近世代数-4—6结合律、交换律及分配律.doc

第 2 讲一、算律 46 结合律、交换律及分配律（2课时） (Associative Law Commutative Law and distributive law )定义 任一个的映射都叫做的一个代数运算。定义 若的代数运算，则可称是的代数运算或称二元运算。4、结合律：代数运算就是二元运算，当元素个数时，譬如同时进行运算：，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。两两运算的过程叫做加括号。加括号的方法显然不止一种：； 加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？例1：设“”是整数中的减法：则特取， ，而其运算的结果不一样。 例2：设“”是整数中的加法：则 定义1：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律。例2、 “+”在中适合结合律。例1、 “-”在中不满足结合律。思考题：就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。注意：定义2：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的方法最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。注意：从定义2可知，“”也可能是有意义的。定理1（p11. 定理）：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的方法运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。证明：因是有限数，所以加括号的方法必是有限的。任取一种加括号的方法，往证：对用数学归纳法。当n=2时，结论成立。假设对n，结论成立，即所有加括号的方法运算的结果是唯一的。设，和分别是和个元素经加括号而运算的结果.，由归纳假设，5、交换律定义3：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足交换律。定理2：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。证明：用数学归纳法。当n=2时定理成立，假设当元素的个数为时，定理成立，元素的个数为n时，设 是的按任意一个次序相乘的结果。这里的是1，2，n 的一个排列，而是的一个排列。因此，有。所以，满足交换律的运算一般用“+”表示。6、分配律定义4：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称满足左分配律。定理3：设和如上，如果满足结合律，且满足左分配律，那么，都有论证思路采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。定义5：设和同上，若，若有，那么称满足右分配律定理4：设和同上，若适合结合律，而适合右分配律。那么。注意：定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。作业： ，。二、一一映射，同态及同构7、1、一一映射（双射。Bijection）在高等代数中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。定理1：设是到的一个双射，那么由可诱导出（可确定出）到的一个双射（通常称是的逆映射）结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，使得：； 也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。2、变换（transformation）定义2：设是映射，那么称为的变换。当是双射（单射，满射）时，也称为一一变换（单射变换，满射变换）例2 8、同态（Homomorphism）比较代数系统的一种方法定义3：设集合都各有代数运算（称及为代数系统）而是映射，且满足下面等式：（习惯上称可保持运算）那么称是到的同态映射。例3、设，其中中的代数运算就是中的加法，而中的代数运算为数中的乘法。不是同态映射。例4、设与同例3，今设，那么如果同态映射是单射（满射），那么自然称是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4：若是到的同态满射，那么习惯上称同态，并记为；习惯上称是的同态象.定理1. 如果是到的同态满射，那么（1） 若满足结合律也适合结合律；（2） 若满足交换律也适合交换律.证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理2、设和都是代数系统，而映射关于以及都是同态满射，那么：（1） 若满足左分配律也适合左分配律；（2） 若满足右分配律也适合右分配律。证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。思考题1：在定理1及定理2中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到中，那么：（1） 当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理1，2成立吗？）（2） 即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即中的性质能“传递”到中去吗？）9、一、同构（isomorphism）定义4、设是到的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。例6、设都是整数中通常的加法“+”，现作，那么是同构映射.事实上，（1）是单射：是单射.（2）是满射：是满射.（3）是同态映射： 由（1），（2），（3）知，是同构映射，即。定理3、设是到的同构映射，那么（1）“”适合结合律“”也适合结合律；（2）“”适合交换律“”也适合交换律；（3）“”和“+”满足左（右）分配律“”和“”满足 左（右）分配律。注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。思考题1：设，试证：不可能同构.思考题2：试证：（1）不同构.（2）不同构（其中为非零有理数集）.（3）设为数域， 试证：是同构的。（其中“+”为数组间的加法，“”为矩阵的加法）思路：（1）（反证法