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集合及集合的表示要点一、集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.1，2，3，4【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数. 例2集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？类型二：元素与集合的关系例3.用符号“”或“”填空(1)(2)(3)举一反三：【变式1】 用符号“”或“”填空（1）若,则 ；-2 .（2）若则 ；-2 .类型三：集合中元素性质的应用例4.定义集合运算：.设集合，则集合的所有元素之和为A. 0 B. 6 C. 12 D. 18举一反三：【变式1】定义集合运算：，设，则集合的所有元素之和为（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D. 6例5. 设集合=x|，当集合为单元素集时，求实数的值.例6.已知集合，若，求实数的值及集合. 例7已知集合=x|，若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.类型四：集合的表示方法例8试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.举一反三：【变式1】用列举法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)B=(x，y)|x+y=3， xN， yN(3)C=y|x+y=3，xN， yN 集合的基本关系及运算【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：要点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：4.集合基本运算的一些结论： 若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断00 ；，正确的有哪些？举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) x|x|1 x|x21；(2)y|y=2x2 y|y=3x2-1； (3)x|x|1 x|x1；(4)(x，y)|-2x2 (x，y)|-1x2例2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集.举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有 个.【变式2】同时满足：；，则的非空集合有（ ）A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【变式3】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求实数a的取值.例3. 设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2+2x+8，xR，则MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. y|-1y9（2）设集合M=3，a，N=x|x2-2xa.（1）若AB，求实数 a的取值范围；