2012届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案.doc

2012届高考数学不等式第一轮基础知识点复习教案 第七编 不等式7.1 不等关系与不等式 1.已知-1a0,那么-a,-a3,a2的大小关系是 .答案 -aa2-a32.若m0,n0且m+n0，则-n，-m，m，n的大小关系是 .答案 m-nn-m3.已知a0,-1b0,那么a,ab,ab2的大小关系是 .答案 abab2a4.设a=2- ,b= -2,c=5-2 ,则a,b,c的大小关系为 .答案 abc5.设甲：m、n满足 乙：m、n满足 那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分例1 （1）设xy0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c正实数，且a2+b2=c2,当nN,n2时比较cn与an+bn的大小.解 （1）方法一 （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)x2+y2-(x+y)2=-2xy(x-y),xy0,xy0,x-y0,-2xy(x-y)0,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).方法二 xy0,x-y0,x2y2,x+y0.(x2+y2)(x-y)0,(x2-y2)(x+y)0,0 = 1,(x2+y2)(x-y)(x2-y2)(x+y).(2)a,b,c正实数，an,bn,cn0,而 = + .a2+b2=c2,则 + =1,0 1,0 1.nN,n2, , , = + =1,an+bncn.例2 已知a、b、c是任意的实数，且ab,则下列不等式恒成立的是 .(a+c)4(b+c)4 ac2bc2lg|b+c|lg|a+c| (a+c) (b+c) 答案 例3 （14分）已知-1a+b3且2a-b4,求2a+3b的取值范围.解 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b), , 4分m= ,n=- . 6分2a+3b= (a+b)- (a-b). 7分-1a+b3,2a-b4,- (a+b) ,-2- (a-b)-1, 10分- (a+b)- (a-b) , 12分即- 2a+3b . 14分1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中xR;(2)设aR,且a0,试比较a与 的大小.解 （1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).当x=1时，x6+1=x4+x2;当x1时，x6+1x4+x2.（2）a- = = 当-1a0或a1时,a ；当a-1或0a1时,a ；当a=1时,a= .2.适当增加不等式条件使下列命题成立：（1）若ab,则acbc;(2)若ac2bc2,则a2b2;(3)若ab,则lg(a+1)lg(b+1);(4)若ab,cd,则 ;(5)若ab,则 .解 （1）原命题改为：若ab且c0，则acbc,即增加条件“c0”.(2)由ac2bc2可得ab,但只有b0时，才有a2b2,即增加条件“b0”.(3)由ab可得a+1b+1,但作为真数，应有b+10,故应加条件“b-1”.（4） 成立的条件有多种，如ab0,cd0,因此可增加条件“b0,d0”.还可增加条件为“a0,c0,d0”.(5) 成立的条件是ab,ab0或a0,b0,故增加条件为“ab0”.3.设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范围.解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得 ,解得 ,f(-2)=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法二 由 ,得 ,f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10.方法三 由 确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b过点A 时,取得最小值4 -2 =5,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值43-21=10,5f(-2)10.一、填空题1.已知a,b,c满足cba且ac0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）. 0 0答案 2.（2009 姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a满足ab2aab,则实数b的取值范围为 .答案 （-，-1）3.(2009 苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab0，bc-ad0, - 0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个.答案 34.已知函数f(x)=log2(x+1),设abc0,则 , , 的大小关系为 .答案 5.若xy1,且0a1,则axay;logaxlogay;x-ay-a;logxalogya.其中不成立的有 个.答案 36.已知a+b0，则 + 与 + 的大小关系是 .答案 + + 7.给出下列四个命题：若ab0,则 ;若ab0,则a- b- ;若ab0,则 ;设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+ 2.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案 二、解答题8.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.解 =aa-bbb-a= ,当ab0时， 1,a-b0, 1；当0ab时， 1,a-b0, 1.综上所述，总有aabbabba.9.已知奇函数f(x)在区间(-,+)上是单调递减函数, , , R且 + 0, + 0, + 0.试说明f( )+f( )+f( )的值与0的关系.解 由 + 0,得 - .f(x)在R上是单调减函数,f( )f(- ).又f(x)为奇函数,f( )-f( ),f( )+f( )0,同理f( )+f( )0,f( )+f( )0,f( )+f( )+f( )0.10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解 设买软件x片、磁盘y盒,则x、y满足关系： .11.已知a0,a2-2ab+c2=0,bca2.试比较a,b,c的大小.解 bca20,b,c同号.又a2+c20,a0,b= 0,c0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)0,b-c0.当b-c0,即bc时,由 得 ca2?即(a-c)(2a2+ac+c2)0.a0,b0,c0,2a2+ac+c20,a-c0,即ac,则acb；当b-c=0,即b=c时,bca2,b2a2,即ba.又a2-2ab+c2=(a-b)2=0 a=b与ab矛盾,b-c0.综上可知:acb. 7.2 一元二次不等式及其解法 1.下列结论正确的是 .不等式x24的解集为x|x2不等式x2-90的解集为x|x3不等式(x-1)22的解集为x|1- x1+ 设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1x2,则不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1xx2答案 2.（2007 湖南理）不等式 0的解集是 .答案 （-1，23.（2008 天津理）已知函数f(x)= 则不等式x+(x+1) f(x+1)1的解集是 .答案 x|x -14.在R上定义运算 :x y=x(1-y).若不等式(x-a) (x+a)1对任意实数x成立,则a的取值范围是 .答案 - a 5.(2008 江苏，4)A=x|(x-1)23x-7，则AZ的元素的个数为 .答案 0例1 解不等式 (x2-9)-3x.解 原不等式可化为- x2+ x2- -3x,即2x2-3x-70.解方程2x2-3x-7=0,得x= .所以原不等式的解集为.例2 已知不等式ax2+bx+c0的解集为( , ),且0 ,求不等式cx2+bx+a0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为( ， )可得a0, ， 为方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可得 a0,由得c0,则cx2+bx+a0可化为x2+ + 0,得 = =- 0,由得 = = 0, 、 为方程x2+ x+ =0的两根.0 ,不等式cx2+bx+a0的解集为.方法二 由已知不等式解集为( , ),得a0,且 ， 是ax2+bx+c=0的两根， + =- , = ,cx2+bx+a0 x2+ x+10( )x2-( + )x+10 ( x-1)( x-1)0 0.0 , ,x 或x ,cx2+bx+a0的解集为 .例3 已知不等式 0 (aR).(1)解这个关于x的不等式;(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)0.当a=0时,由-(x+1)0,得x-1;当a0时,不等式化为 (x+1)0,解得x-1或x ;当a0时,不等式化为 (x+1)0;若 -1,即-1a0,则 x-1;若 =-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若 -1,即a-1,则-1x .综上所述,a-1时,解集为 ;a=-1时,原不等式无解;-1a0时,解集为 ;a=0时,解集为x|x-1;a0时,解集为 .(2)x=-a时不等式成立, 0,即-a+10,a1,即a的取值范围为a1.例4 （14分）已知f(x)=x2-2ax+2,当x-1，+）时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a, 2分当a(-,-1)时，结合图象知,f（x)在-1，+）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3, 4分要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina