大学物理第三章-动量守恒定律和能量守恒定律-习题及答案.pdf

第 4 讲 动量和冲量 1 第三章第三章 动量守恒定律和能量守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律 前一章我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律 讨论了质点运动状 态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系 对于一些力学问题除分析力的瞬时 效应外 还必须研究力的累积效应 也就要研究运动的过程 而过程必在一定 的空间和时间内进行 因而力的积累效应分为力的空间积累和时间积累两类效 应 在这两类效应中 质点或质点系的动量 动能或能量将发生变化或转移 在一定条件下 质点系内的动量或能量将保持守恒 1 力的空间累计效应 功 能 2 力的时间累计效应 冲量 动量 3 相关规律 动能定理 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 动量定理 动量守恒定律 角动量守恒定律 引入 牛顿第二定律 amF 1 vmvmtF t v mF ddd d d 动量定理 2 2 2 1 ddd d d d d d d d mvvvmrm rd v vm t r r v m t v mF 动能定理 三次课 三次课 1 动量定理 2 动能定理 3 综合运用 本章分 9 节 3 1 质点和质点系的动量定理 3 2 动量守恒定律 3 3 系统内质量流动问题 3 4 动能定理 3 5 保守力与非保守力 势能 3 6 功能原理 机械能守恒定律 3 7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 3 8 能量守恒定律 3 9 质心 质心运动定律 第 4 讲 动量和冲量 2 3 1 质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理 实际上 力对物体的作用总要延续一段时间 在这段时间内 力的作用将 积累起来产生一个总效果 下面我们从力对时间的累积效应出发 介绍冲量 动量的概念以及有关的规律 即动量守恒定律 一 冲量一 冲量 质点的动量定理质点的动量定理 1 1 动量 动量 Momentum 表示运动状态的物理量 1 引入 质量相同的物体 速度不同 速度大难停下来 速度小容易停下 速 度相同的物体 质量不同 质量大难停下来 质量小容易停下 2 定义 物体的质量物体的质量 m 与速度与速度 v 的乘积叫做物体的动量 用的乘积叫做物体的动量 用 P 来表示来表示 P mv 3 说明 动量是矢量 大小为 mv 方向就是速度的方向 动量表征了物体的 运动状态 4 单位 kg m s 1 5 牛顿第二定律的另外一种表示方法 F dP dt 2 冲量冲量 Impulse 1 引入 使具有一定动量 P 的物体停下 所用的时间 t 与所加的外力有关 外力大 t 小 反之外力小 t 大 2 定义 作用在物体外力与力作用的时间作用在物体外力与力作用的时间 t 的乘积叫做力对物体的冲量的乘积叫做力对物体的冲量 用 I 来表 示 I F t 在一般情况下 冲量定义为 tFId 3 说明 冲量是矢量 表征力持续作用一段时间的累积效应 4 单位 N m 与动量的单位是相同的 动量的概念在上一章已经给出 其实 动量的概念早在牛顿定律建立之 前 由笛卡尔 R Descartes 于 1644 年引入 它纯粹是描述物体机械运动的 一个物理量 由经验知道 要使速度相同的两辆车停下来 质量大的就比质量 小的要难些 同样 要使质量相同的两辆车停下来 速度大的就要比速度小的 难些 由此可见 在研究物体机械运动状态的改变时 必须同时考虑质量和速 度这两个因素 为此而引入了动量的概念 3 3 动量定理 动量定理 Theorem of momentum 1 推导 设作用在质点上的力为 F 在 t 时间内 质点的速度由 v1变成 v2 根据牛 顿第二定律 t v mamF d d 可得 第 4 讲 动量和冲量 3 vmtF dd 积分 2 1 dd v vt vmtF 即 12 vmvmI 2 内容 在给定时间间隔内 外力作用在质点上的冲量 等于此质点在此时间内动在给定时间间隔内 外力作用在质点上的冲量 等于此质点在此时间内动 量的增量 量的增量 3 说明 1 冲量的方向并不是与动量的方向相同 而是与动量增量的方向相同 2 动量定理的分量式 xx t xx mvmvtFI 12 d yy t yy mvmvtFI 12 d zz t zz mvmvtFI 12 d 3 动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素 即冲量 决定的 4 动量定理的成立条件 惯性系 动量定理说明 力在一段时间内的累积效果 是使物体产生动量增量 要产 生同样的效果 即同样的动量增量 力可以不同 相应作用时间也就不同 力 大时所需时间短些 力小时所需时间长些 只要力的时间累积量即冲量一样 就能产生同样的动量增量 注意I 是过程量 累积量 F 是瞬时量 p 是状态量 4 应用 利用冲力 增大冲力 减小作用时间 冲床 避免冲力 减小冲力 增大作用时间 轮船靠岸时的缓冲 例例 利用动量定理计算利用动量定理计算平均冲力平均冲力 动量定理常用于碰撞 打击等问题的研究 在碰撞等过程中 由于作用的 时间 t 极短 冲力的大小变化很大且 很难测量 但是只要测出碰撞前后的 动量和碰撞所持续的时间 则可得到 平均冲力 12 1 d 1 vmvm t tF t F t 说明 在碰撞过程中 可以认为质点没 有位移 由于冲力很大 在碰撞过程中作 第 4 讲 动量和冲量 4 用在质点上的其他有限大小的力与冲力相比 可 忽略不计 动量定理常用于碰撞过程 例子 处理方法 将在后面介绍 学功 能后 碰撞一般泛指物体间 相互作用时间很短的过程 请看例子 12 12 12 2 1 tt mm tt dt t t vv F F 现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力 有时又为避免冲力造成损害 而减少冲力 如 利用冲床冲压钢板 由于冲头受到钢板给它的冲 量的作用 冲头的动量很快 地减为零 相应的冲力很大 因此钢板所受的反作用冲力 也同样很大 所以钢板就被 冲断了 当人们用手去接对方抛 来的篮球时 手要往后缩一 缩 以延长作用时间从而缓 冲篮球对手的冲力 思考 冲量的方向是否与作用力的方向相同 1 如果F 是一个方向不变 大小变的变力 那末冲量 I 方向与F 方 向相同 冲量I 大小由外力大小和外力持续作用时间决定 如右图所示 冲量 大小等于图中曲线下的面积或系于平均冲力F 下的面积 12 2 1 ttFdtFI t t 2 如果F 是一个方向和大小都变的变力 那末冲量I 的大小和方向是由这段 时间内所有微分冲量F dt 的矢量总和所决定 例题 一弹性球 质量 m 0 2kg 速度为 v 6m s 与墙壁碰撞后跳回 设跳回 时速度的大小不变 碰撞前后的方向于墙壁的法线的夹角都是 600 碰撞的 时间为 t 0 03s 求在碰撞时间内 球对墙壁的平均作用力 解 以球为研究对象 设墙壁对球的作用力为F 球 在碰撞过程前后的速度为 1 v 和 2 v 由动量定理得 12 vmvmtF 建立如图所示的坐标系 则上式写成标量形式为 xxx mvmvtF 12 yyy mvmvtF 12 第 4 讲 动量和冲量 5 即 c o s2 c o s c o smvmvmvtFx 0sinsin mvmvtFy 因而 tmvFx cos2 0 y F 代入数据 得 NFx4003 0 60cos62 02 0 根据牛顿第三定律 球对墙壁的作用力为 40N 方向向左 二 质点系的动量定理质点系的动量定理 1 两个质点的情况 设系统内有两个质点 1 和 2 质量分别 为 m1和 m2 作用在质点上的外力分别为 F1和 F2 而两质点之间的相互作用力为 F12 和 F21 根据动量定理 在 t t2 t1时间内 两质点的动量的增量分别为 10111121 2 1 dvmvmtFF t t 20222212 2 1 dvmvmtFF t t 把上面两式相加 得 dd 2021012211 211221 2 1 2 1 vmvmvmvm tFFtFF t t t t 考虑牛顿第三定律 2112 FF 得 202101221121 2 1 vmvmvmvmdtFF t t 即 作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增 量 即系统动量的增量 量 即系统动量的增量 2 推广 n 个质点的情况 n i ii n i ii t t n i i t t n i i vmvmtFtF 1 0 111 2 1 2 1 dd 内外 考虑到内力总是成对出现的 且大小相等 方向相反 故其矢量和必为零 即 n i i F 0 0 内 设作用在系统上的合外力用 外力 F 表示 且系统的初动量和末动量分别用 第 4 讲 动量和冲量 6 P0和 P 表示 则 n i ii n i ii t t vmvmtF 1 0 1 2 1 d 外力 或 0 PPI 即 作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 这就是质点系的动量定作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量 这就是质点系的动量定 理 理 3 分量形式 Ix Px Px0 Iy Py Py0 Iz Pz Pz0 即某一方向作用于系统达到的所有外力的冲量的代数和等于在同一时间 内该方向系统的动量的增量 4 说明 1 合外力 作用于系统的合外力是作用于系统内每一质点的 外力的矢量和 只有外力才对系统的动量变化有贡献 而系统的内力是不能改 变整个系统的动量的 2 无限小的时间间隔的过程 PddtF 外 动量定理与牛顿定律的关系动量定理与牛顿定律的关系 牛顿定律 动量定理 力的效果 力的瞬时效果 力对时间的积累效果 关系 牛顿定律是动量定理的 微分形式 动量定理是牛顿定律的 积分形式 适用对象 质点 质点 质点系 适用范围 惯性系 惯性系 解题分析 必须研究质点在每时刻 的运动情况 只需研究质点 系 始末 两状态的变化 例题 如图所示 一柔软链条长为 l 单位长度的质量为 链条放在桌上 桌上有一个孔 链条一端有小孔稍伸下 其余部分堆在小孔周围 由于某种扰 动 链条由于自身的重量开始下落 求链条下落速度与落下距离之间的关系 设链条与各处的摩擦均不计 且认为链条柔软得可以自由伸开 解 如图所示 选桌面上一点为坐标原点 O 竖直向下为 Oy 轴正方向 设在 某时刻 链条下落部分长度 y 此时在桌面上的链条长度为 l y 它们之间的作 用力为内力 作用于系统的外力有 下落部分链条所受的重力 m1g 桌面上的 链条所受的重力 m2g 和支持力 N 且 N m2g 故作用在系统上的外力为 F m1g yg 有动量定理可得 Fdt m1gdt ygdt dp 第 4 讲 动量和冲量 7 下面求 dp 的表达式 设在 t 时刻 链条下落的长度为 y 下落速度为 v 则链 条的动量为 P m1v yv 因而 dt dtyvp 故 dt dt yvtyg 于是 dt yvd yg 同乘以 ydy 得 dt dt dt dt dt 2 yvyvyv t y yygy 积分 yvy yvyvygy 00 2 dtdt 得 23 2 1 3 1 yvgy 因而链条下落的速度和落下的距离的关系为 2 1 3 2 gyv 第 4 讲 动量和冲量 8 3 2 动量守恒定律动量守恒定律 一 动量守恒定律一 动量守恒定律 当系统所受合外力为零时 即0 外力 F 时 系统的动量的增量为零 这时 系统的总动量保持不变 即 P mivi 恒矢量 动量守恒定律内容 当系统所受合外力为零时 系统的的总动量保持不变 当系统所受合外力为零时 系统的的总动量保持不变 分量式 Px mivix Cx 合外力 Fx 0 Py miviy Cy 合外力 Fy 0 Pz miviz Cz 合外力 Fz 0 说明 1 守恒的含义 系统的总动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变 而不是 指某一个质点的动量不变 2 系统动量守恒的条件 系统所受的合外力为零 在某些情况下 质点所受 的外力比内力要小得多 则外力可以忽略不计 此时系统的动量守恒 3 内力的作用 不改变系统的动量 但是可以引起系统动量内各质点的动量 的变化 4 动量是描述状态的物理量 而冲量是过程量 5 动量守恒定律是物理学中最普遍 最基本的定律之一 二 应用动量守恒定律的注意问题二 应用动量守恒定律的注意问题 1 在动量守恒定律中 系统的总动量不变 是指系统内各物体动量的矢量 和不变 而不是指其中某一个物体的动量不变 2 系统动量守恒的条件是合外力为零 但在外力比内力小得多的情况下 外力对质点系的总动量变化影响甚小 这时可以认为近似满足守恒条件 如碰 撞 打击 爆炸等问题 因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短 相互作用 内力很大 而一般的外力 如空气阻力 摩擦力或重力 与内力比较可忽略不 计 所以可认为物体系统的总动量守恒 3 如果系统所受外力的矢量和并不为零 但合外力在某个坐标轴上的分量 为零 那么 系统的总动量虽不守恒 但在该坐标轴的分动量则是守恒的 这 对处理某些问题是很有用的 4 动量守恒定律是物理学最普遍 最基本的定律之一 但由于是用牛顿运 动定律导出动量守恒定律的 所以它只适用于惯性系 虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的 但它并不依靠牛顿运动定律 动量的概念不仅适用于以速度v 运动的质点或粒子 而且也适用于电磁场 只 是对于后者 其动量不再能用vm 这样的形式表示 不但对可以用作用力和反作 用力描述其相互作用的质点系所发生的过程 动量守恒定律成立 而且 大量 实验证明 对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程 如 光子和电子的碰撞 光子转化为电子 电子转化为光子等等过程 只要系统不 第 4 讲 动量和冲量 9 受外界影响 它们的动量都是守恒的 所以动量守恒定律是物理学中最基本的 普适原理之一 解题步骤 解题步骤 1 按问题的要求与计算方便 选好系统 分析要研究的物理过程 2 进行受力分析 判断守恒条件 3 确定系统的初动量与末动量 4 建立坐标系 列方程求解 5 必要时进行讨论 例题 水平光滑铁轨上有一车 长 度为 l 质量为 m2 车的一端有一 人 包括所骑自行车 质量为 m1 人和车原来都静止不动 当人从车的一端 走到另一端时 人 车各移动了多少距离 解 以人 车为系统 在水平方向上不受外力作用 动量守恒 建立如图所示 的坐标系 有 m1v1 m2v2 0 或 v2 m1v1 m2 人相对于车的速度 u v1 v2 m1 m2 v1 m2 设人在时间 t 内从车的一端走到另一端 则有 ttt tv m mm tv m mm tul 0 1 2 21 0 1 2 21 0 dtdtdt 在这段时间内人相对于地面的位移为l mm m tvx t 21 1 0 11 dt 小车相对于地面的位移为 l mm m xlx 21 1 12 第 4 讲 动量和冲量 10 3 3 系统内质量移动问题系统内质量移动问题 引言 当系统内部的质量发生流动时 系统内各部分的质量 速度和动量要发 生变化 例如砂粒流入车厢 柔软的绳落在桌面 火箭飞行等 本节为火箭的 飞行为例 简单介绍系统内质量流动的问题 一 一 火箭运动的微分方程火箭运动的微分方程 在t时刻 火箭 燃料系 统 简称系统 的质量为 M 它相对于某一选定的惯性参 考系 如地球 的速度为v 在 t t t 时间间隔内 有质 量为 m 的燃料变为气体 并 以速度u 相对火箭喷射出去 在时刻 t t 火箭相对选定的惯性参考系的速度 为vv 而燃烧气体粒子相对选定的惯性参考系的速度则为 v v u 按上述分析 在时刻 t 系统的动量为 P t Mv 在时刻 t t 系统的动量为 uvvmvvmMttp 在 t t t 时间间隔内系统动量的增量为 tpttpp 即 muvMp 由上式可得动量随动量随时间的变化率 为 dt m u t v M t pd d d d d 由于气体相对火箭的喷射速度 u 与火箭相对惯性参考系的速度 v 方向相反 上 式中 dm dt 是气体质量随时间的变化率 而气体是由火箭中喷射出来的 故有 dm dt dM dt 于是 上式可写成 t M u t v M t p d d d d d d 由动量定理我们可以知道作用于系统的合外力应等于系统的动量随时间变化 率 因此 若以 F 表示作用于系统的合外力 则有 t M u t v M t p F d d d d d d 上式也可写成 t M uF t v M d d d d udM dt 叫作火箭发动机的推力 从上式可以看出 火箭的加速度与外力 F 及推 力的矢量和成正比 当外力给定时 推力越大 火箭获得的加速度 dv dt 也越大 如果把燃烧气体相对火箭的速率u 称为气体的排出速率 那么从上式还可以看 出 要使火箭获得大的推力 必须使气体具有较大的排出速率 u 和较大的气体 排出率 dM dt 假如气体的排出速率为 2000m s 气体排出率为 300kg s 则火箭的 第 4 讲 动量和冲量 11 推力为 6 105N 上式也叫火箭方程 二 火箭运动的速度公式二 火箭运动的速度公式 对于在远离地球大气层之外 星际空间 即所谓自由空间 中飞行的火箭 可以认为系统不受外力作用 即 F 0 于是火箭方程为 t M u t v M d d d d 或 Mdv udM 一般来说 认为气体的排出速度 u 为一常量 若在 t 0 时 火箭的质量为 M0 速度为 v0 在 t t 时刻 火箭的质量为 M 速度为 v 那么对上式积分 得 M M v v M M uv 00 d d 有 M M u M M uvv 0 0 0 lnln 如果令 v0 0 则 M M uv 0 ln 由于 u 与 v 方向相反 如选用 v 的方向为 x 轴的正向 则上式可以写成 M M uv 0 ln 式中 M0 M 叫做质量比 由上式可以看出 质量比越大 火箭获得的速度越大 上式可以写成 uv eMM 0 例如有一火箭 射出的粒子相对于火箭的速率为 2 103m s 燃料用完后 火箭的速率达到 8 103m s 即人造地球卫星的速率 这样 v u 4 由上式可 以算出 质量比为 54 6 或 M0 54 6M 即火箭 燃料系统的最初质量是它有 效载荷 净载质量 的 54 6 倍 此外 由于 v 4 u 所以由火箭最后射出的粒 子群相对于火箭静止而言的速率为 4 u u 3u 6 103m s 即这些粒子以 6 103m s 的速率沿与火箭相同的方向运动 三 多级火箭三 多级火箭 由以上分析可知 要提高火箭的速度就要尽量加大气体排出速率u 和提高 质量比 M0 M 但提高 M0 M 值在技术是有很多困难的 所以 在设计火箭时 为了获得很大的速度 一般采用多级火箭 在火箭飞行过程中 第一级火箭先 点火 当第一级火箭的原料用完后 使其自行脱落 这 时第二级火箭开始工作 余此类推 这样可以使火箭获 得很大的飞行速度 设各级的质量比为 Ni 则 1101 ln Nuvv 2212 ln Nuvv 第 4 讲 动量和冲量 12 nnnn Nuvvln 1 因而 nnn NuNuNuvlnlnln 2211 当 u1 u2 u3 uN时 有 ln lnlnln