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单自由度系统的振动 第一章 为什么要研究单自由度系统的振动 2 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统 用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果 3 单自由度系统的基本概念具有普遍意义 多自由度系统和无限自由度系统的振动 在特殊的坐标系中考察时 显示出与单自由度系统类似的性态 引言 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础 引言 振动系统的组成 振动系统 弹性元件 振动系统的组成 弹性元件是提供振动的回复力 惯性元件是承载运动的实体 阻尼在振动过程中消耗系统的能量和吸收外界的能量 1 弹性元件 当较小时 弹簧的刚度系数 单位 弹性元件的意义和性质 振动系统的组成 假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围 振动系统的组成 弹簧的等效刚度系数 振动系统的组成 振动系统的组成 2 惯性元件 1 惯性元件的意义和性质 振动系统的组成 3阻尼元件 1 阻尼元件的意义和性质 阻尼系数 使阻尼器产生单位速度所需施加的力 单位 振动系统的组成 单自由度系统的振动方程 结论 只要以系统静平衡位置为坐标原点 那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用 无阻尼单自由度系统的自由振动 正确理解固有频率的概念 会求单自由度无阻尼系统的固有频率 第一章 单自由度系统的振动 无阻尼单自由度系统的自由振动 1 固有频率概念的引出 图无阻尼单自由度系统 特征方程 natrual的第一个字母 对固有频率的正确理解 固有频率仅取决于系统的刚度和质量 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关 是系统的固有特性 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系 固有频率 2初始扰动引起的自由振动 自由振动 运动方程 特征根 无阻尼单自由度系统的自由振动 初相位 振幅 初相位 自由振动 初始条件是外界能量注入的一种方式 有初始位移即注入了弹性势能 有初始速度即注入了动能 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 简谐运动三要素 无阻尼单自由度系统的自由振动 1 简谐振动是一种周期振动 3简谐振动的特征 无阻尼单自由度系统的固有周期 无阻尼单自由度系统的自由振动 固有频率 表示单位时间内重复振动的次数 无阻尼单自由度系统的自由振动 2 简谐振动的位移 速度和加速度之间的关系 速度与位移的 相位差是90度 意味着什么 加速度与位移的 相位差是180度 意味着什么 位移最大时 速度为零 速度最大时 位移为零 加速度与位移的最大值出现在同一时刻 但符号相反 无阻尼单自由度系统的自由振动 两个同频率不同的简谐振动的合成 如果两频率比为有理数 可通约 时 合成振动为周期振动 为无理数时 为非周期振动 合成信号 无阻尼单自由度系统的自由振动 拍 合振幅随时间做周期型变化 振动时而加强 时而减弱 一个拍 无阻尼单自由度系统的自由振动 振幅 例 升降机笼的质量为 由钢丝绳牵挂以等速度向下运动 钢丝绳的刚度系数为 质量可忽略不计 如果升降机运行中急刹车 钢丝绳上端突然停止运动 求此时钢丝绳所受的最大张力 解 无阻尼单自由度系统的自由振动 微分方程法 4求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法 能量方法 等效质量和等效刚度法 静变形法 无阻尼单自由度系统的自由振动 equivalent的前两个字母 有阻尼单自由度系统的自由振动 第一章 单自由度系统的振动 有阻尼单自由度系统的自由振动 阻尼 阻碍物体运动 消耗系统能量的各种因素统称为阻尼 阻尼的机理十分复杂 只靠物理学上的 力学上的定理是不能得到实际系统的阻尼的 因此 阻尼往往通过实验来确定 阻尼既有有用的一面也有有害的一面 有用的一面 消耗系统振动能量 减小振动幅值 增加系统的稳定性 有害的一面 增加运动阻力 降低运动速度 牛顿第二定律 自由运动方程 1 自由运动微分方程的建立 有阻尼单自由度系统的自由振动 阻尼比 2特征根 有阻尼单自由度系统的自由振动 1 过阻尼情况 特征方程有一对互异实根 故通解为 有阻尼单自由度系统的自由振动 图质量块对初始位移的过阻尼响应 结论 过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动 有阻尼单自由度系统的自由振动 2 临界阻尼情况 特征方程有一对相等实根 故通解 有阻尼单自由度系统的自由振动 图质量块对初始条件的临界阻尼响应 结论 临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动 有阻尼单自由度系统的自由振动 3 欠阻尼情况 或 有阻尼单自由度系统的自由振动 振幅按指数规律衰减 自由振动具有等时性 即相邻两个正 负 峰值之间的时间间隔均为 阻尼振动周期 自由振动为非周期振动 3 欠阻尼振动特性 有阻尼单自由度系统的自由振动 引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢 相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率 当系统阻尼比较小时 有 有阻尼单自由度系统的自由振动 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 从数学的角度理解共振现象 会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应 会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比 掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征 第一章 单自由度系统的振动 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 受迫振动 受迫振动方程 系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动 自激振动方程 颤振 激励受系统控制 受振动系统的运动控制 受迫振动方程 齐次方程通解 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 理解共振现象的数学本质 1 如果 非齐次方程通解 由初始条件和外力引起的自由振动部分 与外激励频率相同的受迫振动部分 特解 待定常数 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 2 如果 特解 特解的形式 待定常数 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 图共振响应 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 2020 3 18 42 可编辑 思考 实际系统在共振时 其振幅会是无限大么 1 实际系统都存在阻尼 阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅 2 当振幅增大到一定程度后 支配系统运动的微分方程已经不再是线性微分方程了 而是非线性运动微分方程 所以此时根据线性运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了 简谐激励下无阻尼系统的受迫振动 求齐次方程通解 1 简谐激励下受迫振动的解 运动方程 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 完整的受迫振动解 瞬态振动 稳态振动 受迫振动响应的特征 总的振动响应瞬态振动和稳态振动的叠加 随着时间的增加 瞬态振动消失 响应主要由稳态振动构成 稳态振动与激励同频 但与激励之间有相位差 稳态振动的振幅和相位差与初始条件无关 初始条件只影响系统的瞬态振动 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图受迫振动的构成 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 引入两个无量纲参数 稳态振动 频率比 位移振幅放大因子 位移幅频特性 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图位移幅频特性 频率比对位移响应幅值的影响 低频段 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 高频段 解释 激振力的方向改变过快 振动物体由于惯性来不及发生相应的变化 结果是近似地停着不动 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图位移幅频特性 图位移幅频特性 位移共振 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 阻尼比对位移响应幅值的影响 阻尼在共振区 对减小振幅有显著作用 在远离共振区 阻尼对减小振幅的作用不大 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图位移幅频特性 图位移相频特性 低频段 说明响应与激励之间几乎是同相的 相位差随频率比的变化 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 高频段 说明响应与激励之间是反相的 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图位移相频特性 位移共振 说明响应与激励之间相差90度 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 图位移相频特性 共振 统一规定 频率比时发生共振 共振时 简谐激励下有阻尼系统的受迫振动 隔振 在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量 图锻锤的弹性支撑 振动的隔离 生活中不自觉地运用隔振原理的例子2 振动的隔离 第一类隔振 隔力 通过弹性支撑隔离振源传到基础的力 振动的隔离 第二类隔振 隔幅 通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值 图隔幅示意图 振动的隔离 经隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别为 图隔力问题的力学模型 振动的隔离 隔振的评价 力传递率 图隔力问题的力学模型 隔力的条件 传到基础上的合力的幅值 振动的隔离 图绝对运动传递率幅频特性 绝对运动传递率 2 第二类隔振 隔幅 振动的隔离 周期激励下的振动分析 任意激励下的振动分析 理解周期激励下受迫振动的求解思路 第一章 单自由度系统的振动 当外激励不是简谐激励 而是一般的周期激励 受迫振动如何求 周期激励下的振动分析 思路 叠加原理 周期激励 周期激励下的振动分析 如果周期函数满足狄利赫莱条件 1 在一个周期内 极大值和极小值数目是有限个 2 在一个周期内 如果有间断点存在 则间断点数目为有限个 3 在一个周期内 函数绝对值的积分为有限值 即 傅立叶级数展开 周期激励下的振动分析 另一种形式 周期激励下的振动分析 系统 周期激励下的振动分析 稳态解 周期激励下的振动分析 函数 且 函数的单位 为自变量的倒数 如自变量是时间 则单位是1 s 任意激励下的振动分析 脉冲力的表示 任意一个量与函数相乘后得到的是相应于该量的分布量 任意激励下的振动分析 脉冲力的平均值 集中力 集中力矩 将集中力转化为分布力 将集中力矩转化为分布力矩 任意激励下的振动分析 如果系统在零初始条件下受到一个单位脉冲力作用 响应怎么求 初始条件变为 设脉冲力的作用时间区间是 根据冲量定理 任意激励下的振动分析 任意激励下的振动分析 任意激励下的振动分析 在时刻作用的单位脉冲 冲量为1 引起的t时刻的响应为 已知单位脉冲响应 如何求解系统在任意激励下的响应 则在时刻作用的冲量为引起的t时刻的响应为 任意激励下的振动分析 非零初始条件下 系统的响应 应用初始条件 得 单自由度系统的振动分析 1 频