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保险中的大数法则 大数法则 LawofLargeNumbers 又称 大数定律 或 平均法则 人们在长期的实践中发现 在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律 也即随着风险单位数量的不断增加 实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果 也即 平均损失会趋向和稳定于期望损失 或者说 损失发生的频率会趋向和稳定于概率 一 大数法则的基本含义 大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础 保险公司正是利用事件损失在个别情形下的不确定性在大数中消失的这种规律 从而比较准确地预测未来损失发生规模和概率 由于任何一家保险公司都有它的局限性 即承保的具有同一风险性质的单位是有限的 这就需要通过再保险来扩大风险单位及风险分散面 二 大数法则的几个定理 1 切比雪夫大数定理 若X1 X2 Xn相互独立 每个Xk的方差存在 且一致有界 即存在常数c 使得 令 则对任意正数有 或 意义 当n很大时 相互独立 方差有界的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望 2 伯努利大数定理 设事件A在每次试验中发生的概率为p n次重复独立试验中事件A发生的次数为nA 则对任意正数有 或 3 辛钦大数定理 若X1 X2 Xn相互独立 服从同一分布 且具有相同的数学期望 对任意正数 有 意义 当n很大时 独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望 2020 3 18 7 可编辑 风险单位数量的变化对平均损失分布的影响 大数法则所描述的是随着随机变量数量的增加 某一事件发生的频率趋向和稳定于概率 这是一种 定性 的规定 但是利用频率来代替真实概率存在着误差 那么这种误差是多少呢 这就要求我们从 定量 的角度来估计 三 中心极限定理 1 独立同分布的中心极限定理 列维 林德伯格定理 若X1 X2 Xn相互独立 服从同一分布 且具有相同的数学期望和方差 则随机变量 的分布函数Fn x 收敛到标准正态分布 即对任意x满足 意义 均值为方差为的独立同分布的随机变量的和的标准化变量 当n充分大时 有 近似服从 2 棣莫弗 拉普拉斯定理 设随机变量则对任意x 有 显然 其中X1 X2 X
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