三角形的五心性质以及典型问题-初中数学竞赛.doc

三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心一三角形的外心定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外定理4：1.如图所示，在锐角中，于，于，于，为的外心.求证：（1） (2)2.设为锐角的外心，连接并延长分别交对边于，则的值是_.(设为外接圆半径)二三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径定理3：内切圆半径r的计算：设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=特别的，在直角三角形中,有 r=(a+bc) 定理4：I为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC定理5：，。3.如图所示，与相交于两点，且在的圆周上，弦交于。证明：是的内心.4.如图，在中，点、是，的三等分线的交点，当时，求度数5.如图，是的内心，的延长线交的外接圆于，则，6.如图所示，的三边满足关系，分别为的外心，内心，的外角平分线交于，的延长线交于，交于.求证：（1）;(2)三三角形的重心三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 定理1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。 定理2：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 定理3：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 定理4：在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。7.证明的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与的面积之比8.设是内任意一点，的重心分别为，求 9.若的重心为，求的面积.四三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组”三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。定理1：三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。定理2：三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OGGH=12。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）定理3：垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。定理4：垂心分每条高线的两部分乘积相等。10.在中，若，为垂心，求的长。11.锐角中，已知为垂心，为边上的高，为中点，若，试求的长.12.已知中，是斜边上的高，分别是,的内心。求证：（1） (2)13.如图，、分别与圆相切于、，连结与相交于点，连结求证：五三角形的旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。定理1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。定理2：每个三角形都有三个旁心。 定理3：旁心到三边的距