第十章-梁的应力-习题答案.doc

习题习题 10 1 一工字型钢梁 在跨中作用集中力 F 已知 l 6m F 20kN 工字钢的型号 为 20a 求梁中的最大正应力 解 梁内的最大弯矩发生在跨中 kN m30 max M 查表知 20a 工字钢 3 cm237 z W 则 MPa 6 126Pa10 6 126 10237 1030 6 6 3 max max z W M 10 2 一矩形截面简支梁 受均布荷载作用 梁的长度为 l 截面高度为 h 宽度为 b 材料的弹性模量为 E 试求梁下边缘的总伸长 解 梁的弯矩方程为 2 2 1 2 1 qxqlxxM 则曲率方程为 2 2 1 2 111 qxqlx EIEI xM x zz 梁下边缘的线应变 2 2 1 2 1 2 2 qxqlx EI h x h x z 下边缘伸长为 2 3 0 2 0 22 1 2 1 2Ebh ql dxqxqlx EI h dxxl l z l 10 3 已知梁在外力作用下发生平面弯曲 当截面为下列形状时 试分别画出正应力 沿横截面高度的分布规律 解 各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的 中性轴侧产生拉应力 另 一侧产生压应力 q l A B b h F l 2l 2 A B 第 十 章 梁的应力和强度计算 2 10 4 一对称 T 形截面的外伸梁 梁上作用均布荷载 梁的尺寸如图所示 已知 l 1 5m q 8KN m 求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力 解 1 设截面的形心到下边缘距离为 y1 则有 cm33 7 41084 10410484 1 y 则形心到上边缘距离 cm67 4 33 7 12 2 y 于是截面对中性轴的惯性距为 42 3 2 3 cm 0 86467 2 410 12 410 33 3 84 12 84 z I 2 作梁的弯矩图 设最大正弯矩所在截面为 D 最大负弯矩所在截面为 E 则在 D 截面 MPa08 15Pa1008 15 100 864 1033 7 10778 1 6 8 23 1maxt y I M z D MPa61 9 Pa1061 9 10 0 864 1067 4 10778 1 6 8 23 2maxc y I M z D 在 E 截面上 MPa40 5 Pa1040 5 10 0 864 1067 4 100 1 6 8 23 2maxt y I M z E MPa48 8 Pa1048 8 10 0 864 1033 7 100 1 6 8 23 1maxc y I M z E 所以梁内 MPa08 15 maxt MPa61 9 maxc l 3 B C q A l 10cm 8cm 4cm 4cm 1 778kN m 1 0kN m 0 667m 第 十 章 梁的应力和强度计算 3 10 5 一矩形截面简支梁 跨中作用集中力 F 已知 l 4m b 120mm h 180mm 弯曲时材料的许用应力 10Mpa 求梁能承受的最大荷 载 Fmax 解 梁内的最大弯矩发生在跨中 4 max Fl M 矩形截面梁 6 2 bh Wz 则由 得 z W Mmax max 64 2 bhFl 即 N6480 43 18 0 12 0 2 1010 3 2 2 6 2 l bh F 10 6 由两个 28a 号槽钢组成的简支梁 如图所示 已知该梁材料为 Q235 钢 其许 用弯曲正应力 170Mpa 求梁的许可荷载 F 解 作弯矩图 梁内的最大弯矩发生在跨中 FM4 max 矩形截面梁 3 max max cm656 6802 z zz z W y I y I W 则由 得 z W Mmax max z WF 4 即 N28927 4 10656 68010170 4 66 z W F F l 2l 2 A B b h F 2m BA F F 2m2m2m 3F3F 4F 第 十 章 梁的应力和强度计算 4 10 7 圆形截面木梁 梁上荷载如图所示 已知 l 3m F 3kN q 3kN m 弯曲 时木材的许用应力 10MPa 试选择圆木的直径 d 解 作弯矩图 则由 得 z W Mmax max max M Wz 即 得 6 33 1010 103 32 d 145mmm145 0 d 10 8 起重机连同配重等重 P 50kN 行走于两根工字钢所组成的简支梁上 如图所 示 起重机的起重量 F 10kN 梁材料的许用弯曲应力 170Mpa 试选择工字钢的型号 设全部荷载平均分配在两根梁上 解 设起重机左轮距 A 端为 x 则有 2 650 xMC 80386 2 xxMD 从而确定出 kN m 2 104 max C MkN m 2 140 max D M 即梁内出现的最大弯矩为kN m 2 140 则由 得 z W Mmax max 34 6 3 max m1025 8 10170 10 2 140 M Wz 又对于本题 max max 2 z zz z W y I y I W A B P F 1m 4m 10m CD 1m q d F ll 3 A B C 3kN m1 167m 2 042kN m 第 十 章 梁的应力和强度计算 5 所以 334 4 cm 5 412m10125 4 2 1025 8 2 z z W W 查表选 25b 号工字钢 10 9 两个矩形截面的简支木梁 其跨度 荷载及截面面积都相同 一个是整体 另 一个是由两根方木叠置而成 试分别计算二梁中的最大正应力 解 1 第一种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 8 2 max ql M 矩形截面梁 3 2 6 32 abh Wz 则 3 3 3 2 max max 16 3 28 3 a ql a ql W M z 2 第二种情况 梁内的最大弯矩发生在跨中 16 2 max ql M 矩形截面梁 66 32 abh Wz 则 3 3 3 2 max max 8 3 16 6 a ql a ql W M z 10 10 直径 d 0 6mm 的钢丝绕在直径 D 600mm 的圆筒上 已知钢丝的弹性模量 E 2 105MPa 试求钢丝中的最大正应力 解 由 得 z EI M 1 N m1024115 4 103 03 0 64 106 0 102 3 3 124 11 z EI M 200MPaPa10200 32 106 0 1024115 4 32 6 93 3 3max d M W M z 或 q l BA aa 2a a a 第 十 章 梁的应力和强度计算 6 200MPaPa10200 103 03 0 103 0102 6 3 311 max max Ey 10 11 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成 已知 F 5kN a 1 5m 10Mpa 试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比 h b 以及梁所需木料的最小直径 d 解 66 222 bdbbh Wz 由 得 又 所以 时 0 6 3 22 bd db dWz db 3 3 0 2 2 b db Wd z db 3 3 取极大值 所以弯曲截面系数最大时 即 z Wdb 3 3 dh 3 6 1 2 bh 梁内的最大弯矩 kN m5 7 max FaM 矩形截面梁 3 2 27 3 6 d bh Wz 则由 得 z W Mmax max max M Wz 即 max 3 27 3M d 227mmm227 0 1010 105 73939 3 6 3 3 max M d 10 12 一铸铁梁如图所示 已知材料的拉伸强度极限 b 150Mpa 压缩强度极限 bc 630Mpa 试求梁的安全因数 解 b h d A B a FF a 3a C D 1m0 5m1m A B D 16kN C 32kN 160 200 40 1010 第 十 章 梁的应力和强度计算 7 1 设截面形心距离下边缘为 y1 则有 mm33 53 21601040160 2120160102040160 1 y 则形心到上边缘距离 mm67 14633 53200 2 y 于是截面对中性轴的惯性距为 42 3 2 3 mm 4 29013333267 6616010 12 16010 33 3340160 12 40160 z I 2 作梁的弯矩图 C 截面 MPa057 22Pa10057 22 10 4 29013333 1033 531012 6 12 33 1maxt y I M z C MPa663 60Pa10663 60 10 4 29013333 1067 1461012 6 12 33 2maxc y I M z C B 截面上 MPa442 40Pa10442 40 10 4 29013333 1067 146108 6 12 33 2maxt y I M z B MPa705 14Pa10705 14 10 4 29013333 1033 53108 6 12 33 1maxc y I M z B 所以有 取安全系数为709 3 442 40 150 t n tc 385 10 663 60 630 nn 3 709 10 13 一简支工字型钢梁 工字钢的型号为 28a 梁上荷载如图所示 已知 l 6m F1 60kN F2 40kN q 8kN m 钢材的许用应力 170Mpa 100Mpa 试校核梁的强度 解 作内力图 q AB l 6 F1F2 l 62l 3 8kN m 12kN m 第 十 章 梁的应力和强度计算 8 则有 MPa 8 170Pa10 8 170 1015 508 10 8 86 6 6 3 max max z W M 而 5 47 0 170 170 8 170 max MPa56 38Pa1056 38 0085 01062 24 10 7 80 6 2 3 max maxS max bI SF z z 10 14 一简支工字型钢梁 梁上荷载如图所示 已知 l 6m q 6kN m F 20kN 钢材的许用应力 170Mpa 100Mpa 试选择工字钢 的型号 解 作内力图 q AB l 2 F l 2 80 7kN 67 3kN 12 7kN 72 7kN 59 3kN 19 3kN 2 588m 76 7kN m 63 3kN m 86 8kN m 28kN 10kN 57kN m 10kN 28kN 第 十 章 梁的应力和强度计算 9 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 335m10353 3 10170 1057 M Wz 查表选 25a 考虑 5 误差可以选则 22b 对于所选型号 梁内出现的最大切应力为 MPa21 16Pa1021 16 008 0 1058 21 1028 6 2 3 max maxS max bI SF z z 如为 22b MPa 8 15 max 所以工字钢型号为 25a 或 22b 10 15 由工字钢制成的简支梁受力如图所示 已知材料的许用弯曲应力 170Mpa 许用切应力 100Mpa 试选择工字钢型号 解 作内力图 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 6 488m10886 4 10170 1005625 83 M Wz 查表选 28a 对于所选型号 梁内出现的最大切应力为 MPa06 54Pa1006 54 0085 0 1062 24 10125 113 6 2 3 max maxS max bI SF z z 所以工字钢型号为 28a 10 16 外伸梁 AC 承受荷载如图所示 Me 40KN m q 20KN m 材料的许用应力 170Mpa 100Mpa 试选择工字钢的型号 20kN m AB 0 5m 80kN60kN 1m2 5m CD 113 125k N 1 85m 56 5625kN m 76 875kN m 83 05625kN m 33 125kN 76 875kN 16 875kN 第 十 章 梁的应力和强度计算 10 解 作内力图 由 得 z W Mmax max 334 6 3 max cm 3 235m10353 2 10170 1040 M Wz 查表选 20a 对于所选型号 梁内出现的最大切应力为 MPa22 33Pa1022 33 007 0 10 2 17 1040 6 2 3 max maxS max bI SF z z 所以工字钢型号为 20a 10 17 图示简支梁是由三块截面为 40mm 90mm 的木板胶合而成 已知 l 3m 胶 缝的许用切应力 0 5Mpa 试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载 F 解 梁内的最大剪力值为 0 5F 则胶缝处的最大切应力为 F F bI SF z z 73 61 109010 12 12090 104040905 0 312 3 9 maxS max 由 得 F 8100N max 10 18 图示结构中 AB 梁与 CD 梁所用材料相同 二梁的高度与宽度分别为 h b 0 5l0 5l BA 90mm 40mm 40mm 40mm F q 2m1m1m A B C Me 40kN 40kN m 第 十 章 梁的应力和强度计算 11 和 h1和 b 已知 l 3 6m a 1 3m h 150mm h1 100mm b 100mm 材料的许用应 力 10Mpa 2 2Mpa 试求该结构所能承受的最大荷载 Fmax 解 1 对于上梁 作内力图 由 得 即 z W Mmax max z WM max z W Fl 4 所以有 kN852 1 N10852 1 6 3 6 1 01 0 10104 4 3 2 6 l W F z 又由 得 即 A F 2 3 maxS max 3 2 maxS A F 3 2 2 AF 所以有 kN33 29N1033 29 3 1 01 0102 24 3 4 3 6 A F 2 对于下梁 作内力图 由 得 即 1 max max z W M 1maxz WM 1 2 z W Fa 所以有 kN77 5 N1077 5 3 1 6 15 0 1 0 10102 2 3 2 6 1 a W F z 0 5l0 5la a BA DC h b b h1 F F 2 1 F 2 1 Fl 4 1 F 2 1 F 2 1 Fa 2 1 第 十 章 梁的应力和强度计算 12 又由 得 即 1 maxS max 2 3 A F 3 2 1 maxS A F 3 2 2 1 AF 所以有 kN 0 44N10 0 44 3 15 0 1 0102 24 3 4 3 6 1 A F 综上 取 kN852 1 F 10 19 图示木梁受一可移动的荷载 F 40KN 作用 已知 10Mpa 3Mpa 木梁的横截面为矩形 其高宽比 试选择梁的截面尺寸 2 3 b h 解 当F位于跨中时 梁内出现最大弯矩 kN10N1010 4 11040 4 3 3 max Fl M 由 得 即 z W Mmax max max M Wz 从而有 33 6 3 max 32 m100 1 1010 1010 24 9 6 Mbbh 138 7mmm1387 0 b 又当F位于靠近左右支座时 梁内出现最大剪力 kN20 2 maxS F F 由 得 即 A F 2 3 maxS max 2 3 maxS F A 从而有 23 6 3 maxS 2 m1010 1032 1020