2012届高考理科数学第一轮总复习坐标系与参数方程教案.doc

2012届高考理科数学第一轮总复习坐标系与参数方程教案高考导航考试要求重难点击命题展望一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2 .了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用. 本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程. 坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数 方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念 【例1】已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，6)，B(5，2)，C(43，3)，试判断ABC的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得AOB3，BOC56，AOC56.又|OA|OB|5，|OC|43，由余弦定理得|AC|2|OA|2|OC|22|OA| |OC| cosAOC52(43)22543 cos56133，所以|AC|133.同理，|BC|133.所以|AC|BC|，所以ABC为等腰三角形.又|AB|OA|OB|5，所以AB边上的高h|AC|2(12|AB|)21332，所以SABC12133256534.【点拨】判断ABC的形状，就 需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A(5，3)在条件：0，(2，0)下极坐标为 ，0，(2，4)下极坐标为 ；(2)点P(12，43)与曲线C：cos 2的位置关系是 .【解析】(1)(5，53)；(5，103).(2)点P在曲线C上.题型二 直角坐标与极坐标的互化 【例2】O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为xcos ，ysin ，由4cos ，得24cos ，所以x2y24x，即x2y24x0为O1的直角坐标方程. 同理，x2y24y0为O2的直角坐标方程.(2) 由 解得 或 即O1，O2的交点为(0,0)和(2，2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为xy0.【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆3上的点到直线(cos 3sin )2的距离为d，求d的最大值.【解析】将极坐标方程3化为普通方程x2y29，(cos 3sin )2可化为x3y2.在x2y29上任取一点A(3cos ，3sin )，则点A到直线的距离为d|3cos 33sin 2|2|6sin(30)2|2，它 的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2(y1)21于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y2，则有|PQ|PR|.设P(，)，Q(0，)，则有02sin .因为|PR|PQ|，所以|2sin |2sin |，所以2或sin 1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2y24或x0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简 化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A在直线x5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x5的极坐标方程为cos 5.设A(0，0)，P(，)，因为点A在直线cos 5上，所以0cos 05.因为OPA为等腰三角形，且OPA120，而|OP|，|OA|0以及POA30，所以03，且030.把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为3cos(30)5.题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T： 可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P(x，y).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan 34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1和F2的坐标；(2)当tan 34时，求(1)中的椭圆C 在变换T下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由椭圆定义知焦距2c22 c2，即a2b22.又由已知得a2b24，故由、可解得a23，b21.即椭圆C的标准方程为x23y21，且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(2，0)和F2(2，0).对于变换T： 当tan= 时，可得 设F1(x1，y1) 和F2(x2，y2)分别是由F1(2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T变换得到.于是 即F1的坐标为(425，325)；又 即F2的坐标为(425，325).(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan 34时，有 x3y，由点P(x，y)C，即P(3y，y)C，得(3y)23y21 因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(32，12)和(32 ，12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x2y2经过伸缩变换 后变成直线2xy4.【解析】 总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例1】 把下列参数方程化成普通方程：(1) (为参数)；(2) (t为参数，a，b0).【解析】(1) 所以5x24x y17y2810. (2)由题意可得 所以22得4x2a24y2b24，所以x2a2y2b21，其中x0.【变式训练1】把下列参数方程化为普 通方程，并指出曲线所表示的图形.(1) (2) (3) (4) 【解析】(1)x22(y12)，2x2，图形为一段抛物线弧.(2)x1，y2或y2，图形为两条射线.(3)x2y23y0(y3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).(4)(x6)216(y3)2251，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长 【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为2cos 21.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析】(1)由曲线C：2cos 22(cos2sin2)1，化成普通方程为x2y21.(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t为参数).把代入得(2t2)2(32t)21，整理得t24t60.设其两根为t1，t2，则t1t24，t1t26.从而弦长为|t1t2|(t1t2)24t1t2424(6)40210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y3(x2)，代入x2y21，得2x212x130.设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x2132，所以|AB|13 (x1x2)24x1x226226210.【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点 ，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为2cos(4)，求直线l被曲线C所截的弦长.【解析】将方程 (t为参数)化为普通方程为3x4y10.将方程2cos(4)化为普通方程为x2y2xy0.表示圆心为(12，12)，半径为r22的圆，则圆心到直线的距离d110，弦长2r2d2212110075.题型三 参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：x264y291.C1是以(4,3)为圆心，1为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t2时，P(4,4)，Q(8cos ，3sin )，故M(24cos ，232sin ).C3为直线x2y70，M到C3的距离d55|4cos 3sin 13|，从而cos 45，sin 35时，d取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为2cos 4sin (0).(1)化曲线C1 、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.【解析】(1)曲线C1：x216y241；曲线C2：(x1)2(y2)25.曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，2)，半径为5的圆.(2)曲线C1：x216y241与x轴的交点坐标为(4,0)和(4,0)， 因为m0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y