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第1章 函数函数是数学中最重要的基本概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的反映，也是经济数学的主要研究对象。在这一章中，我们将在中学已有的知识的基础上，进一步阐明函数的一般定义，总结在中学已学过的一些函数，并介绍一些经济学中的常用函数。第1节 集合1、 集合的概念集合是一个只能描述而难以精确定义的概念，我们只给出集合的一种描述：集合指所考察的具有确定性质的对象的全体，集合简称集。组成集合的每一个对象称为该集合的元素。下面举几个集合的例子：例1 2003年元月1日在中国出生的人。例2 平面上所有直角三角形。例3 的根。例4 直线上所有的点。由有限个元素构成的集合，称为有限集，如例1,3；由无限多个元素构成的集合，称为无限集合，如例2,4。通常用大写字母A,B,X,Y等表示集合，用小写字母a,b,x,y等表示集合元素，若x是集合A的元素，则说x属于A，记作；若x不是集合A的预算，则说x不属于A，记作或。不含有任何元素的集合称为空集，极为，空集在研究集合运算和集合之间的关系时，有其逻辑上的意义。如由方程的实根构成的集合，即为空集。集合一般有两种表示方法：一是列举法，把它的所有元素一一列举在一个花括号内。例如，集合A由元素组成，表示为A=；自然数集N表示N=0,1,2，n。这种表示法一般适用于有限集和可数无限集。二是描述法，指明集合中一是所具有的确定性质。一般形式为A=x|x具有性质p例如，方程的解集，记为B=x|又如，平面上以原点为中心的单位园内的点的全体组成的集合，记为B=（x，y）|元素为数的集合称为数集，通常用N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集合C表示复数集。有时我们在表示数集的字母右上角添“+”、“-”等上标，来表示该数集的几个特定子集，以实数为例，表示全体正实数之集；表示全体负实数之集，其他数集的情况类似，不再赘述。只有一个元素的集合，称为单元素集，记为x。若集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，或者称A包含于B获B包含于A，记作或。若集合A与集合B互为子集，则称且。就称A与B相等，记为A=B。若A是B的子集，而B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作，例如。空集是任何集合的子集。2、 集合的运算集合有三种基本运算，即并、交、差。设A、B是两个集合，则集合分别称为A和B的并集、交集、差集。有时，我们把研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，并用I表示，把差集IA特别称为A的余集或补集，记作。例如在实数集R中，集合A=x| |x|0）是以为周期的周期函数。证要证的是因为f（x）以为周期，所以即所以f（ax）是以为周期的周期函数.3. 函数的单调性设为区间（a,b）内的任意两个数，若当时函数值满足则称该函数在区间（a,b）内单调增加或称递增；若当时有则称该函数在区间（a,b）内单调减少，或称递减，例如在内递增，在内递减.函数的递增、递减统称函数是单调的，从几何直观来看，递增就是当x自左向右变化时，函数的图像上升；递减就是当x自左向右变化时，函数的图像下降（图1-11）.图1-114. 函数的有界性设函数f（x）在区间I上有定义，若存在一个正数M，当时，恒有成立，则称函数f（x）为在I上的有界函数；如果不存在这样的正数M，则称函数f（x）为在I上的无界函数.(图1-12)图1-12例如，因为当时，恒有，所以函数在内是有界函数，而在内是无界函数。有的函数可能在定义域的某一部分有界，而在另一部分无界。例如在上是有界的，而在内是无界的。因此，我们说一个函数是有界的或者无界的，应同时指出其自变量的相应范围。习题1-21. 下面对应关系是否为映射？X=平面上一切三角形，Y=平面上全体点，X，Y之间的对应是：每个三角形与其重心对应。2. 求下列函数的自然定义域：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）3. 下列各题中，函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？（1）（2）（3）（4）4. 确定函数的定义域并作出函数图形。5. 判断下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）（10）6. 判断下列函数的单调性：（1） （2）（3）7. 下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期（1）（2）（3）8. 设f（x）为定义在内的奇函数，若f（x）在内单调增加，证明f（x）在内也单调增加。9. 设下面所考虑的函数都是定义在区间上的， 证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。10. 证明：函数是有界函数。第3节 复合函数和反函数1、 复合函数实际问题中经常出现这样的情形：在某过程中，第一个量依赖于第二个量，而第二个量又依赖于第三个量。因此，实际上第一个量可以由第三个量确定。例1某社区的环境研究表明：如果该社区人口为p万，则大气中一氧化碳的含量为百万分之C（p），这里C（p）= 5p+1；又根据统计分析，从现在起的t年后，社区人口为 万，试问几年后一氧化碳含量将达到百万分之6.8？要解决这个问题，首先得把大气中一氧化碳的含量表示为t的函数，因为所以根据题意，所求的t应满足Cp(t)=6.8，即由此所以这就是说，从现在起的4年后，大气中的一氧化碳含量将达到百万分之6.8，这个问题中出现的Cp(t)就是由p（t）和C（p）构造出来的“复合函数”的值。例2设某企业经营者每年收入S与该年利润L有关，其函数关系为S = 0.05L而利润L则与该企业产品的产量Q有关，其关系为把代人S = 0.05L中去得到.我们把称为由S = 0.05L和构成的复合函数。由上面的例题可知复合函数实际是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述：定义设有函数f和g，则称定义在上的函数为f和g的复合函数，其中对复合函数，称u = g(x)为中间变量，其中为自变量.复合函数的作用见下面的示意图.（图1-13）图1-13例3设函数f和g分别是于是而的定义域为同样地，可以讨论三个或三个以上函数的复合函数.例4设则有在微积分中，我们经常要对复杂的函数进行分解，也就是要考虑某个函数是由哪些简单的函数复合而成的。例5试把分成为几个简单函数的复合，取则显然有2、 反函数作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念：设函数是单射，则它存在逆映射，称此于是为函数f的反函数.按此定义，对每个，有惟一的，使得f（x）= y，于是有，这就是说，反函数的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的。习惯上常以x记为自变量，y记为函数，故反函数又记为显然.可见，若Ax,f（x）是函数f（x）的图形上的点，则Bf（x）,x是反函数的图形上的点；反之也一样，因此，f的图形与的图形关于直线y=x是对称的.（如图1-14）现在要问函数f在什么条件下一定存在反函数，结论是：定理（反函数存在定理）单调函数f必存在单调的反函数，且具有与f相同的单调性。证明不妨设函数是单调递增的，若，则有，于是都存在惟一的一个，使得f（x）= y，所以函数f存在反函数；再证也是单调递增的.，则必有，使得，所以，；又因函数f是单调递增的，所以，有，即，说明反函数也是单调递增的.对于函数f是单调递减的情形类似可证，证毕.例6求函数的反函数.解由可解得，变换x、y的位置，即得所求的反函数其定义域为（0,1）.3、 函数的运算设函数f（x），g（x）的定义域依次为，则我们可以定义这两个函数的下列运算函数的和（差）：函数的积： 函数的商： 例7设函数f（x）的定义域为，证明必存在上的偶函数g（x）及奇函数h（x），使得f（x）= g（x）+ h（x）证先分析如下：假若这样的g（x）、h（x）存在，使得f（x）= g（x）+ h（x）且（1）于是有（2）利用（1）、（2）式，就可以作出g（x）、h（x）这就启发我们作如下证明：作则 证毕习题1-31. 求下列函数的反函数：（1）（2）（3）（4）2. 在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值的函数值：（1）（2）（3）（4）（5）3. 指出下列函数的复合过程：（1） ；（2）；（3）；（4）.4. （1）设，求.（2）设，求f（x）.5. 已知6. 设f（x）的定义域D = 0,1，求下列函数的定义域：（1） ； （2）； （3）.第4节 基本初等函数与初等函数一、幂函数函数叫做幂函数.幂函数的定义域，要看是什么数而定。例如：当=3时，的定义域是；当时，的定义域是；当，的定义域是。但不论取什么值，幂函数在内总有定义.中，时是最常见的幂函数。它们的图形如图1-15所示.图1-152、 指数函数与对数函数1. 指数函数叫做指数函数，它的定义域是区间.因为对于任何实数值x，总有，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0,1）.若，指数函数是单调增加的.若，指数函数是单调减少的.由于，所以的图形与的图形是关于y轴对称的（图1-16）.图1-16 图1-17以常数为底的指数函数是科技中常用的指数函数.关于常数e的意义将在第二章第五节中说明.2. 对数函数指数函数的反函数，记作叫做对数函数。它的定义域是区间.对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数的图形按反函数作图法的一般规则作出，这就是：关于直线y = x作对称于曲线的图形，就得的图形（图1-17）.的图形总在y轴右方，且通过点（1,0）.若，对数函数是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间内函数值为正。若，对数函数是单调减少的，在开区间（0,1）内函数值为正，而在区间内函数值为负。科技中常用以常数e为底的对数函数叫做自然对数函数，简记作.3、 三角函数与反三角函数1. 三角函数常用的三角函数有正弦函数（图1-18）余弦函数（图1-19）正切函数（图1-20）余切函数（图1-21）图1-18图1-19图1-20图1-21其中自变量以弧度作为单位来表示。正弦函数和余弦函数都是以为周期的周期函数，它们的定义域都是区间，值域都是闭区间-1,1.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。由于，所以，把正弦函数沿x轴向左移动一段距离，就获得余弦函数。正切函数的定义域余切函数的定义域这两个函数的值域都是区间。正切函数和余切函数都是以为周期的周期函数，它们都是奇函数。此外，尚有另外两个三角函数，它们是正割函数它是余弦函数的倒数，即余割函数它是正弦函数的倒数，即它们都是以为周期的周期函数，并且在开区间内都是无界函数。2. 反三角函数反三角函数是三角函数的反函数。三角函数，和的反函数依次为反正弦函数（图1-22）反余弦函数（图1-23）反正切函数（图1-23）反余切函数（图1-23）反三角函数的图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如把的值限制在闭区间上，称为反正弦函数的主值，并记作.这样，函数就是定义在闭区间 -1,1上的单值函数，且有通常我们也称为反正弦函数，它在闭区间上是单调增加的，它的图形如图1-22中实线部分所示。图1-22图1-23图1-24图1-25类似地，其他三个反三角函数的主值也简称为反余弦函数、反正切函数和反余切函数，它们都是单值函数，它们的定义域、值域、单调性等如下：反余弦函数的定义域为闭区间-1,1，值域为闭区间，它在-1,1上单调减少，图形如图1-23中实线部分所示.反正切函数的定义域为，值域为开区间，它在内单调增加，图形如图1-24中实线部分所示.反余切函数的定义域为，值域为开区间，它在内单调减少，图形如图1-25中实线部分所示.4、 初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例如等等都是初等函数，在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数。习题1-41. 求下列个函数的定义域：（1） ；（2）；（3）；（4）.2. 下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？（1） ；（2）；（3）；（4）.3. 函数能用一个解析式表示吗？为什么？4. 由的图形作下列函数的图形：（1） ；（2）；（3）；（4）.5. 由的图形作下列函数的图形：（1） ；（2）；（3）；（4）.6. 由的图形作下列函数的图形：（1）；（2）；（3）.7. 若f（x）是以2为周期的周期函数，且作出f（x）在上的图形.8. 设f（x）是在上有定义的偶函数，且对，当时，求f（x）在上的表达式，并作出在上的图形。第5节 函数关系的建立为了解决应用问题，先要给问题建立数学模型，即建立函数关系。为此需明确问题中的因变量和自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，然后确定函数定义域。应用问题中的函数的定义域，除函数的解析式外还要考虑变量在实际问题中的含义。下面，我们通过几个实例来介绍如何建立函数关系，为以后运用微积分方法解决实际问题打一些基础。例1设有一边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等小正方形制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数（图1-26）.图1-26解设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V，则盒子的底面积为，高为x，因此所求的函数关系为例2某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解设日总成本为C，平均单位成本为.由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为平均单位成本函数为例3某工厂生产某型号机床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产准备费高。为了选择最优批量，试求出一年内库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。解设批量为x，库存费与生产准备费的和为P（x）因年产量为a，所以每年生产的批数（设其为整数），则生产准备费为因库存量为，故库存费为因此可得定义域为(0，a，因本题中的x为车床的台数，批数为整数，所以x只应取(0，a中a的正整数因子。例4某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加元时币面数值增加，回国后他发现把加元兑换成美元时，币面数值减少，把两次兑换的方式用函数表示出来，这样一来一回的兑换产生的两个函数是否互为反函数？解设f（x）为将x美元兑换成的加元数，g（x）为将x加元兑换成的美元数则，故f（x）与g（x）不互为反函数。习题1 - 51. 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a公里以内，每公里k元；超过a公里，超过部分每公里为元.求运价m与里程s之间的函数关系.2. 拟建一个容积为v的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域.3. 设一矩形面积为A，试将周长s表示为宽x的函数，并求其定义域.4. 在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域.5. 用铁皮做一个容积为v的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.6. 按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2%，半年期存款的年利率为4.0%，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款，设将总数为A单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款能有较多的收益，多多少？7. 某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，生产再多，本年就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系.第6节 经济学中的常用函数对各种不同的量的假设与推测，是许多科学理论的中心问题。在经济分析中，对成本、价格、收益等经济量的关系研究，越来越受到人们的关注。对于实际问题而言，往往有多个变数同时出现，其间的相关性异常复杂，作为讨论的第一步，我们先限于考察两个变数间的相依关系。1、 需求函数某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。所有经济活动的目的在于满足人们的需求，因此经济理论的重要任务是分析消费及由此产生的需求。需求量并不等同于实际购买量，因为后者不牵涉到商品的供给情况。消费者对某种商品的需求是由多种因素决定的，例如人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等等，甚至还有一些无法定量描述的因素，如“嗜好”等。如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求暂无影响，则需求量Q便是价格P的函数，记称f为需求函数，同时，的反函数，也称为需求函数。一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少，因此，需求函数是单调减少的。人们根据统计数据，常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数：线性函数；幂函数；指数函数；例1设某商品需求函数为讨论P = 0时的需求量和Q = 0时的价格.解当P = 0时，Q = b它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量。当Q = 0时，它表示价格上涨到时，没有人愿意购买该产品。2、 供给函数某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可提供出售的商品量。供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q便是价格P的函数，设称为供给函数.一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多，因此一般的供给函数都是单调递增的.人们根据统计数据，常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数；幂函数；指数函数.例2舍某工厂生产一种产品，经市场统计预测，得该产品的需求函数为供给函数为在同一个坐标系中作出需求函数曲线D与供给曲线S（见图1-27）曲线D和曲线S的交点就是供需平衡点，称之为均衡价格.图1 - 273、 生产函数任何一种产品的生产，都是各种生产要素投入后的结果，生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为说明方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。例3在电力输送过程中，如用x表示能量输入，则能量输出为，其中这里为容量参数（见图1-28）.对于产品的投入与产出，人们关心的是所谓规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？设投入x与产出g（x）的关系为由于可见，当a = 1时，规模报酬不变；当时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；当时，如果投入增加一倍，则产出增加超过一倍，即规模报酬递增.4、 成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入到价格或费用总额，它由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用，包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支出以及生产工人的工资，它随着产量的变动而变动.例4设某厂的生产函数，其中L表示劳动力数量。求当劳动力价格为1152时的可变成本函数解由，得，这样即可变成本函数为.5、 收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用Q表示出售的产品数量，R表示总收益，表示平均收益，则如果产品的价格P保持不变，则6、 利润函数利润是生产中获得的总收益和投入的总成本之差，即例6已知某产品价格为P，需求函数为Q = 50 - 5P，成本函数为C = 50 + 2Q，求产量Q为多少时利润L最大？最大利润是多少？解已知需求函数为故，于是收益函数这样，利润函数因此Q = 20时取得最大利润，最大利润为30.7、 库存函数舍某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分n次进货，每次进货批量为，进货周期为.假定每件物品的贮存单位时间费用为，每次进货费用为，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间T内的总费用E为其中是贮存费，是进货费用.8、 戈珀兹（Gompertz）曲线戈珀兹曲线是指数函数在经济预测中，经常使用该曲线。当时，其图形如图1-29所示。由图可见戈珀兹曲线当t 0且无线增大时，其无限与直线y = k接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。图1-29从上面的讨论可见，由于实际问题的需求，我们不仅需要建立一些经济量之间的函数关系，而且需要对这些函数的性质作进一步的研究。例如，讨论规模报酬的增减和可变成本的变化，寻求产品的最大利润等等。在后面的几章中，我们将为这些问题的讨论提供一些十分有效的数学工具。习题1-61. 某厂生产录音机的成本为每台50元，预计当以每台x元的价格卖出时，消费者每月购买200 - x台，请将该厂的月利润表达为价格x的函数.2. 当某商品价格为P时，消费者对该商品的月需求量为D（P）=12000 200P.(1).画出需求函数的图形；(2).将月销售额（即消费者购买此商品的支出）标达为价格P的函数；(3).画出月销售额的图形，并解释其经济意义.3. 某报纸的发行量以一定的速度增加，三个月前发行量为32000份，现在为44000份.(1).写出发行量依赖于时间的函数关系，并画出图形；(2).2个月后的发行量是多少?4. 某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元，固定成本为7500元，可变成本为每台60元.(1).要卖出多少台手掌机，厂家才可保本（收回投资）？(2).卖掉100台的话，厂家盈利或亏损了多少？(3).要获得1250元利润，需要卖出多少台？5. 有两家健身俱乐部，第一家每月会费300元，每次健身收费1元，第二家每月会费200元，每次健身收费2元，若只考虑经济因素，你会选择哪一家俱乐部（根据你每月健身次数决定）？6. 设某商品的需求函数与供给函数分别为和.(1).找出均衡价格，并求出此时的供给量与需求量；(2).在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3).何时供给曲线过P轴，这一点的经济意义是什么？7. 某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为120元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超出的部分需打9折出售，请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出。8. 某饭店现有高级客房60套，目前租金每天每套200元则基本客满，若提高租金，预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来，试问租金定位多少时，饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？总习题一1 下列各对函数中哪些相同？哪些不同？(1).(2).(3).(4).2 下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？(1).(2).(3).(4).3 下列函数中哪些是周期函数？并指出其周期：(1).(2).(3).(4).4 指出下列函数的复合过程：(1).(2).(3). 5 求下列函数的定义域：(1).(2).(3).6 (1)设 求f（x）；(2)设 求f（x）.7 设f（x）是上的奇函数，有（1）使用a表示f（2）与f（5）；（2）问a取何值时，f（x）是以2为周期的周期函数.8 设9 设10. 设11. 利用的图形作出下列函数的图形：（1）；（2）；（3）.12. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元；（1）将每台的实际售价P表示为订购量x的函数；（2）将厂方所获的利润L表示为订购量x的函数；（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？13. 一种汽车出厂价45000元，使用后它的价值按年降价率的标准贬值，试求此车的价值y（元）与使用时间t（年）的函数关系.14. 某大楼有50间办公室出租，若定价每间每月租金120元，则可全部租出，租出的办公室每月需由房主负担维修费10元，若每月租金每提高一个5元，将空出一间办公室，试求房主所获得利润与闲置办公室的间数的函数关系，并确定每间月租金多少时才能获得最大利润？这时利润是多少？15. 每印一本杂志的成本为1.22元，每售出一半仅能获得1.20元的收入，但销售额超过15000本时还能取得超过部分收入的10%作为广告费收入，试问应至少销售多少本杂志才能保本？销售量达到多少时才能获利达1000元？第二章 极限与连续在微积分中，极限是一个重要的基本概念，微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的。因此，有关极限的概念、理论与方法，自然成为微积分学的理论基石，本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法，并在此基础上讨论函数的连续性。第一节 数列的极限一、引例极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作其内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为.这样，就得到一系列内接正多边形的面积它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上成为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为微积分中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明，为此我们首先引入数列的定义，再讨论数列的极限。二、数列的有关概念以正整数集为定义域的函数f（n）按排列的一列数，称为数列，通常用表示，其中，简写成。称为数列的通项，例如：若存在正数M，对所有的n都满足，则称数列为有界数列，否则称为无界数列。若存在实数A，对一切n都满足，则称数列为下有界，A是的一个下界。同样，若存在实数B，对一切n都满足，则称数列为上有界，B是的一个上界。显然有界数列既有上界，又有下界，反之同时具有上、下界的数列必为有界数列。例如，数列是有界数列；数列是无界数列。数列若满足，称数列为单调增数列；若满足，称数列为单调减数列。单调增数列与单调减数列统称单调数列。将数列在保持原有顺序情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列成为数列的子数列，简称子列，如：均为的子数列，子数列一般记为其中，而的下标k是子数列的项的序号（即子列的第k项的序号）。三、数列极限的定义对数列通常要研究它的变化趋势，即要讨论是否存在一个常数a，当n无限增大时，能与这常数a无限接近，若回答是肯定的，则称a是数列当时的极限。例如通过观察知0是数列和数列的极限；1是数列的极限。然而，这里所说的“n无限增大时”， 与a“无限接近”，都是一种模糊的说法。“n无限增大时”的含义是什么？与a“无限接近”又如何来刻划呢？我们知道两个数a与b之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值来度量（在数轴上表示点a与点b之间的距离），越小，a与b就越接近。考场数列，是以0为极限，与常数0的接近程度可用小于某个正数来表示；若令，要使，则当n 10时，都能满足与0的距离小于，即对于以后的任一项都能满足；若再取一个更小的正数，要使，则当n 100时，自第100项后的任一项都满足；由此可见，对于数列，无论给定多么小的正数，在n无限增大的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后（即n充分大以后），则当时，数列从第N+1项起所有的都能满足，无一项例外，此时，我们说数列以0为极限。定义设数列，若存在一个常数a，对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n N时，恒有成立，则称a是数列的极限，或者称数列收敛于a，记为如果这样的数a不存在，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在。数列极限的定义有明显的几何意义。若，则对于任给的，无论它多么小，都存在正整数N，在中，从第N+1项开始以后所有各项全部落在a的邻域中，在这个邻域之外，最多只有的有限项(图2-1).图2-1为了表达方便，引入记号“”表示对于任意给定的或对于每一个，记号“”表示“存在”。于是，“对于任意给定的”可写成“”，“存在正整数N”，写成“正整数N”，数列极限的定义可表达为：，正整数N，当 n N 时，有以下举例验证数列的极限，用定义验证数列的极限是a时，关键在于设法由任意给定的，求出一个相应的正整数N，使得当n N 时，不等式成立。例1用数列极限的定义证明.证令，.任给，要使，只要.取正整数.则当 n N 时，恒有.由定义知，例2设，证明.证令，当q = 0 时，结论显然成立，以下设.任给，要使，即，只要.取正整数，则当n N时恒有，故.对数列极限定义的理解应注意以下两点：（1）正数是任意给定的，它表达了与a的无限接近意思。因此，一方面具有任意性，另一方面它一旦给定，就应看作是不变的，以便根据它来求N。（2）正整数N与任意给定的正数有关，它随着的给定而给定。用n N刻画n足够大，它是保证成立的条件。所以，对应于一个给定的，N不是唯一的，假定对某一个，满足要求，那么大于的任何自然数均满足要求。四、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一.证（反证法）设有两个极限a、b，且，由数列极限的定义，对于任意给定的，；又，取，则当n N时，有若取，代入上面不等式得这是不可能的，这就表明不可能有两个不同的极限。性质2（有界性）收敛数列必为有界数列证设数列收敛于a，有数列极限的定义，对于，取，对n，均有注：本论断的逆命题不成立，即有界数列未必收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。稍后我们将给出例子。性质 3（保号性）若，且（