阅读材料标准差的用途.doc

第一章阅读材料 标准差的用途设计者：钟艳 设计时间：2019年6月一、教材分析“标准差的用途”是北师大版高中数学教材必修3中的第一章第5节后的阅读材料内容，教学需要一个课时，本节课是在学生学习完了数据的数字特征和用样本估计总体之后的一个内容，也是促进学生用标准差来刻画每一个数据偏离平均水平的程度的进一步理解和深化。该内容为标准差学习提供完整的知识系统，同时为学生学习后面的第六节统计活动：结婚年龄的变化、选修2-3中的第二章第六节正态分布、大学概率与统计中的马尔科夫不等式以及切比雪夫不等式起到作铺垫作用。本节课教材中使用了三个案例，这三个案例的作用分别为发现规律，解释规律和验证规律，笔者认为这样的顺序不符合学生的认知规律，宜将案例二放在案例三之前，将顺序调整为发现规律，验证规律和解释规律。在问题二中，因为直方图中已经没有了真实数据，只能用相应的方法算得大致的平均值和标准差，教材上给的只有直方图并没有给出原始数据，但给出的平均值和标准差又为原始数据算得的，这不符合学生的认知规律。故笔者对该题作了调整，将平均值和标准差调整成用直方图算得的平均值与标准差，顺应了学生的认知规律。本节课虽然突出了标准差反映每个数据偏离平均水平的程度的规律，但对标准差的这种作用没有完全体现，所以加入了的后面的知识拓展（6西格玛定律，标准分的计算，马尔科夫不等式和切比雪夫不等式等）。为了激发学生的兴趣，在上课时加入了6西格玛的引入，并用之呼应后面的拓展。为了前后呼应，在课程开始时又加入了标准差的复习，使知识体系完整。二、学情分析：学生在初中和前面的章节已经学习过统计相关的知识，并学习了标准差的概念及反应离散程度的知识，因此具备了学习该部分内容的基础。但是学生对标准差的认识比较局限，只停留在标准差为方差的算术平方根，标准差的作用只可以分析数据的离散程度上，对标准差的其他的作用不熟悉或者毫无所知。还有，在当今的大数据时代，学生的统计分析能力比较有限，经常拿到大篇幅的数据或者图表不知道从何入手分析，对于标准差在生活中生产中如何影响决策和质量不清楚。 三、教学目标：1巩固标准差的概念及反应离散程度的意义；2. 明确数据偏离平均值1个、2个、3个标准差距离的分布率大小；3.了解数据偏离平均值2个、3个、6个标准差距离的分布率大小在生活中的应用。教学重点：深刻理解标准差反映数据偏离平均水平程度的大小。教学难点：标准差反映数据偏离平均水平程度的大小的作用。四、难点突破策略分析笔者在本节课中，让学生在做中学，做中思，在计算中寻找发现规律，然后又验证规律，最后解释规律，并提供规律应用的实际案例，从而突破本节课的教学难点。五、教学方法：问题探究，合作讨论、启发诱导六、教具准备：多媒体，计算器七、教学过程：教学环节教 学 过 程师 生 活 动设 计 意 图创设情境在企业中，非常流行一种方法6西格玛管理法，摩托罗拉公司使用该法，在短短的十年中： 1）公司的销售额增长5倍，利润每年增加百分之二十；2）实施6西格玛管理法带来的节约额累计达140亿；3）摩托罗拉的股票价格平均每年上涨百分之二十一点三等等。其实这里的“西格玛”就是统计学中的“”，也就是正态分布中的标准差。 6西格玛管理法的数学原理是什么呢？这与我们今天要学习的主题有关，先回忆一下标准差的概念。教师提问，学生思考，回忆旧知，揭示主题，出示学习目标引入的目的在于以摩托罗拉的事件引出6管理法，激发学生学习的兴趣，提出“”为统计学中的标准差，揭示6管理法的数学原理与今天的主题有关。探究新知问题一：标准差的公式是什么，反映的意义是什么？生：S=1nx1-x2+x2-x2+x3-x2+(xn-x)2它反映着一组数据的离散程度的大小，标准差大数据更分散更不稳定，标准差越小数据越稳定越集中。师：它反映着一组数据的离散程度的大小，标准差越大数据更分散更不稳定，标准差越小数据越稳定越集中。师：除标准差外，还可以用什么量反应数据离散程度？生：极差和方差。师：极差和方差、标准差都反映离散程度，标准差反应离散程度的优越是什么？生1：因为极差从某种意义上讲它仅表示这批数据的离散范围，只有两个数据计算而得，波动性较大，而且有时两组数据的极差是一的，这时极差就不能用于分析两组的离散程度了。生2：方差是数据的平方，在某种程度上平方也会增加数据的离散程度，而标准差为方差的算术平方根，在一定程度上减少了这种夸大。方差的单位是数据单位的平方，标准差的单位和原始数据单位一致。师：标准差比极差反应数学离散程度更准确，与方差比反应离散程度的单位更和实际数据一致，这样在频数或者频率分布直方图中原始数据所在的横坐标与标准差就能产生联系，这个对于我们研究实际问题有很大的作用，具体怎样产生联系呢？下面我们继续探究。问题二：(1)同学们是否会计算图1-26的平均数和标准差？生： 师：同学们已经计算出了该组数据平均心跳次数是35.8，标准差是6.4.问题二：（2）请计算数据落在,(-2,+2),上的频率是多少？根据计算结果你有什么发现？生：平均数加上标准差是35.8+6.4=42.2，平均数减标准差是35.8-6.4=29.4，即在（29.4，42.2）上，频率是66.7%，包含了所有观测值的60%以上.平均数加上两倍的标准差是35.8+2*6.4=48.6，平均数减两倍的标准差是35.8-2*6.4=23.0，从平均数加上两倍的标准差到平均数减两倍的标准差，即在（23.0，48.6）上，频率是96.3%，几乎包含了所有的观测值，27个观测值只有一个落在了这个区间之外.平均数加减3倍标准差的区间是(16.6，55.0)，这个区间上的频率是100%，师：你能从计算结果里发现什么信息？学生小组讨论，但还是感觉有点难度。师：估计只有这一个案例，同学们归纳发现起来比较困难，那么我们就再来解决一下练习一，看看两个案例的共同点是什么？大家发现了什么？练习1：这是这学期理科的半期考试数学成绩统计表，其中平均数=71.6，标准差=22.34。请计算数据落在区间,(-2,+2),内的频率分别约为多少？生：平均数加上标准差是71.6+22.34=93.94，平均数减标准差是71.6-22.34=49.26，即在（49.26，93.94）上，频率约为65.3%；平均数加上两倍的标准差是71.6+2*22.34=116.28，平均数减两倍的标准差是71.6-2*22.34=26.92，从平均数加上两倍的标准差到平均数减两倍的标准差，即在（26.92,116.28）上，频率是96.9%，几乎包含了所有的观测值，196个观测值只有9个落在了这个区间之外；平均数加减3倍标准差的区间是(4.58，138.62)，这个区间上的频率是100%。师：现在，请同学们结合这两个案例，归纳总结。生：一个标准差区间内，数据频率过半，两个标准差区间内，数据频率达90%以上，三个标准差区间内，数据频率接近100%。师：所以标准差在反映数据的离散程度的同时还反映这数据偏离平均数的大小程度。即一个标准差区间内，数据频率过半，两个标准差区间内，数据频率达90%以上，三个标准差区间内，数据频率接近100%。而且从这里也能看出，因为标准差的单位与原始数据相同，所以便于原始数据与标准差所对应的区间进行比较运算。师：刚刚看到的是频数分布直方图，若纵坐标是频率，则是频率分布直方图，（1）当频率分布直方图的组距无限小，样本无限大，得到的频率分布直方图接近总体的分布，频率分布直方图就无限接近于一条光滑的曲线。（2）当这条曲线的函数解析式如果是这个分布是什么分布？生：正态分布。师： （3）在 这三个区间上的数据分布的概率是怎样的？生：我们估计应该和我们刚刚得到的结论是一致。师：经验表明，一个随机变量如果是众多的，互不相关的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。在正态分布中始终满足如下规律：P-x+=0.6826,P-2x+2=0.9544,P-3x+3=0.9974.即正态分布的数据分布也满足刚刚得到的结论。师：我们从上面图象可以看出，正态分布总体在(-2,+2)以外取值的概率只有4.6%，在(-3,+3)以外取值的概率只有0.3%。在前面的结论中我们看到落在内的数据占比90%以上，落在外的数据极少，是小概率事件，因此在生产生活中，有数据落在外我们有理由怀疑它是异常数据。而这个结论我们也常常用于现实生活中。请看问题三。问题三：（1）在前七场风帆比赛中，李科、威尔逊的平均积分和标准差谁大？排名如何？（2）在最终赛后的报道中，李科的排名在威尔逊的前面，你能用他们前七场中的得分数据落在内外的位置来解释吗？师：风帆比赛的比赛制度为：每位选手都要进行11场比赛，每场比赛会得到相应的分数，最后看全部场次的积分，积分越少排名越高。生：李科的前七场的平均积分和积分标准差都比威尔逊的大，排名也在威尔逊之后。解释：在表1-8和表1-9中，可以看出李科的平均分和标准差都比威尔逊都略大一些，无论从平均分还是标准差来看，前七场比赛李科的排名应该在后面， 但应用刚才的方式去计算，李科的数据平均数加上两倍的标准差是6.57+2*3.33=13.23，平均数减两倍的标准差是6.57-2*3.33=-0.09，不难发现李科的所有比赛积分都在-0.09到13.23之间。而威尔逊的数据平均数加上两倍的标准差是6.29+2*3.19=12.67，平均数减两倍的标准差是6.29-2*3.19=-0.09，威尔逊却有一个比赛积分14超过了12.67，没有在-0.09到12.67之间，这样说明威尔逊的成绩很不正常，即便是前7场平均分、标准差小，也不一定是真实的水平反应，这也是为什么在赛后的报道中，威尔逊的排名低于李科的原因。师：在刚才的题目中我们看到数据落在两个标准差区间以外不是很正常，这种原理我们常常运用到生产生活中，如为了生产出高标准的产品，常常利用“3”区间作为质量监控，请同学们做练习2：练习2：下面是工厂生产零件时的质量监控图，该图其实是将正态分布图旋转900后得到的。即在生产过程中，每隔一定时间任取一个零件进行检查，将其尺寸用圆点在图中表示出来，若圆点在控制界外，可认为有异常情况发生，应该停机检查。请解释这样做的理由是什么？生：刚刚我们得到的结论指出，在3个内的概率已经接近于百分之百了，若零件尺寸超出了控制上界或者下界，那我们有理由相信这个零件出现了异常的，机器或者工人等肯定出了问题，这时必须停机检查。师：很好，这就是质量监控的原理，了解了3质量监控，如果我们将要求提升得更高，将标准变为6，那会出现什么情况，请看问题四。问题四：在正态分布中，总体在(-2,+2)以外取值的概率只有4.6%，在(-3,+3)以外取值的概率只有0.3%，落在区间(-6,+6)以外的取值的概率有多少？ 对工厂的生产管理有什么启示？约为0.0000002%。生：由于落在区间以外的取值的概率是0.0000002%，这个质量水平意味着产品99.9999998%是无缺陷的，运用延伸到生产过程和结果中，这几乎趋近到人类能够达到的最为完美的境界。这是6目标的统计图示：6管理法的数学原理，以6作为质量标准，让目标控制出现在 内，即在一百万个机会里，只找得出3.4个瑕疪，是一种追求完美，追求零缺陷率的管理理念和方法。摩托罗拉就是用的这种管理法摆脱了困境，当然为了让有兴趣的同学们更好的了解这种管理法，我们在阅读材料中做了具体的讲解，请同学们下来阅读。摩托罗拉当初使用该法必然会成功！同学们领悟了6西格玛质量的精髓，也必然会成功！师：根据数据落在这三个区间的频率可以作为生产生活的质量监控，那如果告诉你一个具体的数据，我们怎样知道它在上述的哪个区间内呢？请同学们思考问题五。问题五：在一个标准差区间内，数据频率过半，两个标准差区间内，数据频率达90%以上，三个标准差区间内，数据频率接近100%，给你一个原始数据x，怎么判断这个数据位于哪个区间？判断结果有什么作用？生：若有图，利用分布图中的横坐标进行比较判断。生：直接计算区间，看数据与区间的关系。生：利用公式计算。如：Z=1，距离平均数1个，Z=2，距离平均数2个，估计原始分在几个标准差区间内，就可以大致估计占比为多少，从而可以进行排序比较，若利用公式计算，若x服从正态分布则Z服从标准正态分布，因此还可以查表得到占比为多少，因此用公式更方便来衡量不同类别的数据大小。师：这个公式怎样运用呢？下面我们通过练习让大家进一步了解这个公式的作用，请看练习3。练习3：这是半期考试英语成绩和数学成绩的分布表，在这次数学中小成的数学考了106分，在上述哪个区间？大致占比百分之多少？小成英语考了110分，是不是可以认为小成的英语比数学好？x数-=106-71.622.341.54数学成绩超过了92.86%的人，属于前7%-8%x英-=110-93.8719.220.84英语成绩超过74.49%的人，属于前25%-26%这说明小成数学的成绩比英语成绩好，也反映了他与全班水平的差别大小。在同学们的考试成绩中，同一科目的不同次的考试或者是同一次考试的不同科目直接用原始分数大小是难以比较优劣的，但我们可以用“标准分数”来考查成绩的优劣，也可以估计原始分在几个标准差区间内，大致占比为多少，从而可以进行排序比较，这就是标准分的作用。现在很多地区已经实施了新高考的方案，重庆今年也进入了新高考的行列，对于新高考，不同的科目怎样衡量分数大小呢？现在我们知道可以利用标准分比较大小了，若你知道了自己的考分，也可以根据标准分估计自己的赋分了。现在我们看看其他省市的赋分标准。浙江选考科目等级赋分根据原始分算出标准分Z，可以估计你的占比，得到赋分约为多少。前些年一些地方的的高考分是这样算的：所以标准差的用途真的是很广的。当然标准差还有很多其他的用处，以后同学上大学后，还有可能会学习到马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，而它们也与标准差有关。感兴趣的同学可以在阅读材料中去了解，老师给大家分享了相关网址，请同学们自己去查阅。教师提问，学生回忆旧知，教师协助学生解决问题。回忆标准差的大小与数据的离散程度有什么关系。学生比较原来学习的极差、方差、标准差，得到标准差的优越性。教师指引学生回答并总结。学生独立思考后小组交流展示。学生回忆、观察、发现，结合图形来分析问题。学生独立思考，合作，探究，交流，讨论，展示分享。学生通过一个案例得不到相关结论，进而继续计算练习1，讨论得到相关结论。学生独立思考，计算，合作，探究，交流，讨论，展示分享。学生独立思考，交流，展示。教师引导发现，解决学生问题。学生在教师的指导下回答问题并思考。学生思考，交流，展示。并利用前面的结论进行迁移猜想。教师启发诱导学生发现新的结论。教师首先介绍风帆比赛的赛制和规则，让学生了解风帆比赛，进而才能明白题意。学生思考，交流，展示。教师巡查并解决学生问题。学生展示后，教师引导学生得到相应结论。学生思考，自己做。教师核对答案。学生合作讨论探究。教师引导发现。并介绍6西格玛管理法的数学原理。学生聆听并思考，理解。学生思考，交流，展示。教师总结帮助学生理解。学生思考，计算并比较相关数据大小，得到答案，然后展示。教师巡查解决学生问题，引导学生回答得到问题的答案。教师给出标准分概念，并介绍其他省市的新高考分情况，提高学生的兴趣。教师介绍马尔科夫和切比雪夫不等式。问题一的设计是为了让同学们回顾标准差的公式，以及标准差反映数据离散程度的作用。比较极差、方差、标准差，得到标准差的优越性，得到标准差与原始数据单位一致，从而为标准差与频率（频数）分布直方图的横坐标联系作铺垫。问题二（1）的目的是让学生回忆直方图中计算平均数和标准差的方法；问题二（2）让学生计算一个、两个、三个标准差区间内的频率，让学生直观感知并得到相应结论。练习1的目的在于：（1）用学生的真实考试成绩来作为题支，引起学生的兴趣；（2）是为了将练习1的运算结果结合问题二的运算结果一起归纳发现得到一个、两个、三个标准差内的频率，并由此总结出标准差还可以刻画数据偏离平均水平的具体数量程度。正态分布的引入目的在于：（1）回顾正态分布的定义和由来，体会正态分布与频率分布直方图的关系；（2）把三个标准差区间的结论迁移到正态分布中；（3）为引入质量监控和揭示6西格玛管理法的数学原理做铺垫。问题三的目的在于：用数据落在2区间内外的位置进行质量监控，得到标准差在质量监控中的用途。为后面的3西格玛质量监控和6西格玛质量监控做铺垫。练习2的目的在于：体现用所得结论的应用，同时引入3西格玛质量监控的方法，为6西格玛质量监控做铺垫。问题四的目的在于：继续体现标准差的作用，解释6西格玛质量监控回扣引入。揭示6西格玛原理中的数学原理，激发学生认识数学的作用与价值，体会精益求精的精神。问题五的目的在于：从关注总体概率过渡到单个数据的位置，让学生认识到标准差的作用就在身边。同时体现标准分的由来，以及标准分的作用。练习3的目的是用学生的真实成绩，去学会计算学生的标准分，并用标准分来衡量不同类别的数据大小，体现标准差的作用与我们紧密相连。新高考是现在热门的话题，学生也对新高考选考不同科目如何赋分感兴趣，所以标准分的介绍能引起学生的深度关注，从而深刻的体会标准差的作用。给出标准差在高等数学中的应用，为学生提供知识的延伸方向及更多的学习资源。课堂小结现在请大家对本堂课的内容进行小结：课堂小结1、这节课你学习了哪些内容？（包括知识、思想、方法）2、你还有什么困惑？学生回答，教师指导学生回顾本节课知识网络。让学生对整堂课有一个全面系统的认识，建构标准差用途的知识网络，培养学生总结反思的能力。课外延伸阅读一、6西格玛法则“”是统计学中的概念，指的是正态分布中的标准差，6西格玛即为六倍标准差，在质量上表示每百万的产品中的不合格品或每百万次出现缺陷的机会中只出现不到3.4次，但是6西格玛管理不仅仅指产品质量，而是一整套系统的企业管理理论和实践方法。6西格玛管理的核心理念实际上不仅是一个质量上的标准，它更代表一种全新的管理理念，即要企业不断地追求近乎完美的产品与服务质量。6西格玛质量是指我们的生产要达到6倍西格玛的要求，即产品不良率或者缺点率几乎接近于0，即企业在生产过程或管理中追求近乎完美的产品与服务质量。一个公司的产品质量是这家公司整个营运的结果，影响的因素很多，错综复杂。摩托罗拉公司用6西格玛质量标出其目标，使复杂的问题变得容易了解。在摩托罗拉，6西格玛质量水准的意义如下：3.4PPM（产品不良率或缺点数为百分之三点四）；提供一个与竞争者比较的基准；可以了解距离无缺点有多远。6西格玛质量从单纯的字面意义上看，是指质量水平达到3.4PPM，但是集中这一目标是不太可能达到的，这一概念所反映的更重要的实际意义在于提供一个目标，让经营者从一个更大的范围内看待质量问题，从而改进以往过时的工作的方式和流程。二、马尔科夫不等式与切比雪夫不等式标准差的作用在生活、生产和高数中还有更多的作用，在同学们的大学学习中有可能会学习到马尔科夫不等式与切比雪夫不等式，它们也在某种意义上刻画了标准差在反应数据离散程度的同时还刻画每个数据偏离平均水平的程度，马尔可夫不等式把概率关联到数学期望，给出了随机变量的累积分布函数一个宽泛但仍有用的界。马尔可夫不等式可用来证明一个非负的随机变量其平均值和中位数满足的关系。切比雪夫不等式就是刻画事物偏离它本质的偏离程度的大小的概率。在随机变量分布未知的情况下，我们只知道均值和方差，切比雪夫不等式给出了x落入均值为中心的邻域概率的概率范围。以上两个不等式都说明事物偏离它本质的偏离程度的大小，本质上和标准差的偏离是一致的。如果同学们有兴趣可以查阅相关的网站。作业布置1.城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求。为此，某城市公交公司在某站台随机调查了80名乘客，他们的候车时间如下所示（单位：min）（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图；（2）这八十名乘客候车时间的平均数是多少？标准差是多少？（3）在这三个区间上的数据分布的概率是怎样的？是否满足今天所学的结论，你能给公交公司提什么样的建议呢？2.右边是本校新高一进入新高考的学生，一位同学选取了化学和地理两科，而且在本次考试中，他的化学成绩为73分，地理成绩为65分，请你用今天学习的标准分公式计算这位同学化学和地理的标准分，大致占比是多少？并比较这两科的成绩。 3.请同学们在网页上去查阅标准差在各个方面中的应用和推广。参考网址：/huiqiangkkx/article/details/86568010https:/blog.csd