圆的参数方程.ppt

第二讲参数方程 1 参数方程的概念 1 参数方程的概念 物资投出机舱后 它的运动由下列两种运动合成 1 沿ox作初速为100m s的匀速直线运动 2 沿oy反方向作自由落体运动 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放时机呢 1 参数方程的概念 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放时机呢 一 方程组有3个变量 其中的x y表示点的坐标 变量t叫做参变量 而且x y分别是t的函数 二 由物理知识可知 物体的位置由时间t唯一决定 从数学角度看 这就是点M的坐标x y由t唯一确定 这样当t在允许值范围内连续变化时 x y的值也随之连续地变化 于是就可以连续地描绘出点的轨迹 三 平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对 x y 之间有一一对应关系 2 并且对于t的每一个允许值 由方程组 2 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程 2 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 关于参数几点说明 参数是联系变数x y的桥梁 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明显意义 2 同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样3 在实际问题中要确定参数的取值范围 1 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 例1 已知曲线C的参数方程是 1 判断点M1 0 1 M2 5 4 与曲线C的位置关系 2 已知点M3 6 a 在曲线C上 求a的值 一架救援飞机以100m s的速度作水平直线飞行 在离灾区指定目标1000m时投放救援物资 不计空气阻力 重力加速g 10m s 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m 变式 2 方程所表示的曲线上一点的坐标是 练习1 A 2 7 B C D 1 0 1 曲线与x轴的交点坐标是 A 1 4 B C D B 已知曲线C的参数方程是点M 5 4 在该曲线上 1 求常数a 2 求曲线C的普通方程 解 1 由题意可知 1 2t 5 at2 4 解得 a 1 t 2 a 1 2 由已知及 1 可得 曲线C的方程为 x 1 2t y t2 由第一个方程得 代入第二个方程得 训练2 思考题 动点M作等速直线运动 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 运动开始时位于点P 1 2 求点M的轨迹参数方程 解 设动点M x y 运动时间为t 依题意 得 所以 点M的轨迹参数方程为 参数方程求法 1 建立直角坐标系 设曲线上任一点P坐标为 x y 2 选取适当的参数 3 根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 建立点P坐标与参数的函数式 4 证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 2 圆的参数方程 y x o r M x y 圆的参数方程的一般形式 3 参数方程与普通方程的互化 注 1 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横 纵坐标之间的关系 而是分别体现了点的横 纵坐标与参数之间的关系 2 参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时 通过参数建立间接的联系 例1 已知圆方程x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 解 x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 为参数 练习 1 填空 已知圆O的参数方程是 0 2 如果圆上点P所对应的参数 则点P的坐标是 A 的圆 化为标准方程为 2 2 1 解 设M的坐标为 x y 可设点P坐标为 2cos 2sin 点M的轨迹是以 3 0 为圆心 1为半径的圆 2 例2 如图 已知点P是圆x2 y2 4上的一个动点 点A是x轴上的定点 坐标为 6 0 当点P在圆上运动时 线段PA中点M的轨迹是什么 例题 观察3 3 参数方程和普通方程的互化 1 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线L的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 t为参数 在普通方程xy 1中 令x tan 可以化为参数方程 为参数 2 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程 y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 例3 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 例4 例3 将下列参数方程化为普通方程 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2