八年级数学第二十二章一元二次方程.doc

第二十二章一元二次方程一、知识结构 二、学习一元二次方程这章内容作用 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在学习一元二次方程及有关的知识之前，我们已经掌握了实数与代数式的运算、一元一次方程、分式方程和一次方程组，掌握了这些内容，为学习一元二次方程奠定了基础，而且通过一元二次方程的学习，又对以前学过的数学知识加以巩固，同时一元二次方程也为今后学习指数方程、对数方程、函数等等打下基础，掌握了一元二次方程之后，对学习其它学科知识也有重要的意义 三、知识要点： 1关于一元二次方程： 元的个数是一个，方程是整式方程； 含有未知数的最高次项的次数是二次； 若方程有实数根，则解的个数一定是两个 2关于配方法解一元二次方程： 首先将二次项系数变为1； 方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解 3一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式： x=(b2-4ac0) 4一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式：=b24ac，其作用如下： (1)=b2-4ac0方程有两个不相等的实数根 (2)=b2-4ac=0方程有两个相等的实数根 (3)=b2-4ac0方程没有实数根 5列方程解应用题：（列举几种类型仅供参考） 有关数字问题； 有关增长率问题； 有关几何图形面积问题； 有关溶液、浓度、求容器体积问题； 有关行程问题、工作量问题 四、实践与探索：设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=-，x1 x2=，其作用如下： 能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数； 可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等； 利用x1+x2和x1x2的关系可以解特殊的二元二次方程组； 利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号； 利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程 ax2+bx+c=a(xx1)(xx2) 五、本章主要数学思想、方法 在数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思想称为转化的思想，有未知向已知的转化，复杂问题向简单问题的转化，实际问题向数学问题的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化，不同的数学问题之间的转化等等解决一些数学问题实质就是一个不断转化的过程这样一些数学思想与数学方法与解题技巧在本章教学中有较多的体现为了实现这些转化引入了许多数学方法如本章中的降次法、换元法、配方法等这里特别要指出的是，怎样转换？转换的结果如何？从而概括总结出一般规律，在学习这些重要方法时可以充分领略数学思想的风采，突出数学思想，提高数学素质，提高数学能力。 1换元法：换元的思想方法是一种科学的思想方法，对于培养我们从整体着眼、兼顾全局的思维方式、丰富联想、由此及彼的思考习惯等这些良好的思维品质的形成都是十分重要和有意义的 2配方法：配方法是中学数学中一种重要的数学方法。 六、例题及分析： 例1、判断下列方程哪些是一元二次方程： (1)3x2+4x-2=0；(2)x2-2x+3=6x-1；(3)7-x3=x+x2 ；(4)x2-2xy-4=0；（5）3x2=5-；(6)2-x2+y2=x+m(7)6x2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5) 注：解答这个例题时，要紧紧抓住一元二次方程的定义进行思考，（整理成一般形式后）一元二次方程定义包含了三个内容： 方程中只含有一个未知数； 这个未知数的最高次数为2； 方程是所含未知数的整式方程 以上三个条件同时具备的方程一定是一元二次方程，其余均不是一元二次方程，因为方程(3)未知数的次数是3；方程(4)、(6)中都含有两个或两个以上的未知数；方程(7)化简成标准式后，方程不含二次项，(5)不是整式方程 解：这一组八个题中只有方程(1)，(2)，(8)是一元二次方程 例2、关于x的方程(m+3)x2-mx+1=0是不是一元二次方程？ 解：当m+30，即m-3时，(m+3)x2-mx+1=0是关于x的一元二次方程 当m=-3时，原方程变为3x+1=0，是一元一次方程 注：“关于x的二次方程(m+3)x2-mx+1=0与关于x的方程(m+3)x2-mx+1=0”是不同的，应特别引起注意前者根据一元二次方程定义，可以肯定二次项系数m+30，即m-3，而后者必须分m+3=0与m+30二种情况加以讨论例3、(1)用开平方法解方程（3x-1）2=9 解：（3x-1）2=93x-1=3 x1=,x2=- (2)用配方法解方程3x21=6x 解：3x2-6x-1=03（x2-2x）=1 3（x2-2x1）-3=1 3（x2-2x+1）=4 3（x-1）2=4 (x-1)2= x1=1+, x2=1- （3)用公式法解方程2x2+5x3=0 解：2x2+5x-3=0 a2，b5，c-3 x= x1=,x2=-3 （4）用因式分解法解方程x27x12=0 解：x2+7x+12=0 （x3）（x4）=0， x1=-3，x2=-4 例4、解关于x的方程 x2mx2=mx23x（m1） 解：x2mx2mx-3x2=0 （1m）x2（m-3）x2=0 m1，1-m0，原方程为一元二次方程 b2-4ac（m-3）2-4（1-m）2（m1）20 x= x1=, x2=1 例5、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根 注：因为a、b、c是三角形的三边，a、b、c均为正值，x2项的系数b20，所以原方程为一元二次方程欲证方程无实根，只须证0，在证明的过程中还要注意应用三角形中三边间的关系为论证的依据 证明：a、b、c为三角形的三条边长 a0，b0，c0 b20 方程为一元二次方程 (b2c2a2)24b2c2 (b2c2a22bc)(b2c2a22bc) (bc)2a2(bc)2a2 (bca)(bca)(bca)(bca) a、b、c为三角形的三边 bca0，bca0，bca0而bca0 0 方程b2x2(b2c2a2)xc20没有实数根 例6、求证方程(m1)x23mxm10 (m1)，必有两个不相等的实数根 分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需证明不论m取任何实数，都有0即可 证明：m1 m10 此方程是关于x的一元二次方程 (3m)24(m1)(m1) 9m24m24 5m24 不论m取任何不为1的实数都有5m20 5m240 即5m240 方程必有两个不相等的实数根 例7、解关于x的方程3x（a2x-a3n+1）+an（ax-a3n）=0（a0且a1） 解：由原方程得：3a2x2+（an+1-3a3n+1）x-a4n=0利用十字相乘因式分解得 （3ax+an）（ax-a3n）=0（a0且a1） 所以原方程的解为x1= -x2=a3n-1 注：首先要把原方程化成标准形式再根据题目具体情况采用一元二次方程求根的四种基本方法：直接开平方法；因式分解法；配方法；公式法中的某一种方法求解，而用因式分解法求解是最常用的方法，比其他方法计算量小 例8、如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？ 解：当m=0时，原方程变为-4x+5=0有实根当m0时，依题意要求=-2（m+2）2-4m（m+5）=4（m2+4m+4-m2-5m）=4（4-m）0，即mx2-2（m+2）x+m+5=0无实根，故要求m4 当m=5时，方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0变为： -2（5+2）x+5=0 该方程有一个实数根 x= 当m4且m5时， =-2（m+2）2-4（m-5）m 4（m2+4m+4-m2+5m） =4（9m+4）0 此时该二次方程有两个不相等的实数根 注：关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0并不一定是一元二次方程，要分m=5和m5两种情况来讨论，不可混为一谈 例9、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是_ 解：设正确的方程为x2+pxq=0根据题意知： （-2）（-3）=q且6（-1）=-p 所以正确的方程应是x2-5x+6=0 注：解题思路要灵活，要理解题意的本质，甲抄错一次项，那么常数项没抄错，韦达定理仍然成立，对于乙来讲，也同样如此 例10、解方程x2-2|x|-1=0 解：原方程化为 |x|2-2|x|-1=0， 所以 =1+，或=1- 因为0， 所以=1-应舍去 由=1+，得x1=1+,x2=-1- 例11、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数 分析：数与数字之间的关系是： 两位数(十位数字10)+个位数字 解题的关键是正确地写出原来的两位数和对调后的两位数 解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x 根据题意，得10x+(5-x)10(5-x)+x736 整理后，得x2-5x+60 解这个方程，得x12，x23 当x2时，5-x3，两位数为23； 当x3时，5-x2，两位数为32 答：原来的两位数是23或32 例12、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？ 解：设长方形的宽为x厘米，则长为(2x+1)厘米 根据题意，得(2x+1)x-x272 整理后，得x2+x-720 解这个方程，得x18，x2-9 因为长方形的宽不能是负数，所以x-9不符合题意舍去 当x8时，2x+117 所以(2x+1)x178136，x264 答：长方形面积是136平方厘米，正方形面积是64平方厘米 例13、已知三个连续奇数的平方和为371，求这三个奇数 分析：对于数字计算问题，首先要知道奇数特点，就是每相邻两个奇数相差2，因此设中间一个奇数为x，则另外两上奇数就是x-2和x+2 解：设三个连续奇数中间的一个为x，则另外两个分别为x-2和x+2 根据题意，得(x-2)2+x2+(x+2)2371 化简整理方程，得x2-1210 x1=-11，x211 当x-11时，x-2-13，x+2-9 当x11时，x-29，x+213 三个连续奇数分别是-13，-11，-9，或9，11，13 例14、有一个直角三角形三边的长为三个连续整数，求三边的长 分析：解答此题，须明确连续整数的意义，即相邻两个整数的差是1，另外直角三角形三边的关系满足勾股定理 解：设较小的整数为x，则其余两个数分别是x+1和x+2 根据题意，得x2+(x+1)2(x+2)2 化简方程，得x2-2x-30 解这个方程，得x1-1(不合题意，舍去) x23 x3 x+14，x+25 三个连续整数为3，4，5 答：直角三角形边长分别是3，4，5 注：此题也可设最大整数为x，则其余两个整数分别为x-2和x-1；或者设中间的一个整数为x，则其余两个整数分别为x-1和x+1 七、练习及答案 一、选择题 1方程x2=x的解 A0 B1 C0或1 D0或-1 2关于x的一元二次方程（m1）x2x（m22m3）=0有一个根是零，则m的值为 A1 B-3 C1或-3 D-1或3 3如果一元二次方程x2mxn=0的两个根是0和-2，则mn等于 A2 B4 C-2 D-4 4如果方程2x2-x-3m=0与2x23xm0有一个根相同，则m一定等于 A0 B1 C2 D0或1 5若c是实数，且x2-3x+c=0的一个根的相反数是x23xc0的一个根，则x23xc=0的解是 A1，2 B-1，-2 C0，3 D0，-3 二、填空题 1方程x（x-4）4的根是_ 2方程（3x1）2=（2x3）2的根是_ 3关于t的方程t27mt18m2=0的根是_ 4关于y的方程y（yb1）=b的根是_ 5方程9（x+2）2=16的根是_ 6方程（m23）x2（m1）x1=0，当m_时是一元二次方程，其判别式=_，当m=_时是一元一次方程 7已知方程（2ab）x2（2bc）x2ca0有一个根是1，则ab+c=_ 8若二次方程k（x1）2x=2无实数根，则k的最大整数值是_ 三、解答题 1用配方法解方程2x27x4=0 2用适当的方法解下列方程 （1）4（x3）2=25（x2）2 ；（2）（x-2）（x-3）=1；（3）3x2-7x-6=03解方程：（2x+1）23（2x+1）20 4解关于x的方程（ab）x2（bc）x（ca）=0（ab） 5不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x25x-1=0；（2）9x26x1=0；（3）2x21=-x6已知两数和为7，积为-6，求两数 四、思考题：a为何值时，方程8x2（a1）x（a8）0 （1）两根异号（2）两根均为负根 （3）有一根为1（4）有一根为0 （5）两根互为相反数 （6）两根互为倒数 答案： 一、1.C （x2x=0 得 x=0 或 x=1） 2.B (首先方程为一元二次方程，所以m10,得 m1,又将0带入得到m2+2m3=0,得到m=-3 或 m=1（舍）)3.A 4.D （法一，首先方程有实根，所以两方程的判别式均应大于或等于零，解得m,可设此根为x0,则将