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第3讲 圆锥曲线的综合问题1(2018高考全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为yx或yx.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2b0)上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若PA，PB交直线x6于不同的两点M，N.问以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由椭圆的定义可知2a4，a2，若点P运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF1与圆一定相交，故点P只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P为上顶点(0，b)，F1为左焦点(c，0)，则直线PF1：bxcybc0，由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e，所以，解得b1，故椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线PA，PB的斜率存在且都不为0.设kPAk，点P(x0，y0)，x02，又A(2，0)，B(2，0)，所以kPAkPB，得kPB，直线PA的方程为yk(x2)，令x6，得y8k，故M(6，8k)；直线PB的方程为y(x2)，令x6，得y，故N.因为yMyN8k80)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|x1x2|.将m代入得k1.所以l的方程为
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