数学教学是思维的教学.doc

数学教学是思维的教学 听课有感陶维林 （江苏南京师大附中 210003）我们常说，数学教学是思维的教学怎样在课堂教学中实施思维教学？思维教学的材料从哪里来？如何适时介入把握思维教学的契机？最近我听了一堂课，就颇有感触这里先把教学的主要过程写出来，并就在课堂教学中实施思维教学的问题谈一点想法，供同行参考不当之处，敬请指正1 教学过程简述教学内容是新课程标准教材数学43，三角函数的应用数学教学应当从问题开始，上课伊始，教师亮出问题1：如图1，在一个半径为r的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？师：（不到2分钟教师开始提问）我请一位同学说说你的解法这不是一道难题，同学们稍作思考是能够说出解法的生1：设AOD，（0，）S矩形ABCD4 SAOD2 r2 sin当时，sin1，（S矩形ABCD）max2r2 图1所有内接矩形中，正方形面积最大生2：建立直角坐标系如图2，设EOC，（0，） CErsin，OErcos，S矩形ABCD4 r2 sincos2 r2 sin2当时，sin21，（S矩形ABCD）max2r2 图2 图3生3：（主动要求发言）如图3，连结AC在（直径AC所分的）每一个半圆中，直角三角形斜边长2r一定，斜边AC上的高最大时，每一个直角三角形面积最大，矩形面积最大在RtABC中，过B作AC的垂线，垂足为H，当H与圆心O重合时，BH最大，RtABC面积最大同学们鼓起掌来，赞扬他主动发言的勇气，赞扬他解法的巧妙正当同学们为前一位同学的解法鼓掌叫好时，又一位同学要求发言生4：设ABx，则BC，x（0，2r）S矩形ABCDx教室里很安静，大家都在看他怎样对付x，求出最大值他不慌不忙地说，x2r2，最大值是2r2同学们又鼓起掌来，而且掌声更响因为，“平均不等式”还没有学，在数学5的第三章呢教师指出还要给出不等式中等号成立的条件生4补充说，等号在xr时成立还有生5提出，在图2中，设OEx，得到S矩形ABCD4x44当x2，xr时，S矩形ABCD取得最大值2r2同学们思维活跃，积极参与，课堂气氛热烈师：同学们给出了这道题的多种解法，很好我们把题目改一下，把圆改成半圆，请看下一道题教师又亮出问题2：如图4，在所有内接于半径为r的半圆的矩形中，怎样的矩形面积最大？有了解前一题的经验，同学们也很快给出了类似于前的几种解法紧接着，教师又亮出问题3：如图5，矩形MNPQ内接于半径为r，圆心角为60的扇形AOB，点M，N在半径OA上，点P在弧AB上，点Q在半径OB上求矩形MNPQ面积最大值这道题可不容易，同学们不知道怎样选择 图4 图5自变量好如何列出函数式？即便列出了函数式求出最大值也决非易事 各自埋头演算起来，教室里静悄悄片刻，教师着急起来，要求同学们抬起头听他讲有少数几个人抬起头来，多数学生并不想听老师讲，还在埋头演算虽然没几个学生抬起头来，但是教师还是讲起来了显然，教学效果就很难保证了2 对教学过程的几点思考应该说这堂课并不差，这样的教学过程也许并不少见教师进行了精心设计，从一个问题开始，通过一题多解、一题多变，实施“变式教学”，发挥开放题的作用，发展学生的思维能力；注意到数学教学是活动的教学，积极引导学生参与教学过程，让同学们活动起来但是，笔者总觉得意犹未尽2.1 适时介入，捕捉思维教学的契机在问题1的解答过程中，笔者以为还有许多“金子”可挖比如，追问学生：“你怎么想到设AOD，用角做自变量的？”“你怎么想到设ABx，用边长做自变量的？”“你的解法怎么这么巧，只要关注点B到直径AC的距离就可以了？”“你是怎么想到建立直角坐标系的？”等等，这是一些更值得关注的深层问题，是实施思维教学的极好材料教学实践表明，在学生回答问题、板演、练习、作业等各种活动中，都存在思维教学的材料教师适时介入，把这些活动背后的思维过程挖掘出来，不放过实施思维教学的契机，把思维活动引向纵深，推向高潮，提高思维的层次，发展思维能力但是，这些来自学生的思维教学的丰富材料往往不被注意，白白流失了因此，捕捉来自学生的思维材料用于课堂教学是教师的基本功不仅解题教学中有思维，同样概念形成的背后也充满思维教学的材料为什么要定义这个概念？这样定义合理吗？如何理解这个概念？等等2.2 思维教学提倡学生独立思考经常见到这样的情况，教师把题目朝黑板上刚写完，没等学生弄清怎么回事，就开始头头是道地分析起来，或者没等学生进行比较充分的思考就开始提问，剥夺了学生思维的时间与空间只能用教师的思维，被提问同学的思维填补其他同学的思维这样做的结果是强迫学生接受，破坏了思维的自主性、独立性，有碍于学生的思维发展要尊重学生的思维过程，让其暴露出来，即便是错误的甚至可笑的，而这是实际存在的，你不可以视而不见有一个例子说，教师问学生“天上的云彩象什么？”一学生回答“象狗”教师很不高兴，答案是“象棉花”“象狗”就很形象，为什么非象棉花不可呢？一个有关洗衣机的广告，把洗衣机滚筒想像成海底世界就极具想像力学生的思维丰富多彩，有奇思妙想，教师可能始料未及让学生的思维暴露出来，有错误就找原因，经过交流、讨论，解决问题，要特别注意寻找其中合理的成分同时，也要关注他们怎样表达自己的观点，怎样交流发展是多方面的，除对数学知识的理解，还有表达能力，心理素质等其他方面的发展让学生暴露思维过程，教师要学会倾听，让人把话讲完，不要扑灭学生思维的“火花”尊重学生的思维过程，就要敢于挑战自我，不怕“挂黑板”，丢面子，让自己活动在能力的边缘尊重学生的思维过程，还要有耐心，学会等待，注意推迟判断，不能图省事，把结果“抛”给学生必须真正让学生有独立思考的时间和空间，“重结果，轻过程”不可取2.3 培养学生主动思维的习惯问题3写上黑板以后，同学们都埋头在纸上画起来，积极思考着，并不想马上就听老师讲“老师，你先让我想一想”这是主动学习的表现，十分可贵只有学生的学习是主动的才是最有效的要增强教学效果，培养学生主动学习的习惯至关重要，是教师必须长期坚持的任务那种老师写完题目后就等老师讲的学习习惯是思维懒惰，不可能有好的学习效果学生是学习的主体，学生力所能及的事让他们自己去做，不要越俎代庖，是教学的一条原则不要剥夺学生能力发展的每一时机，让学生被动接受教师的讲解、教师的思维这堂课的教学意图是三角函数的应用，而实际上许多同学并不理会教师课前的“预设”，并不朝这个方向想，后面3位同学的解法就很能说明问题这就是思维，十分自然的思维2.4 数学活动是思维的活动“数学教学是数学活动的教学”已经成为广大一线教师的共识尤其在当前新课程改革，倡导改变学生学习方式的大势下，几乎没有学生不活动的课堂特别是“新课改展示课”更是如此但是，笔者从听过的一些课中发现，教师对“为什么要活动？”“活动在哪里？”“怎样活动？”等许多问题并不十分清晰，并没有完全理解学生在课堂教学中活动的意义，并没有认识到“数学活动是思维活动”这一特点这样一来，流于形式做表面文章就难免了一个很简单的问题，几乎没有多少思维价值，并不处于思维的“最近发展区”内，并不需要“跳一跳摘果子”，也要4人一个小组讨论一番甚至教师已经把答案写在黑板上，也让学生开展一番“探究活动”课堂上确实是热热闹闹，但真正让学生体验数学思维的特点，发展学生的思维能力就可想而知了解题训练也不等于思维训练！一题多解，一题多变的热热闹闹，也要看思维价值的高低一堂课是不是好课，其中一个重要指标是，看有没有高水平的思维活动，而不是表面上的热热闹闹，“重操作，轻思维”不可取教师提出一个有较高思维价值的问题，同学们积极思考，教室里静悄悄，这算不算活动？教师在黑板上写完题目，让学生想一想，这时需要静悄悄，不要立即滔滔不绝地讲，打搅学生思维实施思维教学的关键在于提高教师“数学教学是思维的教学，数学活动是思维活动”的意识数学活动是师生、生生之间的思维交流这个交流是独立思考后的交流，不进行独立思考哪来交流？通过交流，互相启发，互相借鉴，互相学习，发展思维能力2.5 发挥教师的主导作用教师的主导作用在哪里？从上面的分析可以看出，适时介入挖掘思维过程是其中之一，另外，还要引导学生比较、归纳、概括比如，在挖掘对问题1多种解法的思维过程以后，比较生2与生5的解法：生2设EOC，得到S4 r2 sincos；生5设OEx，得到S4x，能揭示它们之间的联系吗？这几种解法的共同点是什么（如都关注图形的对称性这一重要特征）？不同点在哪里（如造成矩形面积变化的原因不尽相同）？哪一种方法最好（如选择角作为自变量的方法比较简便）？培养学生提出问题、研究问题的能力，而不仅仅是解决问题再比如，研究函数最大、最小值的应用问题，要关注引起函数值变动的原因这个原因可能是某个角的变化引起的，可能是某条边的变化引起的，可能是某个点到某条线的距离的变化引起的，等等一类问题解决以后可以归纳解这类问题的大致步骤，形成简缩思维，努力提升学生分析问题解决问题的能力授人以“鱼”，更教人以“渔”这样，在遇到问题3时，学生就可能把从解答问题1所产生的经验迁移过来在问题3中，矩形面积之所以变动是因为点P在变动，而点P绕点A转动（在圆上运动），刻画转动用角比较恰当，因此可以设AOP，建立矩形MNPQ的面积与的函数关系；也可以说，是因为点M的变动引起了矩形MNPQ面积的变动，设OMx，建立矩形MNPQ的面积与x的函数关系，等等，教学生学会思考这样做学生不仅不会感到无从下手，只会感到合理、自然，乐于接受虽然“设OMx”不如“设AOP”简单，但是，两种方法的繁简、它们之间的联系的比较过程又是一次思维教学的过程教师不应把“设AOP”强加给学生否则就显得很生硬，学生就会常常有“老师想得真好，离开老师，我怎么总想不到”的困惑实际上，教师在备课时也许采用过“设OMx”的方法，但是建立起的函数式比较复杂，难以求出它的最大值教师所走过的“弯路”也是实施思维教学的好材料，有时让学生经历一次也并非坏事暴露学生的思维过程是实施思维教学的好材料，暴露教师的思维过程也是实施思维教学的好材料要暴露怎样由失败走向胜利的思维过程，还要敢于暴露失败了没有结果的思维过程，分析其中的原因教师的主导作用还在于引导