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2012届高考理科数学数列与不等式复习教案 2012届高考数学二轮复习专题三 数列与不等式【重点知识回顾】1 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点2 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想【典型例题】1等差数列与等比数列的综合等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高例1设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ） A B C D 答案：A解析：设数列 的公差为 ，则根据题意得 ，解得 或 （舍去），所以数列 的前 项和 例2等比数列 的前n项和为 ，且4 ，2 ， 成等差数列若 =1，则 =（ ）（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析： 4 ，2 ， 成等差数列， ，即 ， ，因此选C点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力2函数与不等式综合不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：理解题意，设变量设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；在定义域内，求出函数的最值；正确写出答案例设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a 0，b 0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ） A B C D 4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a 0，b 0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a 0，b 0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而 = ，故选A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答例4本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为03万元和02万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得 目标函数为 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 ，即 平移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值联立 解得 点 的坐标为 （元）点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一例5设 为实数，函数 (1)若 ，求 的取值范围；(2)求 的最小值；(3)设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集解析：（1）若 ，则 ；（2）当 时， ，当 时， ，综上 ；（3） 时， 得 ，当 时， ；当 时， 0，得： ；讨论得：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力3函数与数列的综合高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力例6知函数 （）设 是正数组成的数列，前n项和为 ，其中 若点 (nN*)在函数 的图象上，求证：点 也在 的图象上；（）求函数 在区间 内的极值解析：()证明： 因为 所以 ，由点 在函数 的图象上, ， 又 ，所以 ， 是 的等差数列，所以 ,又因为 ,所以 ,故点 也在函数 的图象上()解: ,令 得 当x变化时, 的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)极大值 注意到 ,从而当 ,此时 无极小值；当 的极小值为 ,此时 无极大值；当 既无极大值又无极小值点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力4数列与不等式、简易逻辑等的综合数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高例7设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A8 B4 C1 D 答案：B解析：因为 ，所以 ， ，当且仅当 即 时“=”成立，故选择B点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力例8设数列 满足 为实数（）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；（）设 ，证明： ；（）设 ，证明： 解析： (1) 必要性： ，又 ，即 充分性 ：设 ，对 用数学归纳法证明 ， 当 时， 假设 ， 则 ，且 ，由数学归纳法知 对所有 成立(2) 设 ，当 时， ，结论成立当 时， ， ,由（1）知 ，所以 且 ， ， ，(3) 设 ，当 时， ，结论成立，当 时，由（2）知 ， 点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高数列与概率的综合数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想例9将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为 ，选B点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复【模拟演练】1公差不为零的等差数列 的前 项和为 若 是 的等比中项, ,则 等于( )A 18 B 24 C 60 D 902 等差数列an和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示，若 ，则 的值为( )A B C D 3已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）A B C D 4 已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(ab)2cd的最小值是_5设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上则数列 的通项公式为 6命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足 或 ，且 是 的必要不充分条件，求 的取值范围7已知二次函数 的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）（l）若方程 有两个相等的根，求 的解析式； （2）若 的最大值为正数，求 a 的取值范围8围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)（）将y表示为x的函数： （）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【参考答案】1答案：C解析：由 得 得 ,再由 得: 则 ,所以 ,故选C2答案：A解析： ； 3 答案：C解析：依题意得 或 所以 或 解得： ，故选C4答案：4 解析：(ab)2cd(xy)2xy(2xy)2xy45答案： 解析：由题意得， 即 当n2时， ;当n=1时， -21-1-61-5所以 6解析：设 ， = 因为 是 的必要不充分条件，所以 ，且 推不出 而 ， 所以 ，则 或 即 或 7解析：（1）因为 的解集为（1，3），所以 且 因而 （1）由方程 得： （2）因为方程（2）有两个相等的根所以 ，即 解得： （舍去）或 ，将 代入（1）得 的解析式为： ，（2） ，有a 0，可得 的最大值为 ，所以 0，且a 0解得： ，