2011年中考数学菱形的性质与判定分类试题苏教版.doc

2011年中考试题分类菱形的性质与判定 苏教版选择题（2011山东滨州，12，3分）如图，在一张ABC纸片中，C=90，B=60，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：邻边不等的矩形；等腰梯形；有一个角为锐角的菱形；正方形那么以上图形一定能被拼成的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【思路分析】DE是ABC的中位线，DEBC，且DEBCC=90，B=60，AB2BC，AEBEBC又C90，ACAB，DCBE如图(1)，把ADE绕点E旋转180，使AE与BE重合，由题意可得CDF90，则四边形BCDF是矩形，且CDBC，所以构成邻边不等的矩形，则成立如图(2)，把ADE绕点D旋转180，使AD与CD重合，由题意可得BCBEEMMC，则四边形BCME是菱形，且B60为锐角，则成立如图(3)，移动ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DEBN，且DEBN，所以四边形BNDE是梯形，又DNBE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则成立因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则不成立【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况【易错点分析】【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定（2011广东佛山，6，3）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是A.矩形B.菱形C.正方形 D.梯形【答案】A【思路分析】因为顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形，而菱形的对角线互相垂直，所以依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是矩形.【方法规律】顺次连结四边形各边中点所围成的四边形是平行四边形.【易错点分析】错误认为菱形对角线互相垂直且相等，而误选C.【关键词】中位线【难度】【题型】常规题（2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【答案】D【思路分析】因为菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边的中点所得四边形一定是矩形，选项A错误；同理，选项B错误；虽然矩形的对角线相等，顺次连接矩形各边的中点所得四边形一定是菱形，但是，只要是顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，就一定能够得到菱形，所以，选项C错误，应选D.【方法规律】如下图所示：顺次连接任意四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理，易得HGACEF，且，则HG与EF平行且相等，所以四边形EFGH一定是平行四边形，又，当且仅当ACBD时，HEHG，此时EFGH为菱形，所以，只要四边形ABCD对角线AC，BD相等即可.【易错点分析】对特殊四边形的性质与判定方法不熟悉，容易误选C.【关键词】平行四边形 矩形 菱形 三角形中位线【难度】 【题型】常规题 易错题 好题（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. HGF = GHE B. GHE = HEF C. HEF = EFG D. HGF = HEF（第12题图）【答案】D 【思路分析】因为点E,F,G,H分别是等腰梯形的AB,BC，CD，DA的中点，所以四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质可以判断，故选D.【方法规律】连接等腰梯形的对角线，构造三角形，利用三角形中位线定理及等腰梯形的对角线相等的性质容易证明四边形EFGH的形状为菱形.【易错点分析】识别中点四边形的形状【关键词】平行四边形、梯形、三角形中位线 【推荐指数】 【题型】常规题一 填空题（2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=_ 【答案】5【思路分析】顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，AB=5，四边形ABCD为菱形，BC=AB=5. 【方法规律】本题考查菱形的性质：菱形的各边长相等。【易错点分析】由条件“顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1”，推断AB的长为3，导致解题错误。【关键词】 菱形【推荐指数】 【题型】常规题 二 解答题22（2011山东临沂，22，7分）如图，ABC中，ABAC，AD、CD分别是ABC两个外角的平分线在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F（1）求证：ACAD；（2）若B60，求证：四边形ABCD是菱形； 【解】（1）证明：ABAC，BBCA，EACBBCA2B，AD平分FAC，FADB，ADBC，（2分）DDCE，CD平分ACE，ACDDCE，DACD，（3分）ACAD；（4分）（2）证明：B60，ACB60，FACACE120，DCEB60，（5分）DCAB,ADBC，四边形ABCD为平行四边形，（6分）又由（1）知ACAD，ABAD，四边形ABCD是菱形（7分）【思路分析】(1)（2）可先证明四边形ABCD为平行四边形，再证一组邻边相等.【方法规律】要熟记证明四边形为平行四边形及菱形的所有判定定理，深入挖掘已知条件.【关键词】平行四边形，菱形. 【难度】 【题型】常规题，综合题（2011贵州毕节，24，13分） 已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如图所示)，BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE. (1) 在下图中，用尺规作BAD的平分线AE(保留作图痕迹不写作法)，并证明四边形ABED是菱形。(7分)(2) 若ABC，EC2BE.求证：EDDC (6分)BDCA(第24题)【解】（1）如下图BDCAE 证明：AE平分BAD BAEDAE ABAD AEAEABEADEBEDEADBCDAEAEBBAEAEBBEABABBEDEAD四边形ABED是菱形 （2）如图，过点D作DFAE交BC于点F ABED是菱形ABDEDEFDFEDEF为等边三角形EC2BEEFDFCFCDFDFECDE+=EDDCBDCAEF【答案】D【思路分析】（1）四边形ABED中，已有两边相等，所以再证另外两边均和它们相等即可，显然ABEADE（SAS），则BE=DE,又借助角平分线、平行线说明AB=BE,则四条边都相等的四边形是菱形；（2）ABC转化到DEF=60，可见关键是证出C=30，作DFAE，构造等边三角形即可。【方法规律】本题考查了菱形的判定、尺规作图等知识，菱形的判定常用的方法有：四条边都相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形。在梯形中，有角为60，一般是构造等边三角形。【易错点分析】对于尺规作图为保留弧线或菱形的判定方法掌握不好.【关键词】尺规作图，菱形的判定，全等，直角三角形【推荐指数】【题型】常规题，操作题（2011北京市，24，7分）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数123图3图1图2 【答案】(1)证明：如图1AF平分BAD，BAF=DAF四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCDDAF=CEF，BAF=FCEF=FCE=CF(2)BDG=45 (3)解：分别连结GB、GE、GC（如图3） ABDC，ABC=120ECF=ABC=120FGCE且FG=CE四边形CEGF是平行四边形由(1)得CE=CF，平行四边形CEGF是菱形EG=EC，GCF=GCE=ECF=60ECG是等边三角形EG=CG， GEC=EGC=60 GEC=GCFBEG=DCG 由ADBC及AF平分BAD可得BAE=AEBAB=BE在平行四边形ABCD中，AB=DCBE=DC 由得BEGDCGBG=DG1=2BGD=1 +3=2+3=EGC=60BDG=60【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF；连接BG、CG，由SAS可证DGFBGC，得到BGD为等腰直角三角形，所以BDG=45；同理可得BGD为等腰三角形，再证BGD为等边三角形，从而得到BDG=60。【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系，只要找到特殊的图形，就能沟通边角间的关系。【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形；不能证明BDG为60度。【关键词】平行四边形，矩形，菱形，角平分线【推荐指数】【题型】新题，好题（2011江苏常州，23，7分）已知：如图，在梯形ABCD中ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点求证:四边形BCDE是菱形CDABE（第23题）【证明】ADBD，ADB=90又E为AB中点，DE=AB，BE=AB， DE=BE DBE =EDB又ABCD， BDC =EDBBC=CD， DBC =DBCBCDEEBCD，四边形BCDE是平行四边形；BC=CD，四边形BCDE是菱形【思路分析】先利用两组对边分别平行，证明四边形BCDE是平行四边形，再来利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形BCDE是菱形【方法规律】菱形的判定方法有：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4边都相等的四边形是菱形有一组邻边相等平行四边形的是菱形【易错点分析】在证明菱形时，注意前提条件是四边形还是平行四边形，不要用错判定条件【关键词】平行四边形、菱形【推荐指数】【题型】常规题（2011江苏常州，25，6分）已知：如图1，图形满足：AD=AB，MD=MB，A=72， M=144图形与图形恰好拼成一个菱形（如图2）记作AB的长度为a，BM的长度为b （1）图中中B=_度，图中中E=_度（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称为“风筝一号”另一种纸片的形状及大小与图形相同，这种纸片称为“飞镖一号”小明仅有“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片_张；小明用若干张“风筝一号”和 “飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中P=72， Q=144，PI=PJ=a+b，IQ=JQ请你在图中画出拼接线并保留画图痕迹（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）AJP（第25题）BB(G)QICD(E)ACFFDMGEM(F)图形图形图1图2图3【答案】（1）B=72，E=36（2）5个；（3）图略【思路分析】（1）由图2知，四边形ABCD是菱形，所以在图1中，ABM=ADM，A=72， M=144，B=72，E=36（2）正十边形的中心角为36，而“风筝一号”中，A=72，需要这种纸片5张（3）根据角度及边的关系，上面放一个“飞镖一号”，下面放两个“风筝一号”【方法规律】本题在考查菱形知识综合应用的同时，兼顾考查学生知识转化能力，作图能力以及实践操作能力，符合新课改精神，是一道不可多得的好题【易错点分析】在解决第（3）问时，不能根据边角关系拼图【关键词】菱形、操作设计题【推荐指数】【题型】新题，操作题（2011海南省，23，10分）如图10，在菱形ABCD中，A=60，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ（1）求证：BDQADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cosBPQ的值（结果保留根号）【答案】（1）在菱形ABCD中，A=60 ABC=120，BD平分ABC，ABD为等边三角形 DBC =60，AD=BDDBC =AAP=BQBDQADP （2）过点Q作QEAB交AB延长线与点E（如图）四边形ABCD为菱形AB=AD=3AP=2BP=1，BQ=AP=2CBE=180120=60BE=1，QE=PE=2，PQ=cosBPQ=【思路分析】（1）要证明BDQADP；要满足AD=BD，DBC =A，AP=BQ即可。（2）过点Q作QEAB交AB延长线与点E，PQE是直角三角形。【方法规律】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力【易错点分析】熟练掌握锐角三角函数求值方法。【关键词】菱形，锐角三角函数【推荐指数】【题型】好题，难题，（2011河南，22，10分）如图，在RtABC中，B90，BC5，C30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF（1）求证：AEDF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.【中考权威答案】（1）在DFC中，DFC90，C30，DC2t，DFt.又AEt，AEDF（2）能.理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又AEDF，四边形AEFD为平行四边形.ABBCtan30ADACDC102t若使AEFD为菱形，则需AEAD，t102t，即t即当时，四边形AEFD为菱形（3）EDF90时，四边形EBFD为矩形. 在RtAED中，ADEC30，AD2AE.即102t2t，.DEF90时，由（2）知EFAD，ADEDEF90.A90C60，ADAEcos60.即EFD90时，此种情况不存在.综上所述，当或4时，DEF为直角三角形【思路分析】（2）由于AE与DF平行且相等，因此四边形AEFD是平行四边形，要保证是菱形，只需保证一组邻边相等即可，可令ADAE；（3）DEF为直角三角形，则共有三种三种情况，即DEF90，EDF90和DFE90【方法规律】动态几何问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展学生的空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点。 【易错点分析】 第（3）问漏解【关键词】动态变化 菱形 直角三角形 【推荐指数】 【题型】好题 动态变化题（2011湖南湘潭市，24，8分）（本题满分8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图，AB=6cm，BC=8cm，ABC=90，将RtABC在直线上左右平移，如图所示. 求证：四边形ACFD是平行四边形; 怎样移动RtABC，使得四边形ACFD为菱形; 将RtABC向左平移，求四边形DHCF的面积.【答案】 （1）证明：ABCDEF，AC=DF,ACB=DFE，ACDF，四边形ACFD是平行四边形；（2）在RtABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，可将RtABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）在RtABC中，当RtABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），在RtHEC中，四边形DHCF的面积为：cm2【思路分析】(1)由ABCDEF，得出AC=DF，再由ACB=DFE，得出ACDF，根据平行四边形的判定条件:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形ACFD是平行四边形（2）由勾股定理得出AC2AB2BC2，AC10cm，再根据四条边都相等的平行四边形是菱形，故可将RtABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）由图示，在RtABC中，当RtABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm）；在RtHEC中，又因为四边形DHCF的面积RtDEF的面积RtHEC的面积即四边形DHCF的面积BCAB ECHE864318cm2【方法规律】本题是考查平行四边形、菱形的判定、三角函数，利用平行四边形、菱形的判定定理和解三角函数求解【易错点分析】没能正确理解函数图像上点满足函数解析式这一条件，导致错误【关键词】平行四边形、菱形的判定、三角函数【推荐指数】【题型】动点问题（本题12分）如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为点C（1，2）.（1）求此函数的表达式；（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）因为顶点为点C（1，2）根据抛物线顶点式可设抛物线的表达式为又因为二次函数为y=所以=即=所以此函数的表达式y=.（2）答：存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形解：连结CD交AB于