初中数学模块四课程文本.docx

模块四课程内容标准分析图形与几何内容的分析与教学专题六课程内容标准分析图形与几何内容的分析与教学课程标准实验稿中，把这部分内容叫做空间与图形，现在课程标准把它称作为图形与几何，这是因为“几何”一词，一直是被大家叫得比较熟悉的，而且教师对它的名称的来历等也有所了解。同时，图形又是这部分内容研究的主要对象，用图形与几何，更容易被教师们很好地把握这部分内容。“图形与几何”的课程内容，是从三个方面展开的，即图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分。在图形的性质这部分内容里面，我们主要掌握点、线、面、角、相交线、平行线、三角形、四边形等一些内容的性质。图形的变化主要掌握的内容是图形的平移、旋转和轴对称及图形的相似、位似和投影。图形与坐标主要掌握在直角坐标系中用数对表示物体的位置，能用坐标描述图形的位置，并体会对应点与坐标之间的关系。话题一图形与几何内容的结构分析“图形与几何”的课程内容，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开的，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。这里需要提到的是，课程标准较课程标准实验稿除这部分内容名称变动外，一些具体内容设置也有变化。一是删除了一些条目。如图形的认识中关于梯形、等腰梯形的相关要求，探索并了解圆与圆的位置关系，关于影子、视点、视角、盲区以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等图形的变化中关于镜面对称的要求；图形与证明等腰梯形的性质和判定定理等。二是新增了一些内容（包括必学和选学内客）。其中增加的必学内容有：会比较线段的大小，理解线段的和、差以及线段中点的意义，了解平行于同一条直线的两条直线平行，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类，了解并证明圆内接四边形的对角互补，了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系了，过一点作已知直线的垂线，已知一直角边和斜边作直角三角形，作三角形的外接圆、内切圆和作圆的内接正方形和正六边。选修内容有：了解平行线性质定理的证明，了解相似三角形判定定理的证明，探索并证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，探索并证明切线长定理过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等，了解同周角及其推论的证明。另外，在“图形与几何”中，作为演绎证明基础的“基本事实”也作了适当的调整，在原有的6条中5条基本事实基础上，将标准实验稿第二学段中的“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”和第三学段中的一个事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”加入，又增加了一条“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，形成课程标准初中阶段共9条“基本事实”作为演绎证明的基础。1.图形的认识正确理解与把握课程标准对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。（1）明确认识的对象。在初中学段，除增加了点、平面、菱形外，更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”“理解网、弧、弦、同心角、网周角的概念”等。与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此，必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。课程标准关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。（2）明确图形认识的要求。图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”，第二学段要求“认识”，第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”。再如，关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”，第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”，第三学段要求“会画直棱柱、网柱、网锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。同时，对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。如第一学段“了解直角、锐角和钝角”，第二学段“体会两点间所有连线中线段最短”“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”“了解三角形两边之和大于第三边”，第三学段的“会比较线段的长短”“能比较角的大小”等，都是对图形大小关系的研究。这里点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。另外，图形的全等、相似也都是研究图形之间关系的课程内容。图形的全等研究的是图形的形状、大小关系，图形的相似研究的是图形的形状之间的关系，而图形的位似则还涉及图形的位置关系。（3）明确认识图形的方式与途径。课程标准中较多地使用“通过观察、操作，认识”“结合实例（生活情境）了解”“通过实物和具体模型，了解”的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式。图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。如点是位置的抽象，即在几何中用“点”来标记一个物体的位置（如地图上用点表示城市）；线是路径的抽象，即把“从一个地方走到另一个地方的路径”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。又如观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形。继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。2.图形的变化在课程标准第一、第二学段“图形的运动”中，涉及的主要内容是图形的平移、旋转和轴对称，在初中学段“图形的变化”中除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括图形的相似、位似，以及投影。因此，要求学生了解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质。并利用图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质。如研究三角形全等时，可以先组织学生开展如下操作活动。活动1：先把两张全等的三角形纸板摆放成如图9-2那样，再改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合。说出这两个全等三角形的对应边和对应角。(补课程标准解读p181图9-2中(1) (2) (3)活动2：先把两张三角形纸板重合，然后改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），展示所摆成的不同位置的图形。说出这两个全等三角形的对应边和对应角。活动3：观察下列图形中的两个全等三角形，改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合。上述活动将有效地帮助学生识别复杂图形中的全等三角形，从而为他们进行有关全等三角形的演绎证明奠定基础。研究图形的相似尤其是三角形的相似是初中学段“图形的变化”中的主要内容之一。利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题，这也是课程标准关注的重点。投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化，这个过程是培养学生空间观念的极好途径。3.图形的性质及其证明(1) 图形的性质。图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识。为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质。课程标准在“图形的性质”中，比较多地使用了“探索并证明”的表述。在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量，运用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的。两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力。在学生已经“辨认”“认识”“了解”“知道”了一些图形及其“特征”的基础上，初中学段开始引导学生探索并证明图形的性质，发展学生的推理能力。学生探索图形的性质，可以借助图形直观，通过观察、操作、度量等活动，也可以运用归纳、类比的方法。(2)图形性质的证明。证明，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，是由一系列推理构成的。证明首先需要有大家公认的出发点，其次，推理过程要正确。课程标准列出以下9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点。两点确定一条直线。两点之间线段最短。过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。三边分别相等的两个三角形全等。两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。从这九个基本事实出发，证明有关线段、角、直线、三角形、四边形约40个定理；探索圆、相似形的一些性质，并了解有关圆、相似形的一些定理的证明。需要说明的是，课程标准把上述九条称为“基本事实”，而不称为“公理”，其主要原因是其中大多数都是欧氏公理体系中的定理，另外它们也不具有公理体系所应有的独立性、相容性、完备性。其中，用演绎推理证明图形性质的常用形式是三段论，但是演绎推理并不等同于三段论（比如，由ab，bc推出ac的推理就不是三段论）。在义务教育阶段，用三段论的方法证明图形性质的过程，通常用简化的形式，即“小前提结论（大前提）”的形式。在初中阶段，图形的运动、变化主要是指图形的轴对称、平移、旋转。通过图形的运动、变化，往往能获得一些对图形性质的猜测。不仅如此，图形的运动、变化也常常是我们探究证明思路、寻找证明方法的重要途径。如对于等腰三角形“三线合一”性质的探究与证明，可以经历下面的过程：如果ABC中，ABAC，那么只要沿ABC的角平分线AD所在直线把ABD翻折，因为BAD=CAD，所以BA落在射线AC上。因为AB=AC，所以点B与点C重合，于是ABD与ACD重合。这样便可以发现等腰三角形“三线合一”的结论。在利用演绎推理证明时，折痕就是我们要作的辅助线，它将等腰三角形分成两个全等的三角形，这就是对折给我们的启发，接着证明也就不难了。又如“三角形的中位线定理”的教学可设计如下。问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作：(1)沿ABC的中位线DE将ABC剪成两部分。(2)将ADE绕点E旋转180到CFE的位置。BCFED是四边形吗？如果是，它是怎样的四边形？运用图形运动的方法探索并得到猜测：因为DE绕点E旋转180到FE，所以DEF是一条直线，所以BCFED是四边形。因为图形的旋转不改变图形的大小，所以CFAD，DAC=FCA，于是CF/AD，可知四边形BCFD是平行四边形。于是DF/BC，DFBC，可知DE1/2BC。运用演绎推理证明上述结论：延长DE到点F，使EFDE，连接FC，可证AEDCEF，得CF=AD，CFAD。再证四边形BCFD是平行四边形，可得DE/BC，DE1/2BC。明晰结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。不难看出，上述演绎推理的思路源于图形的旋转变换，图形的旋转变换是“源”，演绎推理证明是它的“流”。4.图形的位置在小学用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置，用“东、南、西、北”等描述物体的绝对位置和用数对表示物体位置的基础上，初中学段，让学生通过建立直角坐标系，要求在直角坐标系中确定图形的位置，如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等。进而在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系，或把一个多边形沿坐标轴平移，或以坐标轴为对称轴进行轴对称变换后，能用坐标描述图形的位置，并体会对应顶点坐标之间的关系；能在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小等。话题二图形性质内容的分析与教学关于图形的性质，课程标准中给出七个小标题，前面五个小标题主要罗列了大家比较熟悉的一些平面图形，如点、线、面、角、相交线、平行线、三角形、四边形等。第六个小标题叫尺规作图，对它的定位和要求，一是它研究的对象是平面图形；二是在学会作图之后，要知道它背后的一些道理。第七个标题是所谓简易的逻辑方面的知识，即探索并证明一些基本图形的性质等内容。下面我们对图形的这些性质进行分析。1.关于“点、线、面、角”这部分内容是几何图形里面最基本的元素。主要介绍了一些最基本的概念，是研究图形性质的基础。其中有两点应当予以注意：一是“比较线段的大小”“比较角的大小”，在运用图形运动的方法研究图形性质时会有所应用；二是“会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差”，课程标准不要求进行角的倍、分的计算。2.关于“相交线与平行线”相交线和平行线，是几何图形性质里最基本的性质。主要介绍了线的位置关系相交，特别是相交里面的垂直，还有平行关系。教学中要注意以下几点：(1)两条直线的位置关系有相交、平行两种，课程标准没有把两条直线重合作为第三种位置关系。(2)两条直线互相垂直，是两条直线相交的特殊位置关系。这里，不仅有特殊与一般的关系，而且还蕴涵着数量变化与位置关系变化的内在联系两直线相交所成角的大小成为特殊值(90)时，两直线的位置关系就是特殊的相交（垂直）。(3)“两条直线相交，只有一个交点”，课程标准既没有把这个显然的结论作为基本事实(若作为基本事实，它与基本事实(1)不独立），也没有要求根据基本事实(1)用反证法加以证明。(4)需要指出：课程标准没有把“两直线平行，同位角相等”作为基本事实，而把它作为平行线性质定理。这样处理一是为了减少“基本事实”的个数，二是避免学生产生难以证明的结论就可以作为“基本事实”的误解。这个定理的证明要运用反证法完成（参见课程标准附录2例59），只要求学生“了解”。(5)识别同位角、内错角、同旁内角，是研究平行线的基础。这里，重要的不是在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的训练，而是要引导学生感受同位角、内错角、同旁内角的大小关系（数量关系）与两直线是否平行（位置关系）的内在联系。3.关于“三角形”三角形的研究，由于三角形是最简单最基本的一个封闭图形。所以，在研究三角形时，是把三角形中边的关系、角的一些特征转化成前面的线的位置、角的数量关系来研究。具体教学内容如下：(1)三角形内角和定理是一个十分重要的定理。小学学段要求学生“了解三角形内角和是180”，初中学段则应在此基础上注重用演绎推理的方法证明这个结论。(2)课程标准表述判定三角形全等的三个基本事实，使用了对应边或角“分别”相等（不用“对应”相等）的表述方式，这是因为“对应相等”的意义难以给出明确定义，又可能与全等三角形的对应边、对应角混淆。另外，“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)”的表述中，特别指出“一组等角的对边相等”，是为了避免理解这个定理时可能发生的歧义。(3)线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质定理，可以通过图形的轴对称获得猜想，然后再运用三角形全等证明。这种获得猜想的过程有助于学生找到证明的思路。(4)关于直角三角形的性质，课程标准只要求探索并掌握“直角三角形的两个锐角互余”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这两个定理，没有把“直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半”作为定理；关于直角三角形的判定，除“两个角互余的三角形是直角三角形”和勾股定理的逆定理外，不要求证明其他的判定方法（比如，若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形）。(5)关于三角形的“心”，课程标准要求“了解”三角形的重心，“知道”三角形的内心、外心，会“作三角形的外接圆、内切圆”，不要求再做进一步的延伸（比如，三角形的重心把中线分成的两条线段之比为21等）；课程标准不要求介绍三角形的“垂心”的概念。4关于“四边形”四边形的教学和三角形的教学有联系也有区分，三角形边的关系实际上是一种相邻角的关系，四边形也应该是一种相邻，但它除了相邻之外，又增加了相对的位置关系。所以，讲四边形是从特殊的四边形入手，讲平行四边形的定义也好、性质也好、判定也好，就是两组对边怎么怎么样、对角怎么怎么样。因此，四边形和三角形都是直线形里比较简单的图形，它们俩有联系也有区分的。具体教学内容及教学注意如下：(1)运用归纳的方法可以得到多边形的外角和公式。多边形的外角和公式与三角形的内角和定理之间有着密切的联系：由三角形内角和定理，可以推导出多边形内角和公式，进而推导出多边形的外角和等于360的结论；也可以先推出多边形的外角和等于360的结论，然后得到多边形内角和公式、三角形内角和定理。(2)“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系”，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材。(3)四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。但是，四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形具有稳定性。如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。如学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就在于边数大于或等于的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。(4)平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，除课程标准列出的条目外，不要求增加其他的判定定理（如“一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形”等）。(5)三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地展示“合情推理提出猜想演绎推理”的过程（参见本专题第一节），引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同，但相辅相成。5.关于“圆”圆是曲线形的一个代表，在初中知识里比较简单，除了介绍圆自身的一些结构特征，比如说圆上的弧，然后介绍了在圆的背景下怎么认识直线形，如弦、半径、直径、圆心角、圆周角，体现出研究圆和直线形它们之间的关系。主要教学内容及教学注意如下：(1)课程标准把“探索并证明垂径定理”“探索并证明切线长定理”作为选学内容，主要是出于控制教学和考试难度的考虑，同时又为学有余力的学生提供进一步学习的空间。这两个定理的探索和证明过程，同样可以展示合情推理和演绎推理相辅相成的过程。课程标准要求“了解圆周角定理及其推论的证明”，这个定理的证明需要对图形的位置关系进行分类，这在几何定理的证明中并不多见。(2)点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，比较典型地体现了“形”与“数”的内在联系图形的位置关系确定了相应的数量关系，反之亦然。这样的课程内容，有关的结论固然重要，但更重要的是其中蕴涵的数形结合的思想。(3)关于“探索切线与过切点的半径的关系”，课程标准只要求知道这种关系，并“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”，没有把圆的切线的性质和判定作为定理。(4)对于“正多边形与圆的关系”，课程标准只要求知道通过等分圆周可以作正多边形，并且只要求“作圆的内接正方形和正六边”，不要求进行有关半径、（半）边长、弦心距三者之间的有关计算；对于“正多边形的概念”，要防止“正三角形”的概念对“正多边形”概念教学的负迁移(参见上面第4(3)点中所述）。6.关于“尺规作图”尺规作图实际上和前面研究这些图形的性质是密不可分的。很多尺规作图的作图依据是按照全等的这个原理进行的，同学们在学完尺规作图之后，就能够理解，我这么作图是对的，因为这是借助全等而得到的边作角的。具体教学内容及教学注意如下：(1)用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，是完成其他尺规作图（如作三角形、作圆）的基础。(2)课程标准要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹”，即作图也要做到有根有据。课程标准的这种要求有助于发展学生的理性精神，应当予以重视。不同的尺规作图，其“道理”可能是一样的。如用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线，这三者本质上没有区别：作图过程都是构造等腰三角形，“道理”都是线段垂直平分线的判定（或者说是等腰三角形的性质）。尺规作图与图形的判定有着本质的联系。如已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边，可以作出（确定）一个三角形，这与判定两个三角形全等的“SSS，SAS，ASA”在本质上是一致的。已知两边和一角，作出的三角形不唯一，判定三角形全等也没有所谓的“SSA”。7.关于“定义、命题、定理”在图形的性质这个结构中，最后一部分是定义、命题和定理这些内容，实际上这些内容是建立在研究图形性质，在证明的过程中，在演绎推理里面必须要具备的一些知识。本部分具体教学内容及教学注意如下：(1)对于命题的条件和结论、互逆命题等有关内容，课程标准的要求是：“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题咸立其逆命题不一定成立。”不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题的逆命题。事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解、表述和句式的变换（简单句变换为复合句）。加强文字语言与结合图形的符号语言之间的“翻译”，这是帮助学生克服这种困难的有效途径。(2)课程标准要求学生“知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑”。应当通过生活中、数学中的实例，使学生知道由合情推理发现的结论不一定正确，通过演绎推理才能确认其正确性，因而证明是必要的，并且证明必须合乎逻辑。“知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式”。用三段论形式证明命题时，可以有不同的表达形式（参见标准例62），对此应让学生了解。在此基础上，可以让学生学会简化的三段论表达形式。(3)对于“反例”，课程标准的要求是“了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的”。反例，有助于加深学生对命题的条件和结论之间关系的认识，但是构造反例往往是困难的，课程标准不要求学生自己构造反例。(4)对于“反证法”，课程标准的要求是“通过实例体会反证法的含义”，不要求学生独立运用反证法证明命题。反证法是一种间接证法，它在思维方式上与直接证法有所不同。虽然用反证法证明命题的过程可以归纳成“作出反设、推出矛盾、肯定结论”三个步骤，但是真正掌握反证法需要一个长期的过程：通过实例体会反证法的含义借助相当数量的实例感悟反证法的思想，不断积累经验，然后在适当的时机结合有关课程内容正式呈现反证法及其步骤在反复应用的过程中不断加深对反证法的认识。把反证法作为一种操作步骤进行训练，是难以取得好的教学效果的。顺便指出两点：一是反证法与举反例是有区别的。前者用于证明一个命题为真，其过程是先否定命题的结论，再由此推出与已知事项矛盾的结果，从而肯定结论成立；后者是通过举出“命题的条件成立，结论却不成立”的例子，断定一个命题为假。二是反证法的依据不是原命题与逆否命题的同真同假，原命题与逆否命题的同真同假却是运用反证法加以证明的。话题三图形的变化内容分析与教学图形的变化。可能这个说法是新一点，原来叫图形与变换，现在叫图形的变化。图形的变化在解决几何问题时，往往起着非常重要的作用。几何变化使得分散的条件集中，使得复杂的问题变得简单，使得抽象的问题变得更具体。几何问题通过几何变化，往往能为我们提供解决问题的思路，达到一种山重水复疑无路、柳暗花明又一村的效果。下面对具体教学内容进行分析。1.图形的轴对称、旋转、平移在图形轴对称、旋转、平移的教学中，教师主要是强调：通过学生对图形的变化过程来认识图形，来探索这些图形变化的一些基本性质。(1)对于轴对称、旋转、平移的概念，课程标准的要求是“了解”或“认识”，这种要求借助图形直观不难达到，义务教育阶段不可能也不必要给出图形变换的严格定义。在教学中，教师可以介绍生活中和自然界中，一些具有几何变换带来的美丽图案，比如说飞机、漂亮的蝴蝶等。(2)对于轴对称、旋转、平移的基本性质，课程标准要求通过“探索”得到，即通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于让学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础。如让学生通过动手操作，如折纸等方式，让学生来认识轴对称、旋转、平移的基本性质。(3)课程标准要求“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形、网的中心对称性质”的含义，使学生不仅知道这些图形是轴对称图形或中心对称图形，而且还包括运用轴对称性或中心对称性探索这些图形的其他性质。(4)轴对称与轴对称图形（中心对称与中心对称图形）是两个有联系又易混淆的概念。“轴对称（中心对称）”的意义是两个图形关于一条直线（一个点）对称，它揭示的是两个图形所具有的一种特殊位置关系；“轴对称图形（中心对称图形）”揭示的是一个图形自身具有的特殊性质（对称性）。(5)课程标准要求：能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。教师应当认真落实课程标准的这些要求。2.图形的相似相似，是不同于轴对称、旋转、平移的另一种图形变化，相似变化改变图形的大小，不改变图形的形状（改变两点间距离的大小，不改变角的大小），也称为“保角变化”。(1)相似图形的性质在现实生活和数学中都有着广泛的应用。但是，若要用演绎推理的方法研究相似形的判定和性质，则需要许多相应的知识作基础。为了降低探索相似三角形性质和判定的难度，课程标准把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实，且只要求“了解”相似三角形的判定定理和性质定理的证明，不要求运用这些定理证明其他命题。这里强调，三角形相似与三角形全等有着紧密的内在联系（当两个相似三角形的相似比k=1时这两个三角形全等），可通过与三角形全等的判定定理进行类比，引导学生探索相似三角形的判定定理，进一步感受特殊与一般的关系。(2)“比例的基本性质、线段的比、成比例的线段”是研究相似形的基础。课程标准除“比例的基本性质”外，不要求研究比例的其他性质（如合比定理、分比定理等）。对于“黄金分割”，课程标准要求“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”，感悟数学的美。线段的“黄金比”，可以作为一元二次方程求根公式的应用给予介绍。(3)图形的相似，课程标准要求“通过具体实例认识图形的相似”，“了解相似多边形和相似比”。对于相似形的定义，可以用“各角相等，各边成比例”来定义相似多边形。三角形的相似要特殊一些，它的相似条件的获得是由课程标准的一条基本事实加以保证，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”。相似比，在解决有关图形的计算问题时，经常应用，应当予以关注。图形的位似，课程标准只要求“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小”。借助实际生活经验，学生不难达到课程标准的这个要求，不必进一步介绍关于“图形的位似”的其他知识。(4)对于课程标准要求“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”这个要求，应当予以足够的重视。利用图形的相似解决一些简单的实际问题，必然经历“把实际问题抽象成为数学问题，解决数学问题对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程，学生经历这样的过程，有助于他们感悟模型思想，感受数学的价值。上述要求中“简单”的意义，通常是指：当实际问题抽象为数学问题后，就可以直接运用相似形的有关知识予以解决。(5)课程标准要求“利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数( sin A，cos A，tan A)”。探索不难发现：相似的直角三角形的边与边的比值，随锐角大小的变化而变化，随锐角大小的确定而唯一确定，因此，利用相似的直角三角形定义锐角三角函数便顺理成章。(6)锐角三角函数进一步丰富了直角三角形的边与角之间的关系。对于课程标准“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”的要求，不应简单把“解直角三角形”分为几种类型进行训练，而应注重引导学生在全面掌握直角三角形边角关系的基础上，根据实际情况选择恰当的方法求解。在用解直角三角形的相关知识“解决一些简单的实际问题”的过程中，应当注重引导学生感悟模型思想，感受数学的价值。需要指出的是在课程标准中，“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，应当认真加以落实。如果不掌握用计算器进行计算的技能，那么上述“解直角三角形”“解决一些简单的实际问题”的要求将难以真正落实。3.图形的投影关于图形的投影，教师在教学中，可结合日常生活中关于中心投影、平行投影的丰富实例，引导学生“了解中心投影和平行投影的概念”。(1)平行投影是学习三视图的基础。画一个物体的三视图，根据视图描述几何体，有助于发展学生的空间观念。课程标准要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”，这里的“简单物体”应是直棱柱、圆柱、圆锥、球，或它们的组合。需要说明的是，机械制图中画三视图有其自身的规定。比如，左视图应画在主视图的右面，俯视图应画在主视图的下面，且主视图与俯视图应“长对正”，主视图与左视图应“高平齐”，左视图与俯视图应“宽相等”。课程标准没有给出“三视图”的概念，其主要目标还是对学生空间观念的培养。(2)画直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作出实物模型，这有助于学生感受三维空间与二维平面的相互转换，可以有效地发展学生的空间观念。教师通过让学生制作包装盒这样的实践活动，有助于学生感受数学与生活的联系，以及数学的应用价值。话题四图形与坐标内容的分析与教学课程标准中图形与坐标内容较课程标准实验稿有一些变化，即把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，把几何图形用代数的方式表达出来，这为用代数的办法去研究图形提供了一个广阔的研究空间。下面从坐标与图形位置和坐标与图形运动两方面进行分析。1.坐标与图形位置(1)课程标准把平面直角坐标系的有关内容安排在“图形与几何”的课程内容里，更好地体现了数与形的紧密联系。由于坐标系在数学学习当中起着特别重要的作用，而平面直角坐标系，在初中数学当中更是举足轻重。平面直角坐标系在初中数学支撑着两个重要的内容：一个是函数性质的研究，另一个就是几何图形性质的研究。虽然教师还不太习惯用坐标系来研究几何图形、来研究图形的变化、来确定坐标系，但是，随着课程标准的不断修改，教师会体会到平面直角坐标系在研究几何图形的时候，作用会显得特别大。本着这样的考虑，把平面直角坐标系的内容放到几何内容里更贴切，特别是结合实例“用有序数对表示物体的位置”，能有效地引导学生感悟数与形的这种联系。同