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经典预测方法 1 目录 定性预测方法 德尔菲法定量预测方法 回归分析预测法时间序列预测法趋势线外推预测组合预测方法 2 概述 概念 预测 对尚未发生或目前还不明确的事物进行预先的估计和推测 是在现时对事物将要发生的结果进行探讨和研究 预测是做出决策的依据预测是制作工作计划的基础 3 分类按预测的目标范围不同分为 宏观预测和微观预测 按预测的时间长度不同分为 长期预测 中期预测 短期预测 近期预测 按预测的手段不同分为 定性预测和定量预测 其中定量预测方法又分为 因果模型预测方法和时间序列预测方法等 4 10 一种典型的定性预测方法 DelphiMethod 德尔菲法 德尔菲法由专家意见法演变而来 由兰德公司创建 选择具有不同知识背景的参与专家 通过问卷调查 或电子邮件 从专家处获得预测信息汇总调查结果 附加新的问题重新发给专家再次汇总 提炼预测结果和条件 再次形成新问题如有必要 重复前一步骤 将最终结果发给所有专家特点 匿名性 反馈性 收敛性 5 定量预测方法 6 第一节回归分析预测法 一 概念回归分析预测 处理变量间相关关系的一种很有效的统计方法 所需预测的变量为因变量 用于解释因变量的为自变量 一元回归分析 含有一个自变量的回归分析 多元回归分析 含有两个或两个以上的回归分析 7 二 利用回归分析解决实际问题的流程图 模型检验 设置指标变量 收集整理数据 构建模型 估计模型参数 修改 模型应用 N Y 提出问题 8 三 应用举例 某饮料公司发现 饮料的销售量与气温之间存在着相关关系 其相关数据见下表 即气温越高 人们对饮料的需求量越大 建立一元回归模型 销售量与气温表 9 1 绘制散点图 设饮料的销售量为y 气温为x 则绘制的散点图为 由散点图可知 两者为线性关系 可以建立一元回归模型 10 2 建立一元线性回归模型 3 估计参数 线性回归模型参数的估计方法通常有两种 即普通最小二乘法和极大似然估计法 其中最常用的是最小二乘法 普通最小二乘法的中心思想是 通过数学模型 配合一条较为理想的趋势线 这条线必须满足下列两个要求 1 原数列的观察值与模型的估计值的离差平方和为最小 2 原数列的观察值与模型的估计值的离差总和为零 11 最小值 设 得 12 则所求的预测模型为 4 检验 1 相关关系r的检验 检验变量x和y是否有线性关系 第一步 计算相关系数r 13 第二步 根据回归模型的自由度 n 2 和给定的显著性水平 在相关系数表临界表中查出临界值r n 2 第三步 判别若 r r n 2 两变量之间线性关系显著 检验通过 则建立的模型可用于预测 若 r r n 2 两变量之间线性关系不显著 检验不通过 所建立的模型不能用于预测 应进一步分析原因 对模型进行修正 若案例中r 0 8594 0 05 自由度 n 2 8 查相关系数表得 r0 05 8 0 632因r 0 8594 0 632 故在 0 05显著性水平下 检验通过 说明两变量之间相关关系显著 14 2 拟合优度r2检验 检验样本数据拟合回归直线的优劣程度 表示由自变量x的变化引起的因变量y的变差占总变差的比例 r2越大 回归方程的拟合的越好 r2越小 引入的变量不能很好的解释所需预测的变量 r2 0 7386 表示气温变化引起的销售量的变动占饮料销售量总变动的74 3 回归方程的显著性检验 检验回归方程是否有意义 即回归方程的一次项系数b1是否为零 15 第一步 计算统计量F的值 或 第二步 根据给出的置信度 查F分布表 得到临界值F 1 n 2 第三步 将统计量F与临界值F 比较 若F F 1 n 2 则认为回归方程显著 线性假设成立 若F F 1 n 2 回归方程不显著 没有意义 F 22 6 取显著水平 0 05 查表F0 05 1 8 5 32 F 则方程通过F检验 回归模型显著 16 5 预测 1 计算估计标准误差 2 当显著性水平 0 10 自由度n p 8时 查t分布表得t0 05 8 1 860 3 当x0 350C时 代入回归模型中 得到y得点估计值为 0 117 02 9 74 35 457 92 近似为458箱 预测区间 即气温为350C时 在90 得概率下 预测饮料销售量得置信区间在328 588之间 17 四 其它因果模型1 非线性因果模型2 带虚拟变量的因果模型 18 含虚拟变量的预测方法 19 问题的引入 在一般的单项预测模型中 我们所考虑的变量多为定量变量 可直接测度 数值性 例如GDP 工资等 在实际建模中 一些定性变量具有不可忽视的重要影响 例如 研究某个企业的所有制 私营 非私营 地理位置 东 中 西部 等是值得考虑的重要影响因素 但这些因素共同的特征是定性描述的 另外 每种单项预测方法都是从不同的角度提供各方面有用的信息 那么 依据现有的预测方法 如何进行更有效的预测呢 引入 虚拟变量 对定性变量进行量化 并进行组合预测是一种思路 20 含虚拟变量的单项预测方法 1 单项预测方法定义 单项预测方法是建立在统计学 数学 系统论 控制论 运筹学等学科基础上 运用方程 图表 模型和计算机仿真等技术进行的预测的方法 主要类型 回归分析预测 时间序列预测 随机时间序列预测方法 灰色预测 马尔可夫预测 周期性因素的处理预测局限性 忽视了定性变量对实际预测模型的影响 降低预测的精度 每种预测方法从各自角度提供各方面有用的信息 误差不一 21 2 虚拟变量为解决非定量因素对模型精度影响的问题 我们引入 虚拟变量 来完成对这些因素的 量化 即根据这些因素的属性类型 构造只取 0 和 1 的人工变量 通常称为虚拟变量或哑元变量 dummyvariables 通常记为D 虚拟变量在模型中可以作解释变量 也可以作因变量 同时含有一般解释变量与虚拟解释变量的模型称为虚拟变量模型或协方差分析模型 虚拟变量作因变量的模型又称抉择模型 22 3 预测模型中引入虚拟变量的作用 1 分离异常因素的影响 例如分析我国GDP的时间序列 必须考虑 文革 因素对国民经济的破坏性影响 剔除不可比的 文革 因素 2 检验不同属性类型对因变量的作用 例如工资模型中的文化程度 季节对销售额的影响 3 提高模型的精度 将不同属性的样本合并 扩大了样本容量 增加了误差自由度 从而降低了误差方差 23 4 含虚拟变量的单项预测方法的描述定义 称引入虚拟变量的单项预测方法为含虚拟变量的单项预测方法 例如 称引入虚拟变量的回归分析预测方法为含虚拟变量的回归预测方法 下面将以含虚拟变量的回归预测方法为例进行说明 24 含虚拟变量的回归预测方法例1男女个体消费者每年的食品支出 美元 考查消费者年龄及性别差异对食品支出的影响 25 含虚拟变量的回归预测方法例2食品支出与税后收入和性别的关系 考查消费者年龄及性别差异对食品支出的影响 26 27 第二节时间序列预测法 概念时间序列 某种统计指标的数值 按照时间先后顺序排列起来的数列 时间序列预测法 是将预测的目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列 然后分析其随时间变化的趋势 外推预测目标的未来值 时间序列预测值 把影响预测目标变化的一切因素由 时间 综合起来描述 28 一 概述 一 时间序列的组成因素 通常假定存在4个独立的组成因素 趋势因素 周期因素 季节因素以及不规则因素 这4个因素相结合提供一个时间序列的确切值 1 趋势因素 在时间序列分析中 测量可以在每小时 每周 每月或者每年 或者其他规则的间隔时间进行 尽管时间序列数据通常表现出随机波动 但是在一个较长的时段中 时间序列仍可能表现出向一个更高值或者更低值的渐进变化或者移动 时间序列的渐进变化被称作时间序列趋势 29 一些可能的时间序列形态的例子 时间 数量 a 非线性趋势 时间 数量 时间 数量 b 线性趋势 c 无趋势 30 2 周期趋势 尽管一个时间序列可以表现为长时期的趋势 但是 所有的时间序列未来值都不会正好落在趋势线上 事实上 时间序列尽管常表现为交替地出现于趋势线的上方和下方的点序列 时间序列的周期因素 任何循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的 31 时间序列的趋势因素和周期因素 各数据点以1年为间隔 数量 时间 销量在趋势线的上下方周期性交替变化 趋势线 32 3 季节因素 指由于自然条件 生活条件以及人们生活习惯的影响 具体表现在一年内某一特定时期或以一年为周期作周期性变化 4 不规则因素 不规则因素 一种残余或者 综合 因素 这种因素包括实际时间序列值与考虑了趋势的因素 周期因素以及季节因素效应的估计值之间的偏差 它用于解释时间序列的随机变动 不规则因素是由短期 未被预测到的以及不重复发现的那些影响时间序列的因素引起的 因为这些因素引起的时间序列的随机变动 所以 它是不可预测的 也不能预测到它对时间序列的影响 33 二 时间序列预测法的预测模型 Yt 时间序列观察值Tt 趋势因素St 季节因素Ct 周期因素It 不规则因素 乘法模型Yt Tt St Ct It加法模型Yt Tt St Ct It混合型Yt Tt St Ct ItYt Tt St ItYt Tt Ct It St 34 加法型预测模型图 Y t T t C t S t I t 35 由于不规则变动值 It 往往是一种随机变动 长期来看 多种随机变动因素对经济现象的作用刚好相反 可互相抵消 因此 时间序列预测中主要考虑长期趋势变动值 Tt 和季节变动值 St 乘法模型方式及加法模型方式的简便形式如下 Yt Tt StYt Tt St 36 二 时间序列预测法 1 移动平均法 移动平均法将时间序列中的最近的几个数据值作为对下一期的预测 平均移动 最近的n个数据 n 预测模型 37 例 一个汽油经销商在佛蒙特州的本宁顿过去12周的汽油销售量如下图 由图可知 尽管存在随机变动 但是时间序列随时间发展仍然为稳定 38 3周平均移动的计算结果 39 由此 对13周的预测为19千加仑汽油 40 结论 用移动平均法对时间序列进行预测时 步长原则上可以任意指定 用不同的步长 一般来说预测的结果不同 预测时可以选择j个不同的n值 分别进行预测 然后计算均方误差 选择使均方差最小的n值 移动平均法只适合作短期预测 而且适合预测目标的发展趋势变化不大的情况 如果目标的发展趋势存在其他变化 采用移动平均会长生较大的预测误差和滞后 41 2 加权移动平均法 基本思想实际情况中 每期数据所包含的信息量不一样 近期的数据包含有更多的关于未来情况的信息 所以 应考虑各期数据的重要性 对近期数据给予较大的权重 设时间序列为 y1 y2 yt 预测模型为 其中 Mtw为t期的加权移动平均数 wi为yt i 1的权数 体现了相应的y在加权平均数中的重要性 42 3 指数平滑法包括 一次指数平滑法 二次指数平滑法 高次指数平滑法 预测模型 设时间序列为 y1 y2 yt 则一次指数平滑法预测模型为 加权系数的选择 的大小规定了在新的预测值中新数据和原预测值所占的比重 值越大 新数据所占的比重就越大 原预测值所占的比重就越小 反之亦然 43 则预测模型可改写为 t 1 t yt t 由上式可以看出 新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正得到的 的大小体现了修正幅度 值越大 修正幅度越大 值越小 修正幅度越小 值的选择 一般遵循以下原则 1 当时时间序列呈较稳定的水平趋势时 应取得小一些 如0 1 0 3 以减少修正的幅度 同时各期观察值的权数差别不大 预测模型能包含更长时间序列的信息 2 当时间序列波动较大时 宜选择居中的 值 如 0 3 0 5 3 当时间序列的波动比较大 呈现明显且迅速的上升或下降的趋势时 应取大一些 如0 6 0 8 以使预测模型灵敏度高些 能迅速跟上数据的变化 4 在实际评估预测时 可取几个 值进行试算 比较预测误差 选择误差小的 值 无论如何确定 值 预测者都要对预测对象的变化规律作出定性判断 且计算误差 44 二次指数平滑模型 45 初始平滑值的确定 利用指数平滑法进行评估预测 必须估算初始平滑值S0 1 1 当原始数列的项数较多 大于50项 可以选用第一期的观察值作为预测初始值 即S0 1 y1 2 当原数列的项数较少 小于15项或20项 可选用最初几期的平均数作为初始值 3 当原数列项数很少时 初始值对最终的指数平滑值影响较大 导致预测误差的扩大 常采用统计方法估算初始值 46 案例应用 平滑指数常数 0 2时汽油销售预测的平均预测误差的平方 47 平滑指数常数 0 3时汽油销售预测的平均预测误差的平方 48 注释 另一个经常使用的对预测精确度的度量法是平均绝对偏差 MAD 这一度量法只是所有预测误差绝对值的平均数 均方误差与平均绝对偏差一个很大的区别是均方误差法受较大预测误差的影响要比受较小误差的影响大得多 对均方误差法而言 误差都被平方了 选择对预测精确度得最好度量法并不是一件小事 49 对于13周的售出量指数平滑预测值为19 18千加仑汽油 根据这一预测 公司可以制定计划或进行决策 50 第三节时间序列趋势外推预测 趋势预测主要采用曲线配合的方法 然后进行时间外推 趋势曲线 设给出的时间序列数据为y1 y2 yn 把点 t yt t 1 2 3 n 画在平面直角坐标系中 散点图 观察t与yt之间的关系 用一条适当的曲线近似的描述这种关系 时间t称为趋势变量 趋势线是研究历史数据得出的 它反映了历史数据变化的规律 假定这种规律在未来时期也成立 从而只要把t n 1 n 2 代入趋势方程 可得到趋势预测值 51 一 线性趋势预测模型及适用条件 线性趋势预测模型 t a bt其中 t为时间 代表年次 月次等 t为预测值 a b为参数 a代表t 0时的预测值 b代表逐期增长量 线性预测模型的特点 一阶差分为一常数 因此 当时间序列 yt 的一阶差分近似为一常数 其散点图呈线性趋势时 可配合线性预测模型来预测 52 案例 自行车销售时间序列 53 54 对于一个线性趋势而言 估计销售量为 Tt b0 b1tTt 阶段t的自行车销售趋势值b0 趋势线的截距b1 趋势线的斜率 阶段t的时间序列的真实值 阶段值 时间序列的平均值 t的平均值 55 56 通过利用b0和b1的这些关系 得到如下结果 自行车销售情况时间序列的线性趋势因素等式 Tt 20 4 1 1t 趋势中的斜率1 1表示在过去10年中 公司经历一次平均每年1100辆销售量的增长 则T11 20 4 1 1 11 32 5T12 20 4 1 1 12 33 6T13 20 4 1 1 13 34 7 57 二 非线性趋势模型外推预测法 一 非线性趋势曲线的类型 1 多项式曲线 方程 它反映了yt与t之间的某种复杂的关系 其中用的较多的是二次曲线yt a b ct2 c不为零 和三次曲线yt a bt ct2 dt3 d不为零 58 2 简单指数曲线 方程 yt abt a b 0 b不等于1 图形是一条指数函数曲线 b 1时上升 b 1时下降 反映了yt按指数规律变化 或者说时间序列每过一个时期按一定的百分率增长或衰减 一般自然增长 国民经济发展指标的增长多属此类 0 0 1 b 1 2 b 1 59 3 修正指数曲线 方程 yt k abt k 0 a不等于0 b 0且不等于1 0 1 a 0 b 1 k k 0 2 a 0 b 1 0 3 a1 k 0 4 a 0 b 1 k 60 4 双指数曲线 方程 yt abtct2 a b c 0 且b c不等于1 0 1 b 1 c 1 0 2 b1 0 3 b 1 c 1 0 4 b 1 c 1 c 1时 t足够大以后曲线上升 c 1时 t足够大以后曲线下降 双曲线属于增长类曲线 如果t比较大时 经济指标增长较快 采用双指数曲线有时效果较好 61 5 龚泊兹 Gompertz 曲线 方程 yt kabt a b k 0 且a b不等于1 0 1 a 1 b 1 k 0 2 a1 k 0 3 a 1 b 1 k 0 4 a 1 b 1 k a 1时 曲线有拐点t 1 lnb ln 1 lna x k e 图 1 是最常用的情况 常用来描述产品的生命周期 由萌芽期 成长期到饱和期 62 6 逻辑 logistic 曲线 方程 yt 1 k abt a b k 0 且b不等于1 0 1 b 1 0 2 b 1 1 k 1 k 其拐点t ln k a lnb x 1 2k 逻辑曲线属于增长类曲线 图 1 是常见情况 常用来描述产品发展的全过程 63 二 非线性趋势曲线的选择 趋势外推法主要利用图形识别和数据分析法计算来进行模型的基本选择 1 图形识别法 通过绘制散点图来进行 即将时间序列的数据会制成以时间t为横轴 时序观察值为纵轴的图形 观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较 选择较为适宜的模型 但是 在实际预测中 有时由于几个模型接近而无法通过图形直观确认某种模型 这时必须同时对几个模型进行试算 选择标准误差最小的模型作为预测模型 64 2 数据分析法 由于模型的种类很多 为了根据历史数据正确选择模型 常常对数据进行分析 最常用的是一阶向后差分法 一阶向后差分法实际上是当时间由t推到t 1时yt的增量 二阶向后差分法 K阶向后差分法 计算时间序列的差分并将其与各类模型差分特点进行比较 就可以选择适宜的模型 65 1 二次多项式 预测模型为 一阶差分 二阶差分 当时间序列各数值的二阶差分相等或大致相等时 可以采用二次项式模型进行预测 2 三次多项式 预测模型为 一阶差分 二阶差分 三阶差分 当时间序列各数值的三阶差分相等或大致相等时 可以采用三次多项式模型进行预测 66 3 指数曲线模型 预测模型 yt abt 一阶差分 当时间序列的环比发展速度大体相等 或对数一阶差分近似为一常数时 可采用指数曲线预测模型进行预测 4 修正指数曲线模型 环比发展速度yt yt 1 b 预测模型 yt k abt 一阶差分 当时间序列的一阶差分的环比近似为一个常数时 可采用修正指数曲线模型进行预测 67 5 双数曲线模型 预测模型 yt abtct2 其对数形式 lnyt lna tlnb t2lnc 其对数形式为二次多项式 所以当时间序列的对数的二次差分近似为一常数时 可采用双指数曲线预测模型进行预测 6 龚泊兹曲线预测模型 预测模型 yt kabt 其对数形式 lnyt lnk btlna 其对数形式为修正指数曲线 当时间序列的对数为一阶差分的环比近似为一常数时 可采用龚泊兹曲线预测模型进行预测 68 7 逻辑曲线模型 预测模型 yt 1 k abt 倒数形式 1 yt k abt 其倒数形式为修正指数曲线 当时间序列的倒数的一阶差分的环比近似为以常数时 可采用逻辑曲线预测模型进行预测 69 三 序列有线性趋势和季节波动的外推预测法 yt 具有周期变化的时间序列 Tt yt 的线性趋势变动 St yt 的季节变动 It yt 的随机变动 yt Tt St It 步骤 1 对yt序列值分解出长期趋势因素 假设季节长度为4 只要将序列作滑动长度为4的滑动平均时 即可消除随机干扰和季节波动影响 记滑动平均值为 MAyt yt yt 1 yt 2 yt 3 4则滑动平均后的序列 即为趋势因素 Tt MAyt 70 2 对yt分解出季节因素与随机因素 yt MAyt Tt St It Tt StIt 3 从StIt中分解出季节因素St 将yt MAyt按顺序逐年逐季排列 然后将各年相同季节的StIt相加进行平均 平均值为各季的季节指数 对样本的季节指数 则 71 第五步 根据第三 四步得到的季节指数St和Tt 即可按要求预测 预测公式为 第四步 由滑动平均后的数据序列 建立线性趋势方程 m为整数 72 案例 某一制造商过去4年的电视机销售情况 以千台衡量 如下表 73 74 电视销售时间序列的中心移动计算结果 第一步 75 76 第二步 77 第三步 电视销售时间序列季节指数计算结果 78 第四步 电视销售时间序列的非季节化数据 79 80 上图中时间序列似乎存在一个向上的线性趋势 为确定这一趋势 所使用的数据为每季度非季节化销售量的值 因此 表达为时间函数的预计销售量为 Tt b0 b1tTt 阶段t的电视销售趋势值 b0 趋势线的截距 b1 趋势线的斜率 t 1 对应于时间序列的第一个观察值 t 2对应第二个观察值的时间 依次类推 因此 对于非季节化电视机销售的时间序列 t 1对应第一个非季节化季度销售量 而t 16对应最近的非季节化季度销售量值 则计算b0和b1值的方程组为 81 82 则 斜率0 148表明 在过去16个季度重 公司经历了一次平均每季度销售量为148台的非季节化的增长 如果我们设在销售数据中过去16个季度的趋势是对未来的合理且良好的指标 那么我们就可以用这一等式预测未来各季度时间序列的趋势因素 83 电视销售的季度预测值 84 第四节组合预测 组合预测 采用两种或两种以上的预测方法对同一对象进行预测 对各单独的预测结果适当加权综合作为最终结果 组合预测能够提高预测精度 关键是恰当的确定单个预测模型的加权系数 概述 85 组合预测方法 最优组合预测方法的思想是根据过去一段时间内组合预测误差最小这一原则来求取各个单项预测方法的加权系数向量 即如果某一种方法的加权系数Ki使组合预测方法的预测误差平方和J达到极小值Jn 组合预测方法的加权系数向量为K k1 km T 则称ki为最优加权系数 其所对应的组合预测方法为最优组合预测方法 86 一 不考虑非负权重约束的最优组合预测 设y为观测对象 m种不同