01凸优化理论与应用-凸集[001].ppt

可编辑 1 凸优化理论与应用 第一章凸集 可编辑 2 仿射集 Affinesets 直线的表示 线段的表示 仿射集的定义 过集合C内任意两点的直线均在集合C内 则称集合C为仿射集 仿射集的例 直线 平面 超平面 可编辑 3 仿射集 仿射包 包含集合C的最小的仿射集 仿射维数 仿射包的维数 相对内点 relativeinterior 相对内点 可编辑 4 可编辑 5 凸集 ConvexSets 凸集的定义 集合C内任意两点间的线段均在集合C内 则称集合C为凸集 凸集 可编辑 6 仿射集与凸集的联系 可编辑 7 所以仿射集一定是凸集 凸集 可编辑 8 可编辑 9 可编辑 10 凸集 凸包的定义 包含集合C的最小的凸集 凸集 可编辑 11 可编辑 12 锥 Cones 锥的定义 nonnegativehomogeneous 凸锥的定义 集合C既是凸集又是锥 锥包的定义 集合C内点的所有锥组合 锥 可编辑 13 锥包 可编辑 14 可编辑 15 超平面和半空间 超平面 hyperplane 半空间 Halfspace 超平面 可编辑 16 半空间 可编辑 17 可编辑 18 欧氏球和椭球 欧氏球 euclideanball 椭球 ellipsoid 椭圆球 可编辑 19 可编辑 20 范数球和范数锥 范数 norm 范数球 normball 范数锥 normcone 可编辑 21 多面体 Polyhedra 多面体 单纯形 simplex 可编辑 22 可编辑 23 半正定锥 Positivesemidefinitecone n阶对称矩阵集 n阶半正定矩阵集 n阶正定矩阵集 n阶半正定矩阵集为凸锥 可编辑 24 保持凸性的运算 集合交运算仿射变换透视函数 perspectivefunction 线性分式函数 linear fractionalfunction 可编辑 25 真锥 propercone 真锥的定义 锥满足如下条件 K具有内点 K内不含直线 可编辑 26 广义不等式 真锥下的偏序关系 例 逐项不等式矩阵不等式 广义不等式 严格广义不等式 可编辑 27 广义不等式的性质 可编辑 28 严格广义不等式的性质 可编辑 29 最值和极值 最小元的定义 设 对 都有成立 则称为的最小元 极小元的定义 设 对于 若 则成立 则称为的极小元 可编辑 30 分割超平面 separatinghyperplane 定理 设和为两不相交凸集 则存在超平面将和分离 即 可编辑 31 支撑超平面 supportinghyperplane 定义 设集合 为边界上的点 若存在 满足对任意 都有成立 则称超平面为集合在点处的支撑超平面 定理 凸集边界上任意一点均存在支撑超平面 定理 若一个闭的非中空集合 在边界上的任意一点存在支撑超平面 则该集合为凸集 可编辑 32 对偶锥 dualcone 对偶锥的定义 设为锥 则集合称为对偶锥 对偶锥的性质 真锥的对偶锥仍然是真锥 可编辑 33 对偶广义不等式 广义不等式与对偶等价性质 最小元的对偶特性 可编辑 34 对偶广义不等式 极小元的对偶特性 反过来不一定成立 可编辑 35 作业 1 P602 8P602