微积分习题精解(5).pdf

27 习题 5 1 解答 习题 5 1 解答 1 求由曲线xyln 2 x及x轴所围成的平面图形的面积 解解 所围平面图形如图 5 1 1 所示 于是 12ln2lnln 2 1 2 1 xxxxdxA 或 12ln22 2 2ln 0 2ln 0 yy eydyeA 2 求由曲线xy2 2 4 xy所围成的平面图形的面积 解解 所围平面图形如图 5 1 2 所示 于是 18 6 4 2 2 4 4 2 32 4 2 2 y y y dx y yA 3 设曲线方程为 x ey 0 x 试在此曲线上找一点 使过该点的切线 曲线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最小 并求出该面积 解解 如图 5 1 3 所示 所夹平面图形的面积最小 等价于求过图中曲线上 任意一点 a ea 的切线PQ与两坐标轴所夹三角形oPQ的面积最大 于是切 线的方程为 axeey aa P的坐标为 1 aa Q点的坐标为 1 a eaa 因此三角形oPQ的面积为 eaaeaA aa 2 1 2 1 1 1 2 1 可求得当1 a 三角形oPQ的面积最大 最大面积为 1 2 e 于是所求切点为 1 1 e 最小面积为 e edxe x11 0 212 y x o 2 xyln 2ln 1 图图 5 1 1 y x o xy2 2 2 48 4 xy 4 图图 5 1 2 28 4 已知曲线axy 2 2 1 及1 2 12 xy 试确定a 使两曲线所围成的 平面图形的面积为 3 32 解解 两曲线的交点为 1 2 1 1 aa 及 1 2 1 1 aa 因此两曲线 所围成的平面图形的面积为 2 3 1 1 3 1 1 2 1 1 22 1 3 4 3 1 2 1 2 3 32 a x xax dxxadxa xx a a a a a a 解得3 a 5 考虑函数 2 xy 10 x 试求 1 当t取何值时 图 5 1 4 中阴影部分的面积 1 A与 2 A之和 21 AAA 最小 2 当A最小时 阴影部分绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 解解 1 由于 21 AAA 1 22 0 22 t t dxtxdxxt 1 2 3 0 3 2 33 t t xt xx xt 2 3 3 1 3 4 t t 令024 2 tttA 得 2 1 t或0 t 又02 2 1 A 所以当 2 1 t时 面积A最小 2 当A最小时 阴影部分绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积为 1 4 1 4 1 0 1 4 1 2 4 1 0 2 1 1 dyyydydyxdyxV 1 A x 2 xy y o t1 2 A 图图 5 1 4 y x o a x ey a ea P Q 图图 5 1 3 29 16 5 2 2 1 4 1 2 4 1 0 2 yyy 6 求椭球体1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的体积 解解 1 如图 5 1 5 所示 过点 作垂直于轴的平面 截椭球的截面为 2 2 2 2 2 2 1 a x c z b y 即 ax a x c z a x b y 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 因此椭圆截面的面积为 2 2 2 2 2 2 111 a x bc a x c a x bxA 于是所求椭球体的体积为 dx a x bcdxxAV a a a a 2 2 1 3 4 abc 7 已知抛物线 3 1 xxay 试计算两坐标轴与该抛物线所围图形及 x 轴与该抛物线所围图形绕 x 轴旋转所产生的两个旋转体体积之比 解解 如图 5 1 5 所示 两坐标轴与该抛 物线所围图形绕 x 轴旋转所产生的旋转体 体积为 dxxxaV 1 0 22 1 3 1 2 15 38 a x 轴与抛物线所围图形绕 x 轴旋转所产生的 旋转体体积为 dxxxaV 3 1 22 2 3 1 2 15 16 a 所以两体积比为8 19 21 VV x z o x c a y b 图图 5 1 5 y x o 13 3 1 xxay 图图 5 1 6 30 习题 5 2 解答 习题 5 2 解答 1 已知生产x个单位的某种产品 边际单位成本 C x xx 100 2 产 量为 1 个单位时 成本为 102 又知边际收入为 R xx 1201 求 1 利润函数 2 利润最大时的产量 3 利润最大时的平均价格 解解 1 依题 x dt t dt t tC C x xC xx 100 2 100 102 1 1 2 1 所以1002 xxC 又 2 00 05 012 1 012 0 xxdttdttRRxR xx 因此1001005 0 2 xxxCxRxL 2 令0101 0 xxL 得100 x 且01 0 100 L 所 以利润最大时的产量为100 x 3 利润最大时的平均价格 7 100 10005 010012 2 100 x x xR 2 某工厂购置了一台机器 若该机器在时刻 t 所生产出的产品 其追加 盈利 追加收益减去追加成本 为 2 25 0225 ttI 万元 年 在时刻 t 时机器的追加维修成本为 2 2 ttF 万元 年 在不计购置成本的情况下 试计算 1 假设在任何时刻拆除这台机器 它都没有残留价值 使用这台机器 获得的最大利润为多少 2 假设这台机器在时刻 t 单位 年 有残留价值 t tS 6 6480 那么 应在何时拆除这台机器 工厂可获得最大利润 解解 1 使用这台机器在时刻 t 追加净利润为 2 4 9 225 ttFtI 万元 年 由函数极值得判别方法知 当10 t 利润 tFtI 取得最大值 最大利 润为 31 1500 4 9 225 10 0 2 10 0 dttdttFtI 万元 2 假设在 T 年末拆除这台机器 工厂可获得最大利润 应满足得条件 是 T 年后得净利润等于 T 年末得残留价值 即 T TTdtt T 6 6480 4 3 2251500 4 9 225 3 10 2 解得4 T 即 4 年后拆除这台机器 工厂可获得最大利润 3 一对夫妇准备为孩子地存款积攒学费 目前银行的存款年利率为 2 以连续复利计息 若他们打算 10 年后攒够 5 万元 计算该对夫妇每年应等数 额地为其孩子存入多少钱 解解 设该对夫妇每年应等数额地为其孩子存入M万元 则Mtf 投资总收入的终值为 5 1 50 2 0 10 0 10 02 0 eMdtMe t 由此可解出4517 M 该对夫妇每年应等数额地为其孩子存入 4517 元 4 一位居民准备购买一座别墅 现价为 300 万元 如果以分期付款的 方式 要求每年付款 21 万元 且 20 年付清 而银行的存款年利率为 4 按 连续复利计息 请你帮这位购房者作一决策 是采用一次付款还是分期付款 合算 解解 将 20 年分期付款总量的现值与别墅现价相比较 即可作出选择 由于每年分期付款为 21 万元 所以21 tf 于是分期付款总量的现 值为 1 289 1 525 04 0 21 21 8 0 20 0 04 0 20 0 04 0 万元 分期付款总量的现值 e edte tt 所以分期付款合算 5 某公司购进一批物资准备储藏一段时间后再出售 假设其购进成本为 C 将来出售的价值是时间 t 的函数 P t 且每年的储藏费用为 a 资金的年 利率为 r 如果按连续复利计算 试根据最大利润原则给出最佳销售时间 t 所 应满足的条件 并解释其经济意义 解 解 利润函数为 CdtaeetPtL t rtrt 0 求导数 rtrtrt aeetrPetPtL 令0 t L得atrPtP 32 习题 5 3 解答 习题 5 3 解答 1 一物体以速度23 2 ttv 米 秒 作变速直线运动 计算它在前 4 秒内的平均速度 解 解 物体在前 4 秒内的平均速度为 20 23 4 1 4 0 2 dtttv 米 秒 2 据统计 某汽车交易市场在 2001 年 11