固定收益证券计算清华大学PPT课件.ppt

第3章固定收益证券计算 清华大学经管学院朱世武Zhushw Resdat样本数据 SAS论坛 3 1收益计算3 2其它计算3 3绩效衡量3 4二叉树定价模型3 5习题 收益计算 内生收益率 固定收益证券收益率是一种利率 它能使现金流的现值等于初始投资的价格 内生收益率 InternalRateofReturn 计算公式如下 其中 P为价格 为第i期现金流 y为内生收益率 n为期数 已知P 可以用试错法求内生收益率 试错法计算内生收益率步骤 1 给出一个收益率 2 用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值 3 加总步骤2得出的现金流现值 4 将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较 当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时 选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤 反之 选择一个更小的收益率进行重复 例3 1假定一种金融工具有如表3 1的年金支付 金融工具的价格为7704美元 试求它的内生收益率 表3 1年金支付情况 macroa r data p 2000 1 本例计算程序 计算结果 r 10p 8081 4152039r 14p 7349 0709218r 12p 7701 624974将计算结果与7704相比较 得出12 为该金融工具的内生收益率 注 上例也可以直接用SAS函数yield irr 1 7704 2000 2000 2500 4000 函数irr的用法 IRR freq c0 cl cn freq表示每年产生现金流次数 c0 cn为现金流 或用Excel函数IRR A1 A5 这里A1 A5记录现金流 计算结果一致 到期收益率 到期收益率 YieldtoMaturity 是与债券联系在一起的术语 指投资者持有债券至到期日时所获得的内生收益率 即到期收益率也是一种内生收益率 到期收益率的计算公式如下 其中 P为价格 C为半年期的票息 y为到期收益率的一半 n为期数 Par为面值 到期价值 已知P 可以用试错法求到期收益率 因此 试错法计算到期收益率步骤 1 给出一个收益率 2 用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值 3 加总步骤2得出的现金流现值 4 将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较 当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时 选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤 反之 选择一个更小的收益率进行重复 试错法计算到期收益率通用程序 dataa delete Run macroa r n d par dataa1 p1 0 doi 1 to p2 例3 2假定发行者每6个月支付1000000美元给证券持有者并连续支付30次 到期后的支付额为20000000美元 发行时 发行者筹得资金为19696024美元 计算得知 资金总成本率为5 10 半年期 利用通用程序 a r n d par 取值如下 a 0 05 30 1000000 20000000 a 0 0505 30 1000000 20000000 a 0 051 30 1000000 20000000 计算结果 Obsp1p2prr1n115372451 034627548 9720000000 0010 05 0030215285221 194561926 6019847147 7910 15 053015198759 444497265 3719696024 8110 25 1030将计算结果与该金融工具的价格19696024美元比较 5 10 为其到期收益率 半年期 注 上例也可以直接用SAS函数yield yieldp 20000000 2000000 20000000 2 30 0 5 19696024 函数yieldp用法 YIELDP A c n K k0 p 其中A表示面值 c为小数形式表示的名义年票息率 n为年付息次数 K为从现在起至到期日生于付息次数 k0为现在到下一个付息日的时间 p为价格 或用Excel函数yield RATE 30 1000000 19696024 20000000 0 RATE用法 RATE Nper Pmt Pv Fv Type 其中Nper表示付息次数 Pmt表示票息金额 Pv表示价格 初期现金流出 故为负值 Fv表示期末现金流 Type表示付款时间在期初还是期末 0或忽略表期末 计算结果一致 有效年利率计算 银行存款中有名义年利率和有效年利率 这两种利率中较高的一个是有效年利率 有效年利率与周期性利率之间的换算关系 其中 m为每年支付的频率 例3 5半年期周期性利率为4 时有效年收益率为1 042 1 8 16 如果利息按季支付 那么周期性利率为2 时有效年利率为8 24 计算程序 macroa r m data i 1 计算结果 r 2 i 0 08243216 注 上例也可以直接用SAS函数r compound 1 1 02 0 25 函数compound的用法 COMPOUND a f r n 其中a表示期初值 f表示期末值 r为有效年利率 n为年付息次数 也可以用excel函数r EFFECT 0 08 4 EFFECT nominal rate npery 三种收益率之间的关系 债券当前收益率定义如下 表3 2三种收益率之间的关系 例3 6计算一种票息率为6 价格为700 89美元的18年期债券的当前收益率和到期收益率 假定这种债券5年内第一次被赎回的价格为1030美元 该债券的票息为每6个月支付30美元 连续支付10次 求该债券第一个赎回日的收益率 利用通用程序 a r n d par 取值如下 a 0 056 10 30 1030 a 0 0585 10 30 1030 a 0 061 10 30 1030 a 0 0635 10 30 1030 a 0 066 10 30 1030 a 0 0685 10 30 1030 a 0 071 10 30 1030 a 0 0735 10 30 1030 a 0 076 10 30 1030 第一个赎回日收益率计算 计算结果 Obsp1p2prr1n1225 048597 308822 35611 25 60102222 380583 349805 72911 75 85103219 760569 749789 50912 26 10104217 187556 496773 68312 76 35105214 659543 582758 24113 26 60106212 176530 997743 17313 76 85107209 737518 731728 46814 27 10108207 340506 777714 11714 77 3510204 985495 125700 11015 27 6010比较得出 债券第一个赎回日的收益率为15 2 清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算 清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算公式 其中 P为全价 C为半年的票息支付 y为到期收益率的一半 w n为票息支付的次数 Par为到期价值 例3 7假设有一种票息率为10 的公司债券在2003年3月1日到期 该债券的全价为118 788美元 清算日在1997年7月17日 计算该债券的到期收益率 表3 3为该债券的日期与对应现金流 计算程序的第一段有相关数据的输出 表3 3日期与对应的现金流 计算程序 data date0 01mar1997 d date1 17jul1997 d date2 01sep1997 d days02 datdif date0 date2 30 360 美国公司债适合30 360标准 days12 datdif date1 date2 30 360 n 2 2003 1997 w days12 days02 putdays02 days12 n w callsymput n n 创建一个值来自data步的宏变量n callsymput w w 创建一个值来自data步的宏变量w dataa delete macroa r dataa1 p1 0 doi 1to dataa drop i setaa1 w 计算结果 Obsp1p2prr1wn149 258466 9691116 2277 263 6300 2444411248 994066 2108115 2057 473 7350 2444411于是 当该公司债券半年期利率为3 63 时 能使其现金流的现值等于其全价118 78美元 所以这种债券的到期收益率为7 26 即23 63 注 上例也可以直接用SAS函数YIELD YIELDP 100 0 1 2 12 0 12222 118 788 或EXCEL函数YIELD DATE 1997 7 17 DATE 2003 3 1 0 1 115 010 100 2 函数yield用法 YIELD settlement maturity rate pr redemption frequency basis 其中Settlement为成交日 Maturity为到期日 Rate为年票息率 Pr价格 Redemption为净价 Frequency为年付息次数 Basis为日计数基准类型 0或省略为30 360 1为实际天数 实际天数 2为实际天数 360 3为实际天数 365 4为欧洲30 360 投资组合到期收益率计算 投资组合到期收益率的计算步骤 1 确定投资组合中所有证券的现金流 2 找出一个利率 3 用第二步利率得到的现金流现值和与投资组合的市场价值进行比较 4 根据第三步的比较结果决定是否重复上述计算 例3 9现有三种债券 假定每种债券的票息支付日相同 投资组合的市场价值为57259000美元 投资组合中每种债券的现金流及整个投资组合的现金流由表3 5列出 表3 5三种债券投资组合的现金流 macroa y dataa ap1 0 don 1to9 ap1 ap1 350000 1 datab bp1 0 don 1to13 bp1 bp1 1050000 1 datac cp1 0 don 1to5 cp1 cp1 900000 1 a 0 0476966 dataabc mergeabc p ap bp cp putp run 输出结果 p 57259006 946比较得知 该投资组合的到期收益率为9 53932 即24 76966 注 本例程序与本章开始的计算到期收益率通用程序的功能相同 但算法设计不同 其它计算 浮动利率证券的贴现差额计算公式 浮动利率 参考利率 指数利差 贴现差额计算步骤 1 在假定参考利率在证券到期前保持不变的条件下 计算现金流 2 选出一个差额 3 将现金流贴现 4 将步骤3计算出来的现金流现值与证券的价格作比较 如果现金流的现值等于证券的价格 则贴现差额等于步骤2中假定的差额 例3 10假定有一6年期的浮动利率证券 该证券的价格为99 3098美元 按参考利率加上80个基本点 指数利差 向外支付 参考利率的当前值是10 这种证券的票息率每6个月调整一次 票息率为5 4 到期价值为100美元 表3 6不同贴现差额的计算结果 dataa delete macroa y z x dataa1 don 1to12 ifn 12thenp dataa mergeaa1 menda a 0 05 0 004 80 a 0 05 0 0042 84 a 0 05 0 0044 88 a 0 05 0 0048 96 a 0 05 0 005 100 procprintdata anoobs run 计算程序 由计算结果得出 贴现差额应为96个基本点 债券价格与必要收益率 例3 11表3 7给出了票面价值为1000美元 必要收益率从5 14 的20年期 票息率为9 的债券价格 表3 7必要收益率与债券价格关系 dataa delete macroa y dataa1 p1 45 1 1 1 a 0 03 a 0 035 a 0 04 a 0 045 a 0 05 a 0 055 a 0 06 a 0 065 a 0 07 procprintdata a run 结果 Obsp1p2py11129 62372 4311502 06521040 16306 5571346 7263960 98252 5721213 5574890 67208 2891098 9685828 07171 9291000 0096772 16142 046914 20107722 08117 463839 54118677 0897 222774 31129636 5580 541717 091310599 9366 780666 7114 不含期权债券价格与收益率关系图 procgplotdata a plotp y 1 symbol1v nonei joinr 1c black title2 不含期权债券价格与收益率关系图 labelp 价格 y 必要收益率 run 债券价格时间轨迹 例3 12列出面值为1000美元 期限为20年 票息率为9 必要收益率为12 的债券逼近到期日时的债券价格情况 title2 dataa don 40to0by 2 p1 45 1 1 1 0 06 n 0 06 p2 1000 1 1 0 06 n p p1 p2 year n 2 output end procprintdata anoobs varyearp1p2p run 生成图表程序 打印列表结果 YearP1P2P20677 08397 22774 3119668 071109 24777 31 182 503890 00972 5000 0001000 001000 00 假定必要收益率不变的情况下 贴水债券时间轨迹图程序 dataa seta p0 1000 procgplotdata a plotp year 1p0 year 2 overlay symbol1v nonei joinr 1c black symbol2v nonei joinr 1c black title2 假定必要收益率不变的情况下 贴水债券时间轨迹 labelp 价格 year 剩余到期年数 run 例3 14假设有一种票息率为10 的公司债券 2003年3月到期 到期价值为100美元 清算日在1997年7月17日 若必要收益率为6 5 求债券价格 适用30 360 dataa delete macroa y dataa1 date1 17jul1997 d date2 01sep1997 d days1 datdif date1 date2 30 360 w days1 180 callsymput x w 创建一个值来自data步的宏变量x p1 0 don 1to12 p1 p1 5 1 dataa1 seta1end lasobs iflasobs p2 105 1 计算结果 p 123 51 注 可以用SAS函数直接计算 pv pvp 100 0 1 2 12 0 1222 0 065 函数PVP用法 PVP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为必要收益率 也可以用EXCEL函数PRICE DATE 1997 7 17 DATE 2003 3 1 0 1 0 065 100 2 PRICE settlement maturity rate yld redemption frequency basis 注意 这里计算的是净价 需要进行调整得到全价 首次发行贴水债券的债务处理 若首次发行的债券是贴水债券 则随着时间接近到期日 债券价格就接近票面价格 即价格有一个上升的趋势 在税收申报时 为了准确计算资本利得 有必要区分价格的上升是由于接近到期日还是由于市场行为引起的 因此 必须对发行价格进行调整 以便计算资本利得 原则上采用持续收益法 首次发行贴水债券的债务处理过程 1 计算年利息 即申报的毛收入 为调整后的发行价格与发行时到期收益率的乘积 2 计算票面利息 3 计算当年摊还的发行贴水额 为年利息 毛收入 与票面利息之差 4 计算调整后的发行价格 为当年摊还的首次发行贴水额与原发行价格之和 例3 15票息率为4 半年付一次息 的5年期债券 以7683美元的价格发行 赎回价值为10000美元 假设该债券的到期收益率为10 求调整后的发行价格 dataa p 7683 don 1to10 year n 2 t p 0 05 c 10000 0 02 b t c p b p putyear p t c b output end labelyear 持有年限 t 申报的毛收入 c 票面利息 b 调整的发行贴水 p 调整后的发行价格 run datab seta optionsnocenter procprintdata blabelnoobs varyeartcbp title 以持续收益法调整发行价格 title options run 输出结果 持有年限年利息 毛收入 票面利息当期摊还的发行贴水调整后的发行价格0 5384 150200184 1507867 151 0393 358200193 3588060 511 5403 025200203 0258263 532 0413 177200213 1778476 712 5423 835200223 8358700 543 0435 027200235 0278935 573 5446 779200246 7799182 354 0459 118200259 1189441 474 5472 073200272 0739713 545 0485 677200285 6779999 22 债券久期计算 久期是反映债券价格波动的一个指标 它对到期时间进行加权平均 权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例 久期实际表示的是投资者收回初始投资的实际时间 久期与修正久期计算 麦考雷 Macaulay 久期的计算公式 麦考雷久期 以期间计 麦考雷久期 年 麦考雷久期 以期间计 k其中 PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值 n为债券持有期内现金流的期间总数 TPV为债券各期现金流的总现值 k为每年支付现金流的次数 2020 3 18 53 修正久期 其中 PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现而得债券在第t期的现金流现值 n为债券持有期内现金流的期间总数 TPV为债券各期现金流的总现值 Y为到期收益率的一半 债券组合的久期计算公式 债券组合的久期 其中 债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重 债券i的修正久期 债券组合中债券的个数 例3 16面值为100美元 票息率为10 的5年期债券 收益率为10 计算久期 以年计 及修正久期 dataa c2 0 tc2 0 don 1to10 t n ifn 10thenc 5 elseifn 10thenc 105 a 1 1 0 05 n c1 c 1 0 05 n tc1 t c1 c2 c2 c 1 0 05 n tc2 tc2 t c 1 0 05 n ifn 10thend tc2 c2 2 md d 1 0 05 output end datab seta dropc2tc2n labelt 时间 c 现金流 a 1美元的现值 c1 现金流的现值 tc1 t pvcf d 久期 以年计 md 修正久期 procprintdata blabelnoobs title 久期及修正久期 vardmd run 输出结果 久期 以年计 修正久期4 053913 86087 注 修正久期可直接用SAS函数计算 Modifdur DURP 100 0 1 2 10 0 5 0 1 函数DURP用法 DURP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为收益率 或用EXCEL函数 久期 DURATION DATE 1995 1 1 DATE 2000 1 1 0 1 0 1 2 函数duration的用法 DURATION settlement maturity coupon yld frequency basis 修正久期 MDURATION DATE 1995 1 1 DATE 2000 1 1 0 1 0 1 2 mduration用法同duration 例3 19面值为100美元 票息率为10 到期收益率为10 的5年期债券 以平价出售 计算久期 macrod i y p dataa x 100 输出结果 d 8 1078216756 修正久期的近似计算 近似久期 其中 V 为收益率下降证券的估计价格 V 为收益率上升证券的估计价格 V0为证券初始价格 为证券收益率的变化 例3 20票息率为7 到期收益率为10 的20年期债券 以74 26美元的价格出售 收益率上升或下降20个基本点的价格变化如下所示 试计算近似修正久期 V 75 64468623V 72 917291682V0 74 261370469 0 002 半年变化10个基本点 收益率上升或下降20个基本点的债券初始价格计算程序 dataa delete macroa n y cupon par dataa1 p1 0 doi 1 to dataa setaa1 putp menda a 40 0 05 0 035 100 a 40 0 052 0 035 100 a 40 0 048 0 035 100 run p 74 261370469p 71 611134614p 77 068604183 近似久期计算程序 macromd Vu Vd V y dataa md 输出结果 MD 9 15701589结果接近精确值md 9 1802370384 精确值计算程序 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 输出结果为 md 9 1802370384 债券凸度计算 凸度 分期限计算 凸度 按年计算 凸度 分期限计算 零票息债券的凸度 其中 PVCFt为以第t期对应的收益率贴现得到的第t期现金流现值 n为总的时期数 Y为到期收益率的一半 PVTCF为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值 为每年付息的次数 例3 21假设面值为100美元 5年期的票息率为8 的债券 每半年付息 假设该债券的初始收益率为10 计算该债券的凸度 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 计算结果 凸度 以半年记 concave 78 29424228凸度 以年计 yearlyconcave 19 57356057 注 也可以用SAS函数直接计算 convx convxp 100 0 08 2 10 0 5 0 1 函数convxp的用法 CONVXP A c n K k0 y 其中A表示面值 c表示名义年票息率 n为年付息次数 K为生于付息次数 k0为现在到下一次付息日的间隔 y为收益率 例3 22假设面值为100美元 5年期的零息票债券 年收益率为10 计算凸度 macroconcave n y dataa concave 计算结果 凸度concave 99 77324263 计算凸度引起的价格变化 凸度引起价格变化百分比的估计值 例3 24面值为100美元 期限为15年的票息率为8 的债券 每半年付息 其初始收益率为10 若收益率由10 增长到13 计算凸度引起的价格变化 首先计算年凸度 只需要将上面凸度计算程序中的宏参数值改为 d 0 05 4 30 100 即可求得年凸度为94 3571 macrovp x y dataa caused 0 5 计算结果 凸度引起的价格变化为caused 4 2460695 美元凸度 美元凸度 凸度 初始价格 为确定美元引起的价格变化幅度 可以利用以下公式 凸度解释的价格变化幅度 例3 25期限为15年的票息率为8 的债券 收益率为10 计算每100美元面值债券的美元凸度 首先计算凸度和初始价格 凸度 94 36初始价格 84 627548973凸度前面已经计算过 初始价格的计算程序为 dataa delete macroa n y cupon par dataa1 p1 0 doi 1 to iflasobs p2 计算的初始价格为p 84 627548973 计算美元凸度程序 macroanlaye x y p dataa concave 计算结果 美元凸度concave 7985 4555211100基点的价格变化vp 0 3992727761200基点的价格变化vp 1 5970911042 近似凸度 近似凸度 其中 V 为收益率下降证券的估计价格 V 为收益率上升证券的估计价格 V0为证券初始价格 为证券收益率的变化 例3 26面值为100美元 期限为20年 票息率为7 的债券 到期收益率为10 假设发生20个基点的变化 计算凸度 已知条件 V 75 64V 72 92V0 74 26 0 002 macroconcave Vu Vd V y dataa yearlyconcoave 计算结果 concoave 134 66199838精确计算凸度 以年计 yearlyconcave 132 077 精确计算凸度的程序 macrod y cupon period p0 dataa c2 0 tc2 0 don 1to ifn 结果 精确计算凸度 以年计 yearlyconcave 132 077 抵押支持债券贷款利率计算 例3 27一宗4年期抵押贷款 设未来5年每年的贷款利率分别为8 10 12 13 11 计算抵押贷款利率 dataa I 1 0 08 1 0 1 1 0 12 1 0 13 1 0 11 0 2 1 PutI run 抵押贷款利率I 0 1078658 绩效衡量 债券组合的到期收益率 其中 Rp为组合到期收益率 V1为期末组合市价 V0为期初组合市价 D为评估期内组合对客户的现金分配 例3 28一个债券投资组合期初与期末市场价格分别为1亿美元和1 12亿美元 在评估期内分给投资人500万美元的利息收入 收益率计算 macror v1 v0 d data r 计算结果 r 0 17 例3 29第1至4月的组合子期收益率分别为12 25 15 和 2 则月平均收益率为5 算术平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 05 几何平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 039185933 美元权重收益率 美元权重收益率就是内生收益率 例3 30一个7月初市价为100000美元的组合 7 9月每月抽回资金5000美元 没有客户的追加现金投入 9月底组合市价为110000美元 计算程序 data don 0 07to0 10by0 001 p 5000 1 n 5000 1 n 2 115000 1 n 3 r n ifabs p 100000 100thenputp r end run 计算结果 p 99941 704989r 0 081 算术平均收益率 算术平均收益率计算简单 不同时间段的权重都相同 算术平均收益率指标有时不太合理 会产生误解 参考下面例子 例3 31一年中 前四个月的收益情况分别是一月 50 二月50 三月 50 四月50 如果只关注这四个月的投资收益情况 算术平均收益率 50 50 50 50 4 0 换句话说 平均收益率是0 但是看一下数据会知道 在这四个月中该投资者是亏损的 所以 算术收益率带来的是错误的结论 如果在十二月底投资 1 000 000 根据前四个月收益数据 四月底的资本剩余为 562 500 计算公式如下 算术平均收益率存在的问题可以由几何平均收益率解决 几何平均收益率 实际中几何收益率常常有两种形式 价值加权 value weighted 几何平均 时间加权 time weighted 几何平均 价值加权收益率 或者称作美元加权收益率dollar weightedrateofreturn 是在一系列现金流中找到一个公共的收益率 一般情况下 可以用下面的公式计算收益率r 这里是在t时刻来自证券组合的净现金流量 收益现金流减去支出现金流 t 1 T 是组合一开始的市场价值 是结束时刻的市场价值 例3 32分别计算下面两个投资的价值加权和时间加权收益率 1 起始投资额为50 即投资组合起始时的市场价值为50 一年后 投资组合的价值为100 首先计算年度价值加权收益率 以表示 解为 100 现在计算年度时间加权收益率 以表示 则 2 起始投资额为50 六个月后 净现金流为 25 现金流出 一年后投资组合的价值为100 首先计算年度价值加权收益率 以表示 解为 40 69 现在计算年度时间加权收益率 以表示 则 其中和分别是前六个月和后六个月的时间加权收益率 于是 得到年度时间加权收益率为 例3 33第1至4月的组合子期收益率分别为12 25 15 和 2 则月平均收益率为5 算术平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 05 时间加权几何平均时序收益率程序 macror r1 r2 r3 r4 n dataa r 计算结果 r 0 039185933 二叉树定价模型 第1年利率二叉树状结构如下 其中 为1年期远期利率的波动率 本节假设为10 r1 L为第1年年末较低的1年期远期利率 r1 H为第1年年末较高的1年期远期利率 e为自然对数的底数 2 71828 不含期权债券的二叉树定价模型 例3 34有一票息率为5 25 的还有3年到期的不含权的债券 到期价格为100美元 利率结构为 r0 3 5 r1 4 074 r2 4 53 计算债券的初始价格 计算程序 mac