孪生兄弟-全等与相似.doc

孪生兄弟相似与全等吉林省长白山保护开发区池南区九年制学校 王寿娟 相似形和全等形好比一对孪生兄弟，它们有着千丝万缕的联系，但也有明显的区别我们只有正确理解和掌握它们的区别与联系，才能更好的应用它们来来解决我们在学习上遇到的相关问题这不，图形王国要选举出最有权威的图形做CEO，哥哥相似形与弟弟全等形展开了辩论呢.【一】.相似（含全等）的知识.第一回合：图形的定义，特点篇.哥哥：我，相似形在初中数学中占有相当重要的地位，而且学习时难度也较大，主要原因是定理多，图形变换复杂，证题的思路相当的活跃看我的定义：只有形状相同的图形叫做相似形与这些图形的大小、位置无关弟弟：我全等形也不示弱啊，我在定义：不仅形状相同而且大小也相同的图形叫做全等形与图形的位置无关.哥哥：哈哈，还是我的权利大，比如下面的图形，你看出我的特点了吧.在第一个图形中，两个奖杯虽然大小有区别，可是形状完全相同啊；在第二个图形中，尽管两个图形的其中一个是倾斜的，可是我们也是形状完全相同的.你说说你的特点吧.弟弟：我的权利也不小啊，看看下面的图形，我的特点不比你差啊. 看见了吧，别看第一副图形的两个梨摆放的位置不一样，可是大小，形状完全相同啊；第二幅的两个图形不也一样吗？哥哥：还说呢，你怎么不说你的特点是必须形状、大小完全相同呢.可是我除了和你的特点一样之外，还可以大小不一样啊.让所有人给评评理，是不是我的图形弟子要比你多？哥哥相似形说到此，弟弟全等形不吱声了，的确，他自己也不得不承认自己是特殊的相似形.第二回合：符号篇.哥哥：我，相似用符号“”来表示，读作“相似于”.如果ABC和DEF相似时，可以用数学符号记作：ABCDEF.你呢，你怎样表示？弟弟：全等用符号“”表示，读作“全等于”. 如果ABC和DEF全等时，就用数学符号记作：ABCDEF.我的符号是在你“”的下面多了一个“=”，这就是我的特殊权利.哥哥：你只是享有特权，可我还有普遍性的权利啊！第三回合：判定篇.哥哥：要判定两个图形是不是我的弟子，那就要用下面的五个方法来判定：（1）定义：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（2）如果两个三角形的两边对应成比例且它们的夹角相等，这两三角形相似.（3）如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形中有两角对应相等，那么这两个三角形相似（5）如果是Rt一条直角边和斜边与另一个Rt一直角边和斜边对应成比例，两个Rt三角形相似怎么样，我的判定方法够多的吧.哥哥相似形一口气说完，累的他在那里只喘粗气.弟弟：你的判定方法多？看看我的判断方法你就知道谁的方法多了.我有六种方法呢.（1）定义：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应相等（对应边的比值为1），那么这两个三角形全等. （2）如果两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等.简记作：角边角公理（ASA）.（3）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边对应相等，则两个三角形全等.简记作：角角边定理（AAS）.（4）如果两个三角形的两边及夹角对应全等，则它们全等.简记作：边角边公理（SAS）.（5）如果两个三角形的三边对应相等，则它们全等.简记作：边边边公理（SSS）.（6）如果是Rt一条直角边和斜边与另一个Rt一直角边和斜边对应相等，那么这两个Rt三角形全等简记：斜边直角边公理（HL）.还是我的判定方法多吧.我还有简记的符号，你呢，你有吗？ABCD哥哥：是啊，你有简记符号，我没有，可你的判定条件无论对应边还是对应角都是在相等的条件下成立啊. 你千万别忘记了，全等三角形一定是相似三角形，但反过来，相似三角形不一定是全等三角形，只有当相似比为1时，相似三角形才转化为全等三角形，也就是说，你全等三角形是我相似三角形的一种特殊情况.如果两个边和其中一边的对角对应相等时，你还能够全等？看看下面的图形吧.如上图，ABC与ABD具备，即满足“边边角”，但是两个三角形不全等。第四回合：性质篇.哥哥：我的性质可很多啦，你要耐心听啊.我相似形的对应角相等；对应点连结的线段都等于相似比；周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方比如相似三角形：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角的平分线以及周长等，它们的比都等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方. 例如在上图中，如果，相似比为，分别是它们的高（或中线或角平分线），那么，；弟弟：我的性质也不少啊.我全等形的对应角相等；对应点连结的线段都相等；周长相等；面积相等如果你相似三角形有下面的情况：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角的平分线以及周长等，它们都相等，它们是相似比等于1的特殊相似比，而面积的比也等于1，即它们的面积相等那么就是我全等形了.看看下面的图形就是我的性质的具体体现.如图，如果ABCDEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF, EB,DA,FC.并且它们的周长相等，面积相等.第五回合：对应篇.哥哥：在书写我时，要求必须对应顶点对应写，从书写的顺序就可以看出来对应顶点.比如ABCDEF，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F.对应边、对应角也必须是对应写.弟弟：我也是一样啊，“在对应顶点对应写”的这一点我们是一样的.我们本来就是孪生兄弟吗.哥哥：就是啊，我们还争什么呢.我们本来就是孪生兄弟，我遗传了我们父母的所有特点.你比较特殊，也可以说是特殊的我.我们应该好好相处才是啊.要是有普遍性的问题我来解决，要是特殊的情况你来解决.现在不都要共建和谐社会吗，我们兄弟更要和睦相处才对啊.弟弟：我就是想做CEO，我不服气.不行我们来比一比我们俩的应用吧.【二】应用相似、全等解决问题.第一回合：证题方法篇.哥哥：我的应用很广泛.在图形王国里到处有我的身影.比如说，我是中考重要的考点之一.多在考查学生综合运用知识的能力.在证明线段成比例或角相等时，一般需寻找两个三角形相似，进而寻找两个三角形中的两对对应角相等；或两边对应成比例夹角相等；或三边对应成比例，这是处理相似问题最为常见的思维方法在中考时，以证明两个三角形相似；证明线段相等、角相等；求三角形的面积、周长；相似形与四边形、圆、函数结合在一起综合运用知识的能力为主要的考点.在实际生活中，用我来求物体的高度等.常用的方法是把三角形的对应线段的比、周长比联系在一起分析.例如：(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE0.8m，CA30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m） 这是它的解题过程：过点D作DGAB，分别交AB、EF于点G、H，则EHAGCD1.2，DHCE0.8，DGCA30EFAB，由题意，知FHEFEH1.71.20.5，解之，得BG18.75ABBG+AG18.75+1.219.9520.0楼高AB约为20.0米弟弟：我，全等形，常见的是全等三角形的性质和判定，它是证明角相等，线段相等的主要途径.这部分内容在初中数学教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用，同时也是中考常见的热点素材之一.在中考时多关注下面几方面的知识点：三角形全等判定、全等三角形性质、全等三角形的判定和性质在实际问题中的综合应用。例如：（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，A=FDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.这是假命题. 以下任一方法均可：添加条件：AC=DF. 证明：AD=BE,AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在ABC和DEF中,AB=DE，A=FDE，AC=DF， ABCDEF(SAS). 还可以添加条件：CBA=E，C=F.看看我的题目变化多大啊.解决问题时要充分考虑条件，避免漏解. 第二回合：图形变换篇.哥哥：在图形变换方面，我可很灵活，我可以进行位似变换.变换的图形形状相同，大小不同.主要有平行缩放相似型、重叠缩放相似型、旋转缩放相似型.看看我的杰作.AAO这个就是平行缩放相似形，两个三角形是相似三角形.弟弟：我在图形变换方面最有说服力了.在近几年的中考试题中，图形的变换是考查的重点内容.其中全等变换是图形变换中最重要的形式.全等变换包括：平移、旋转、轴对称、中心对称、翻折.在进行图形变换时可以是其中的一种变换，也可以是几种图形变换的结合.考查的题目常见有区别各种图形变换和由图形变换设计图案.还是来欣赏我的作品吧. 看出来了吧，这个图形有旋转、有对称，你说美不美.哥哥：是啊，你的图形变换很美，如果我们结合在一起进行图形变换，会更美的.不相信，看看下面的图形.这个图形有旋转、位似、对称三个变换结合在一起，是不