，设曲线y=xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 的前n项和的公式是 .答案 2n+1-22.数列an的通项公式an= ，若前n项的和为10，则项数n= .答案 1203.数列an的前n项和为Sn，若an= ，则S5= .答案 4.数列1，1+2，1+2+4，1+2+22+2n-1，的前n项和Sn1 020，那么n的最小值是 .答案 105.已知某数列前2n项和为(2n)3,且前n个偶数项的和为n2（4n+3），则它的前n个奇数项的和为 .答案 n2（4n-3）6.1-4+9-16+(-1)n+1n2= .答案 (-1)n+1 7.（2008 启东中学模拟）已知数列an中,a1=20,an+1=an+2n-1,nN*,则数列an的通项公式an= .答案 n2-2n+218.若数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an= (nN*),则an= .答案 二、解答题9.Sn是数列an的前n项和，an= ，求Sn.解 an= = =1+ =1+ ，Sn=n+ （1- + - + - + - ）=n+ =n+ = .10.（2008 江西文，19）等差数列an的各项均为正数，a1=3,前n项和为Sn，bn为等比数列，b1=1，且b2S2=64,b3S3=960.（1）求an与bn;(2)求 .解 (1)设an的公差为d、bn的公比为q，则d为正数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，依题意有 解得 或 （舍去）.故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.（2）Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以 = + + + = = = - .11.设数列an的前n项和Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn= ,求数列cn的前n项和Tn.解 （1）由于Sn=2n2,n=1时，a1=S1=2；n2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-2(n-1)2=4n-2,当n=1时也适合.an=4n-2，b1=a1=2，b2（6-2）=b1=2，b2= ，bn=2 n-1.（2）cn= =（2n-1） 4n-1，Tn=1+3 4+5 42+（2n-1） 4n-1，4Tn=4+3 42+（2n-3） 4n-1+（2n-1） 4n，-3Tn=1+2 4+2 42+2 4n-1-（2n-1） 4n=1+2 -（2n-1） 4n= 4n- ，Tn= - 4n.12.数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*).（1）求数列an的通项an;（2）求数列nan的前n项和Tn.解 （1）an+1=2Sn,Sn+1-Sn=2Sn, =3.又S1=a1=1,数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(nN*).当n2时，an=2Sn-1=2 3n-2(n2),an= （2）Tn=a1+2a2+3a3+nan.当n=1时，T1=1;当n2时，Tn=1+4 30+6 31+2n 3n-2, 3Tn=3+4 31+6 32+2n 3n-1, -得：-2Tn=-2+4+2(31+32+3n-2)-2n 3n-1=2+2 -2n 3n-1=-1+(1-2n) 3n-1.Tn= + 3n-1(n2).又T1=a1=1也满足上式，Tn= +3n-1(n- ) (nN*). 6.5 数列的综合应用 1.（2008 山东文，15）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于 .答案 2 0082.设f(n)=2+24+27+23n+1 (nN*)，则f(n)= .答案 (8n+1-1)3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为 .答案 -44.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则公比q= .答案 -25.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞存活的个数是 .答案 65例1 数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1)求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an (n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.（2）设bn的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0,d=2,b1=3,Tn=3n+ 2=n2+2n.例2 （14分）已知f(x)=logax(a0且a1)，设f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a为常数，求证：an成等比数列；（2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn，当a= 时，求Sn.（1）证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2,即logaan=2n+2, 2分可得an=a2n+2. = = =a2（n2）为定值. 4分an为等比数列. 6分(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a= 时，bn=(2n+2)( )2n+2=(n+1)2n+2. 8分Sn=2 23+3 24+4 25+(n+1) 2n+2 2Sn=2 24+3 25+4 26+n 2n+2+(n+1) 2n+3 -得-Sn=2 23+24+25+2n+2-(n+1) 2n+3=16+ -(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n 2n+3-2n+3=-n 2n+3.Sn=n 2n+3. 14分例3 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)解 （1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an