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.平舆二中九年级数学竞赛试题一 选择题（每题3分共24分）1已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b，则ab的值为（ ）A1 B1 C0 D22下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是 （） A1 B2 C3 D4 3已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（） 4如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（） 第4题图5已知函数y=（xm）（xn）（其中mn）的 图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（） 第5题图A. B. C. D.6将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A. y=（x2）2 B. y=（x2）2+6 C. y=x2+6 D. y=x27如图，CD是 O的直径，弦AB CD于点G，直线EF与 O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A. AG=BG B. AB EF C. AD BC D. ABC= ADC第7题图8平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似，则相应的点P共有（）A1个 B2个 C3个 D4个第8题图二填空题（每题3分共21分）9方程x23x+2=0的根是_10一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 _11如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是_12如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把A0B绕点A顺时针旋转90后得到AOB，则点B的坐标是_第12题图第11题图第13题图13如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是_cm14如图，反比例函数y=（k0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于_（结果保留）15如图所示，抛物线的顶点P（2，1），与y轴交于A（0，3），若平移该抛物线使其定点P沿直线移动到点P1（2，1），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为_第15题图第14题图三解答题（共8小题75分）16如图，已知ABC中，点D在AC上且ABD=C，求证：AB2=ADAC（8分）17如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率（9分）18天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？（9分）19如图，在平面直角坐标系中，A（5，0）、B（2，6），BCAO，点D在AB上，BD=2AD，双曲线y=（x0）经过点D，交BC于E（10分）（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积20已知： 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（4，n）（9分）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围21如图，CD是O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作O的切线PA，PB，切点分别为点A，B（9分）（1）连接AC，若APO=30，试证明ACP是等腰三角形；（2）填空：当DP=_cm时，四边形AOBD是菱形；当DP=_cm时，四边形AOBP是正方形22如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（10分）（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长23.（11分） 如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=1，该抛物线与x轴的另一个交点为B（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使PAC的周长最小的点P的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由河南省平舆二中数学竞赛参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b，则ab的值为（）A1B1C0D2考点：一元二次方程的解菁优网版权所有分析：由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b，那么代入方程中即可得到b2ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解解答：解：关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b，b2ab+b=0，b0，b0，方程两边同时除以b，得ba+1=0，ab=1故选：A点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（）A1B2C3D4考点：中心对称图形；轴对称图形菁优网版权所有分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解答：解：第一个图形市中心对称图形，第二个图形、第三个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，共2个，故选：B点评：此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合3已知O的直径CD=10cm，AB是O的弦，AB=8cm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（）AcmBcmCcm或cmDcm或cm考点：垂径定理；勾股定理菁优网版权所有专题：分类讨论分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答：解：连接AC，AO，O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=2cm故选：C点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）ABCD考点：列表法与树状图法菁优网版权所有专题：跨学科分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案解答：解：画树状图得：共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，小灯泡发光的概率为：=故选：A点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比5已知函数y=（xm）（xn）（其中mn）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）ABCD考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象菁优网版权所有专题：数形结合分析：根据二次函数图象判断出m1，n=1，然后求出m+n0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可解答：解：由图可知，m1，n=1，m+n0，一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二、四象限；故选：C点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键6将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）Ay=（x2）2By=（x2）2+6Cy=x2+6Dy=x2考点：二次函数图象与几何变换3338333分析：根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可解答：解：将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+33，即y=x2故选D点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键7如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G，直线EF与O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）AAG=BGBABEFCADBCDABC=ADC考点：切线的性质；垂径定理；圆周角定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据切线的性质，垂径定理即可作出判断解答：解：A、CD是O的直径，弦ABCD于点G，AG=BG，故正确；B、直线EF与O相切于点D，CDEF，又ABCD，ABEF，故正确；C、只有当弧AC=弧AD时，ADBC，当两个互不等时，则不平行，故选项错误；D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到ABC=ADC故选项正确故选C点评：本题考查了切线的性质定理、圆周角定理以及垂径定理，理解定理是关键8平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=图象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似，则相应的点P共有（）A1个B2个C3个D4个考点：相似三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有专题：压轴题分析：可以分别从PQOAOB与PQOBOA去分析，首先设点P（x，y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案解答：解：点P是反比例函数y=图象上，设点P（x，y），当PQOAOB时，则，又PQ=y，OQ=x，OA=2，OB=1，即，即y=2x，xy=1，即2x2=1，x=，点P为（，）或（，）；同理，当PQOBOA时，求得P（，）或（，）；故相应的点P共有4个故选D点评：此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质注意数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键二填空题（共7小题）9方程x23x+2=0的根是1或2考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题：因式分解分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解解答：解：因式分解得，（x1）（x2）=0，解得x1=1，x2=2故答案为：1或2点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用10一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是考点：列表法与树状图法菁优网版权所有专题：计算题分析：列表得出所有等可能的情况数，找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，即可求出所求的概率解答：解：列表得：红红白白红（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）所有等可能的情况有12种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有4种，则P=故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比11如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a0）和一次函数y2=mx+n（m0）的图象，当y2y1，x的取值范围是2x1考点：二次函数的图象；一次函数的图象菁优网版权所有分析：关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2y1时，x的取值范围解答：解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（2，0），（1，3），当有y2y1时，有2x1，故答案为：2x1点评：此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势12如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把A0B绕点A顺时针旋转90后得到AOB，则点B的坐标是（7，3）考点：坐标与图形变化-旋转菁优网版权所有分析：首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B的坐标解答：解：直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，旋转前后三角形全等，OAO=90，BOA=90OA=OA，OB=OB，OBx轴，点B的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+OB=3+4=7，故点B的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B和点B位置的特殊性，以及点B的坐标与OA和OB的关系13如图，如果从半径为3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是2cm考点：圆锥的计算菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：易求得扇形的弧长，除以2即为圆锥的底面半径解答：解：扇形的弧长为：=4cm，圆锥的底面半径为：42=2cm，故答案为：2点评：考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长14如图，反比例函数y=（k0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A，B两点，且A（1，），图中阴影部分的面积等于（结果保留）考点：反比例函数图象的对称性；扇形面积的计算菁优网版权所有专题：计算题分析：根据反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形可得：图中两个阴影面积的和等于扇形OAB的面积，又知A（1，），即可求出圆的半径解答：解：如图，A（1，），AOD=60，OA=2又点A、B关于直线y=x对称，AOB=2（6045）=30又反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，S阴影=S扇形AOB=故答案是：点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系15如图所示，抛物线的顶点P（2，1），与y轴交于A（0，3），若平移该抛物线使其定点P沿直线移动到点P1（2，1），点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为12考点：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有分析：连接AP、AP，利用勾股定理列式求出OP，再利用三角形的面积求出点A到OP的距离，然后利用勾股定理列式求出PP，根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于平行四边形APPA的面积，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解解答：解：如图，连接AP、AP，A（0，3），OA=3，P（2，1），OP=，设点A到OP的距离为h，则SAOP=h=32，解得h=，P（2，1），P（2，1），PP=2OP=2，S阴影=SAPPA=2=12故答案为：12点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质判断出用平行四边形的面积表示阴影部分的面积是解题的关键三解答题（共8小题）16如图，已知ABC中，点D在AC上且ABD=C，求证：AB2=ADAC考点：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得ABDACB，进一步得出，整理得出答案即可解答：证明：ABD=C，A是公共角，ABDACB，AB2=ADAC点评：此题考查相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似相似三角形的对应边成比例，对应角相等17如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率考点：列表法与树状图法菁优网版权所有专题：计算题；分类讨论分析：（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率解答：解：（1）三种等可能的情况数，则恰好选中绳子AA1的概率是；（2）列表如下：ABCA1（A，A1）（B，A1）（C，A1）B1（A，B1）（B，B1）（C，B1）C1（A，C1）（B，C1）（C，C1）所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，则P=点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比18天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？考点：一元二次方程的应用菁优网版权所有专题：应用题分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游即可由对话框，超过25人的人数为（x25）人，每人降低20元，共降低了20（x25）元实际每人收了100020（x25）元，列出方程求解解答：解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为100020（x25）元由题意得 x100020（x25）=27000整理得x275x+1350=0，解得x1=45，x2=30当x=45时，人均旅游费用为100020（x25）=600700，不符合题意，应舍去当x=30时，人均旅游费用为100020（x25）=900700，符合题意答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游点评：考查了一元二次方程的应用此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解19如图，在平面直角坐标系中，A（5，0）、B（2，6），BCAO，点D在AB上，BD=2AD，双曲线y=（x0）经过点D，交BC于E（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积考点：反比例函数综合题菁优网版权所有分析：（1）作BMOA交OA于点M，作DNOA交OA于点N，作DFBM于点F，利用BFDBMA，可解得BF=4及FD=2，易得出点D（4，2），把点D（4，2）代入双曲线y=即可得出双曲线的解析式；（2）利用S四边形ODBE=S梯形OABESOADSOCE求解即可解答：解：（1）如图，作BMOA交OA于点M，作DNOA交OA于点N，作DFBM于点F，BD=2AD，BFDBMA，A（5，0）、B（2，6），=，解得BF=4，DN=MN=BMBF=2，=，即=，解得FD=2BE=2，FD=2，ON=BE+FD=2+2=4，点D（4，2），把点D（4，2）代入双曲线y=，得2=，解得k=8，双曲线的解析式为y=（2）点E的纵坐标为6，6=，D（，6），即CE=，S四边形ODBE=S梯形OABESOADSOCE=OADNOCCE=76626=2164=11点评：本题主要考查了反比例函数的综合题，解题的关键是正确的作出辅助线利用图象解决问题，从图上获取BFDBMA20已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（4，n）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围考点：反比例函数与一次函数的交点问题菁优网版权所有专题：代数几何综合题分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出ACO和BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案解答：解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=14，1+b=4，解得k=4，b=3，反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，当x=4时，y=1，B（4，1），当x=0时，y=+3，C（0，3），SAOB=SAOC+SBOC=；（3）B（4，1），A（1，4），根据图象可知：当x1或4x0时，一次函数值大于反比例函数值点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想21如图，CD是O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作O的切线PA，PB，切点分别为点A，B（1）连接AC，若APO=30，试证明ACP是等腰三角形；（2）填空：当DP=1cm时，四边形AOBD是菱形；当DP=1cm时，四边形AOBP是正方形考点：切线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定菁优网版权所有分析：（1）利用切线的性质可得OCPC利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得ACP=30，从而求得（2）要使四边形AOBD是菱形，则OA=AD=OD，所以AOP=60，所以OP=2OA，DP=OD要使四边形AOBP是正方形，则必须AOP=45，OA=PA=1，则OP=，所以DP=OP1解答：解：（1）连接OA，ACPA是O的切线，OAPA，在RtAOP中，AOP=90APO=9030=60，ACP=30，APO=30ACP=APO，AC=AP，ACP是等腰三角形（2）DP=1，理由如下：四边形AOBD是菱形，OA=AD=OD，AOP=60，OP=2OA，DP=ODDP=1，DP=，理由如下：四边形AOBP是正方形，AOP=45，OA=PA=1，OP=，DP=OP1DP=点评：本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键22如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DEAC；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD=60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角边”证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出F1DF2=60，从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解解答：解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，