2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线.doc

大家网高考论坛 1 2009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题 1 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 C A 3 B 2 C 5 D 6 解 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 2 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段 AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 3 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 2 B 3 C 5 D 10 答案 C 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 4 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭 大家网高考论坛 2 圆上 且BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 w w w k s 5 u c o m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 5 D 命题意图 对于对解析几何中与平面向量结合的考查 既体现了几何与向量的交汇 也体现了数形结合的巧妙应用 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace w w w k s 5 u c o m 6 2009 北京理 点P在直线 1l yx 上 若存在过P的直线交抛物线 2 yx 于 A B两 点 且 PAAB 则称点P为 点 那么下列结论中正确的是 A 直线l上的所有点都是 点 B 直线l上仅有有限个点是 点 C 直线l上的所有点都不是 点 D 直线l上有无穷多个点 点不是所有的点 是 点 答案答案 A 解析解析 本题主要考查阅读与理解 信息迁移以及学生的学习潜力 考查学生分析问题和解 决问题的能力 属于创新题型 本题采作数形结合法易于求解 如图 设 1A m nP x x 则 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 第 8 题解答图 消去 n 整理得关于 x 的方程 22 41 210 xmxm 1 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有实数解 应选 A 大家网高考论坛 3 7 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置 关系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能 8 2009 山东卷文 设斜率为 2 的直线l过抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 且和y轴交于点 A 若 OAF O 为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 抛物线 2 0 yaxa 的焦点 F 坐标为 0 4 a 则直线l的方程为2 4 a yx 它 与y轴的交点为 A 0 2 a 所以 OAF 的面积为 1 4 2 42 aa 解得8a 所以抛物线方程 为 2 8yx 故选 B 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积 的计算 考查数形结合的数学思想 其中还隐含着分类讨论的思想 因参数a的符号不定而引发 的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况 这里加绝对值号可以做到合二 为一 9 2009 全国卷 文 双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆 0 3 222 rryx相切 则 r A 3 B 2 C 3 D 6 大家网高考论坛 4 答案 答案 A 解析 本题考查双曲线性质及圆的切线知识 由圆心到渐近线的距离等于解析 本题考查双曲线性质及圆的切线知识 由圆心到渐近线的距离等于 r 可求 可求 r 3 10 2009 全国卷 文 已知直线 0 2 kxky与抛物线 C xy8 2 相交 A B 两点 F 为 C 的焦点 若FBFA2 则 k A 3 1 B 3 2 C 3 2 D 3 22 答案 答案 D 解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 解析 本题考查抛物线的第二定义 由直线方程知直线过定点即抛物线焦点 2 0 由 由 2FAFB 及第二定义知及第二定义知 2 22 BA xx联立方程用根与系数关系可求联立方程用根与系数关系可求 k 2 2 3 11 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 A 22 1 24 xy B 22 1 42 xy C 22 1 46 xy D 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 12 2009 安徽卷文 下列曲线中离心率为的是w w w k s 5 u c o m A B C D 解析 依据双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率 c e a 可判断得 6 2 c e a 选 B 答案 B 13 2009 安徽卷文 直线 过点 1 2 且与直线垂直 则 的方程是 A B C D 解析 可得l斜率为 33 2 1 22 l yx 即3210 xy 选 A 答案 A 14 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 大家网高考论坛 5 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 答案 B 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 15 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 w w w k s 5 u c o m 答案 B 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 16 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双 曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 Dxy 2 1 答案 C 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故渐 近线方程为xx a b y 2 2 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推 理能力 17 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则直线 2ykx 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K 大家网高考论坛 6 C 22 22 K D 22 22 K 答案 A 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 18 2009 四川卷文 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条 渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 答案答案 C 解析解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是 两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 19 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于AB 两 点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解解 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如图过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点 B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选故选 D 大家网高考论坛 7 20 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率 为3的直线交C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为w w w k s 5 u c o m A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 解解 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由直线 AB 的斜率为3 知直线 AB 的倾斜角为 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 故选故选 A 21 2009 湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 B A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 大家网高考论坛 8 解 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 22 2009 辽宁卷文 已知圆 C 与直线 x y 0 及 x y 4 0 都相切 圆心在直线 x y 0 上 则圆 C 的方程为 A 22 1 1 2xy B 22 1 1 2xy C 22 1 1 2xy D 22 1 1 2xy 解析 圆心在 x y 0 上 排除 C D 再结合图象 或者验证 A B 中圆心到两直线的距离等 于半径即可 2 答案 B 23 2009 宁夏海南卷理 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点到渐近线的距离为 A 2 3 B 2 C 3 D 1 解析 双曲线 2 4 x 2 12 y 1 的焦点 4 0 到渐近线3yx 的距离为 340 2 3 2 d 选 A 24 2009 宁夏海南卷理 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 焦点为 F 1 0 直线 l 与抛 物线 C 相交于 A B 两点 若 AB 的中点为 2 2 则直线 的方程为 解析 抛物线的方程为 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 则有 两式相减得 直线l 的方程为y 2 x 2 即y x 答案 y x 25 2009 陕西卷文 过原点且倾斜角为60 的直线被圆学 22 40 xyy 所截得的弦长为科网 A 3 B 2 C 6 D 23 答案 D 解析 22 2 4xxy 直线方程y 3 圆的标准方程 圆心 0 2 到直线的距离 22 302 1 3 1 d 由垂径定理知所求弦长为 22 2 212 3d 故选 D 26 2009 陕西卷文 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 大家网高考论坛 9 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 将方程 22 1mxny 转化为 22 1 11 xy mn 根据椭圆的定义 要使焦点在 y 轴上必须满 足 11 0 0 mn 所以 11 nm 故选 C 27 2009 四川卷文 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条 渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 答案答案 C 解析解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于是 两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 28 2009 全国卷 文 设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的渐近线与抛物线 2 1y x 相 切 则该双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 本小题考查双曲线的渐近线方程 直线与圆锥曲线的位置关系 双曲线的离心率 基础题 解 由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的一条渐近线方程为 a bx y 代入抛物线方程 整理得0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即 55 22 eac 故选择 C 大家网高考论坛 10 29 2009 全国卷 文 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为 F 右准线l 点Al 线段 AF 交 C 于点 B 若3FAFB 则AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 本小题考查椭圆的准线 向量的运用 椭圆的定义 基础题 解 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 30 2009 湖北卷文 已知双曲线1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的准线经过椭圆 b 0 的焦点 则 b A 3 B 5 C 3 D 2 答案 C 解析 可得双曲线的准线为 2 1 a x c 又因为椭圆焦点为 2 4 0 b 所以有 2 41b 即 b2 3 故 b 3 故 C 31 2009 天津卷理 设抛物线 2 y 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相交 于 A B 两点 与抛物线的准线相交于 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 考点定位 本小题考查抛物线的性质 三点共线的坐标关系 和综合运算数学的能力 中档题 大家网高考论坛 11 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 F 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 A B F C 解析 由题知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由 A B M 三点共线有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故选择 A 32 2009 四川卷理 已知双曲线 22 2 1 0 2 xy b b 的左右焦点分别为 12 F F 其一条渐近 线方程为yx 点 0 3 Py在该双曲线上 则 12 PFPF A 12 B 2 C 0 D 4 考点定位 本小题考查双曲线的渐近线方程 双曲线的定义 基础题 同文 8 解析 由题知2 2 b 故 0 2 0 2 123 210 FFy 0143 1 32 1 32 21 PFPF 故选择 C 解析 2 根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程 22 1 22 xy 则左 右焦点坐标分别为 12 2 0 2 0 FF 再将点 0 3 Py代入方程可求出 3 1 P 则可得 12 0PF PF 故选 C 大家网高考论坛 12 33 2009 四川卷理 已知直线 1 4 360lxy 和直线 2 1lx 抛物线 2 4yx 上一动 点P到直线 1 l和直线 2 l的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 考点定位 本小题考查抛物线的定义 点到直线的距离 综合题 解析 直线 2 1lx 为抛物线 2 4yx 的准线 由抛物线的定义知 P 到 2 l的距离等于 P 到 抛物线的焦点 0 1 F的距离 故本题化为在抛物线 2 4yx 上找一个点P使得P到点 0 1 F和直线 2 l的距离之和最小 最小值为 0 1 F到直线 1 4 360lxy 的距离 即 2 5 604 min d 故选择 A 解析 2 如下图 由题意可知 22 3 1 06 2 34 d 34 2009 宁夏海南卷文 已知圆 1 C 2 1 x 2 1 y 1 圆 2 C与圆 1 C关于直线 10 xy 对称 则圆 2 C的方程为 A 2 2 x 2 2 y 1 B 2 2 x 2 2 y 1 C 2 2 x 2 2 y 1 D 2 2 x 2 2 y 1 答案 B 解析 设圆 2 C的圆心为 a b 则依题意 有 11 10 22 1 1 1 ab b a 解得 2 2 a b 对称圆的半径不变 为 1 故选 B 35 2009 福建卷文 若双曲线 22 22 1 3 xy ao a 的离心率为 2 则a等于 A 2 B 3 大家网高考论坛 13 C 3 2 D 1 解析解析解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虚轴b 3 而离心率e a 解得 a 1 或 a 3 参照选项知而应选 D 36 2009 重庆卷理 直线1yx 与圆 22 1xy 的位置关系为 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心D 相离 答案 B 解析 圆心 0 0 为到直线1yx 即10 xy 的距离 12 22 d 而 2 01 2 选 B 37 2009 重庆卷理 已知以4T 为周期的函数 2 1 1 1 12 1 3 mxx f x xx 其中0m 若方程3 f xx 恰有 5 个实数解 则m的取值范围为 A 15 8 33 B 15 7 3 C 4 8 3 3 D 4 7 3 答案 B 解析 因为当 1 1 x 时 将函数化为方程 2 2 2 1 0 y xy m 实质上为一个半椭 圆 其图像如图所示 同时在坐标系中作出当 1 3 x 得图像 再根据周期性作出函数其它 部分的图像 由图易知直线 3 x y 与第二个椭 圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 相交 而与第三个 半椭圆 2 2 2 4 1 0 y xy m 无公共点时 方程恰有 5 个实数解 将 3 x y 代入 2 2 2 4 1 0 y xy m 得 2222 91 721350 mxm xm 令 22 9 0 1 8150tm ttxtxt 则 大家网高考论坛 14 由 22 15 8 4 15 1 0 15 915 0 3 tt ttmmm 得由且得 同样由 3 x y 与第二个椭圆 2 2 2 8 1 0 y xy m 由0 可计算得7m 综上知 15 7 3 m 38 2009 重庆卷文 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 A 22 2 1xy B 22 2 1xy C 22 1 3 1xy D 22 3 1xy 答案 A 解法解法 1 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知 2 1 2 1ob 解得 2b 故圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 2 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 故 圆的方程为 22 2 1xy 解法解法 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 B D 又由于圆心在y轴上 排除 C 39 2009 年上海卷理 过圆 22 1 1 1C xy 的圆心 作直线分别交 x y 正半轴于点 A B AOB 被圆分成四部分 如图 若这四部分图形面积满足 SSSS 则直线 AB 有 A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 答案 B 大家网高考论坛 15 解析 由已知 得 IVIIIIII SSSS 第 II IV 部分的面积是定值 所以 IVII SS 为定值 即 IIII SS 为定值 当直线 AB 绕着圆心 C 移动时 只可能有一个位置符 合题意 即直线 AB 只有一条 故选 B 二 填空题 1 2009 四川卷理 若 22 1 5Oxy 与 22 2 20 OxmymR 相交于 A B 两点 且两圆在点 A 处的切线互相垂直 则线段 AB 的长度是 w 考点定位 本小题考查圆的标准方程 两直线的位置关系等知识 综合题 解析 由题知 0 0 0 21 mOO 且53 5 m 又 21 AOAO 所以有 525 52 5 222 mm 4 5 205 2 AB 2 2009 全国卷 文 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段 的长为22 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 解析 本小题考查直线的斜率 直线的倾斜角 两条平行线间的距离 考查数形结合的思 想 解 两平行线间的距离为2 11 13 d 由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30 1 l的倾斜角 为 o 45 所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 故填写 或 3 2009 天津卷理 若圆 22 4xy 与圆 22 260 xyay a 0 的公共弦的长为 2 3 大家网高考论坛 16 则 a 考点定位 本小题考查圆与圆的位置关系 基础题 解析 由知 22 260 xyay 的半径为 2 6a 由图可知 222 3 1 6 aa解之得1 a 4 2009 湖北卷文 过原点 O 作圆 x2 y2 6x 8y 20 0 的两条切线 设切点分别为 P Q 则线段 PQ 的长为 答案 4 解析 可得圆方程是 22 3 4 5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理 得4PQ 5 2009 重庆卷文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 21 1 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 大家网高考论坛 17 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 6 2009 重庆卷理 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若双曲线上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc 则该双曲线的离心率的取值 范围是 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 且知点 P 在双曲线的右支上 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFexa 则 00 a aexc exa 解得 0 1 1 a caa e x e cae e 由双曲线的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 1 ee 又 故椭圆的离心率 1 21 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由双曲线的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFcacacaca ca 则既所以 2 210 ee 以下同解析 1 7 2009 北京文 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 答案答案 2 120 w 解析解析 u c o m本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦 定理 属于基础知识 基本运算的考查 大家网高考论坛 18 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 第 13 题解答图 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填2 120 8 2009 北京理 设 f x是偶函数 若曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线的斜率为 1 则该曲线在 1 1 f 处的切线的斜率为 答案答案 1 解析解析 本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 属于基础知识 基本运算 的考查 取 2 f xx 如图 采用数形结合法 易得该曲线在 1 1 f 处的切线的斜率为1 故应填1 第 11 题解答图 9 2009 北京理 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点P在 椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的小大为 答案答案 2 120 解析解析 本题主要考查椭圆的定义 焦点 长轴 短轴 焦距之间的关系以及余弦定理 属 于基础知识 基本运算的考查 22 9 3ab 大家网高考论坛 19 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 第 12 题解答图 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故应填2 120 10 2009 江苏卷 如图 在平面直角坐标系xoy中 1212 A A B B为椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的四个顶点 F为其右焦点 直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T 线 段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点 则该椭圆的离心率为 解析 考查椭圆的基本性质 如顶点 焦点坐标 离心率的计算等 以及直线的方程 直线 12 AB的方程为 1 xy ab 直线 1 B F的方程为 1 xy cb 二者联立解得 2 acb ac T acac 则 2 acb ac M acac 在椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上 22 222 22 1 1030 1030 4 cac cacaee acac 解得 2 75e 11 2009 全国卷 文 已知圆 O 5 22 yx和点 A 1 2 则过 A 且与圆 O 相切的直 线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 答案 答案 25 4 解析 由题意可直接求出切线方程为解析 由题意可直接求出切线方程为 y 2 2 1 x 1 即 即 x 2y 5 0 从而求出在两坐标轴上的从而求出在两坐标轴上的 截距分别是截距分别是 5 和和 2 5 所以所求面积为 所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 12 2009 广东卷 理 巳知椭圆G的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 3 2 且 大家网高考论坛 20 G上一点到G的两个焦点的距离之和为 12 则椭圆G的方程为 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 则所求椭圆方程为1 936 22 yx 13 2009 年广东卷文 以点 2 1 为圆心且与直线6xy 相切的圆的方程是 答案 22 25 2 1 2 xy 解析 将直线6xy 化为60 xy 圆的半径 2 1 6 5 1 12 r 所以圆的方程为 22 25 2 1 2 xy w w w k s 5 u c o m 14 2009 天津卷文 若圆4 22 yx与圆 0 062 22 aayyx的公共弦长为 32 则 a 答案 1 解析 由已知 两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 利用圆心 0 0 到直线的距离 d 1 1 a 为132 2 2 解得 a 1 考点定位 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用 考察 了同学们的运算能力和推理能力 15 2009 四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 答案答案 2 解析解析 焦点F 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 16 2009 湖南卷文 过双曲线 C 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一个焦点作圆 222 xya 的两条切线 切点分别为 A B 若120AOB O 是坐标原点 则双曲线线 C 的离心率为 2 解 12060302AOBAOFAFOca 2 c e a 17 2009 福建卷理 过抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的长为 8 则p 答案 2 大家网高考论坛 21 解析 由题意可知过焦点的直线方程为 2 p yx 联立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 18 2009 辽宁卷理 以知 F 是双曲线 22 1 412 xy 的左焦点 1 4 AP是双曲线右支上的动 点 则PFPA 的最小值为 解析 注意到 P 点在双曲线的两只之间 且双曲线右焦点为 F 4 0 于是由双曲线性质 PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 两式相加得 PF PA 9 当且仅当 A P F 三点共线时等号成立 答案 9 19 2009 四川卷文 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 答案答案 2 解析解析 焦点F 1 0 准线方程1 x 焦点到准线的距离是 2 20 2009 宁夏海南卷文 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点 焦点在 x 轴上 直线 y x 与抛物 线 C 交于 A B 两点 若 2 2P为AB的中点 则抛物线 C 的方程为 答案 2 4yx 解析 设抛物线为 y2 kx 与 y x 联立方程组 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 21 2009 湖南卷理 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个 内角为 60 o 则双曲线 C 的离心率为 6 2 答案 6 2 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分 别是 b c b是虚半轴长 c是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以2ab 离心率 36 22 c e a 大家网高考论坛 22 22 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 答案 3 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 23 2009 上海卷文 已知 12 F F是椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的两个焦点 p为椭圆 C上的一点 且 12 PFPF 若 12 PFF 的面积为 9 则b 答案 3 解析 依题意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 三 解答题 1 2009 年广东卷文 本小题满分 14 分 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 长轴在x轴上 离心率为 2 3 两个焦点分别为 1 F和 2 F 椭圆 G 上一点到 1 F和 2 F的距离之和为 12 圆 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圆心为点 k A 1 求椭圆 G 的方程 2 求 21F FAk 的面积 3 问是否存在圆 k C包围椭圆 G 请说明理由 解析 1 设椭圆 G 的方程为 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距为 c 则 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 大家网高考论坛 23 所求椭圆 G 的方程为 22 1 369 xy w w w k s 5 u c o m 2 点 K A的坐标为 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由 22 60120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 若0k 由 22 6 0120215 120kk f可知点 6 0 在圆 k C外 不论 K 为何值圆 k C都不能包围椭圆 G 2 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 已知抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四个点 I 求r得取值范围 II 当四边形ABCD的面积最大时 求对角线AC BD的交点P坐标 分析 分析 I 这一问学生易下手 将抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 的方 程联立 消去 2 y 整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 E yx 与圆 222 4 0 Mxyrr 相交于A B C D四个点的 充要条件是 方程 有两个不相等的正根即可 易得 15 4 2 r 考生利用数形结 合及函数和方程的思想来处理也可以 II 考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标 因此利用设而不求 整体代入 的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为 11 A xx 11 B xx 22 C xx 22 D xx 则由 I 根据韦达定理有 2 1212 7 16xxx xr 15 4 2 r 则 21122112 1 2 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 4 2 72 16 415 Sxxx xxxx xrr 大家网高考论坛 24 令 2 16rt 则 22 72 72 Stt 下面求 2 S的最大值 方法一 利用三次均值求解 三次均值目前在两纲中虽不要求 但在处理一些最值问题有 时很方便 它的主要手段是配凑系数或常数 但要注意取等号的条件 这和二次均值 类似 22 1 72 72 72 72 144 2 Sttttt 33 1 7272144128 2323 ttt 当且仅当72144tt 即 7 6 t 时取最大值 经检验此时 15 4 2 r 满足题意 方法二 利用求导处理 这是命题人的意图 具体解法略 下面来处理点P的坐标 设点P的坐标为 0 p P x 由APC 三点共线 则 121 121p xxx xxxx 得 12 7 6 p xx xt 以下略 3 2009 浙江理 本题满分 15 分 已知椭圆 1 C 22 22 1 0 yx ab ab 的右顶点为 1 0 A 过 1 C的焦点且垂直长轴的弦长为1 I 求椭圆 1 C的方程 II 设点P在抛物线 2 C 2 yxh h R上 2 C在点P处 的切线与 1 C交于点 M N 当线段AP的中点与MN的中 点的横坐标相等时 求h的最小值 解析 I 由题意得 2 1 2 121 b a b b a 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x w w w k s 5 u c o m II 不妨设 2 1122 M x yN xyP t th 则抛物线 2 C在点 P 处的切线斜率为2 x t yt 直线 MN 的方程为 2 2ytxth 将上式代入椭圆 1 C的方程中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因为直线 MN 与椭圆 1 C有两个不同的交点 所以有 422 1 162 2 40thth 设线段 MN 的中点的横坐标是 3 x 则 2 12 3 2 22 1 xxt th x t w w w k s 5 u c o m 大家网高考论坛 25 设线段 PA 的中点的横坐标是 4 x 则 4 1 2 t x 由题意得 34 xx 即有 2 1 10th t 其中的 2 2 1 40 1hh 或3h 当3h 时有 2 20 40hh 因此不等式 422 1 162 2 40thth 不成 立 因此1h 当1h 时代入方程 2 1 10th t 得1t 将1 1ht 代入不等 式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h的最小值为 1 4 2009 浙江文 本题满分 15 分 已知抛物线C 2 2 0 xpy p 上一点 4 A m到其 焦点的距离为 17 4 I 求p与m的值 II 设抛物线C上一点P的横坐标为 0 t t 过P的直线交C于另一点Q 交x轴于 点M 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小 值 解析 由抛物线方程得其准线方程 2 p y 根据抛物线定义 点 4 mA到焦点的距离等于它到准线的距离 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 抛物线方程为 yx 2 将 4 mA代入抛物线方程 解得2 m 由题意知 过点 2 ttP的直线PQ斜率存在且不为 0 设其为k 则 2 txktylPQ 当 0 2 k ktt xy 则 0 2 k ktt M 联立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkQ 而QPQN 直线NQ斜率为 k 1 w w w k s 5 u c o m 1 2 tkx k tkylNQ 联立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 大家网高考论坛 26 1 1 2 2 k tkk k tkk N 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 而抛物线在点 N 处切线斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 MN 是抛物线的切线 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得 021 22 ttkk 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 5 2009 北京文 本小题共 14 分 w w w k s 5 u c o m 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线 C 的方程 已知直线0 xym 与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy 上 求 m 的值 解析解析 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 线段 AB 的中点为 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判别式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 点 00 M xy在圆 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 大家网高考论坛 27 6 2009 北京理 本小题共 14 分 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的离心率为3 右准线方程为 3 3 x 求双曲线C的方程 设直线l是圆 22 2O xy 上动点 0000 0 P xyx y 处的切线 l与双曲线 C交 于不同的两点 A B 证明AOB 的大小为定值 解法解法 1 1 本题主要考查双曲线的标准方程 圆的切线方程等基础知识 考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法 考查推理 运算能力 由题意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求双曲线C的方程为 2 2 1 2 y x 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos OA OB AOB OA OB 且 大家网高考论坛 28 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小为90 解法解法 2 2 同解法 1 点 0000 0P xyx y 在圆 22 2xy 上 圆在点 00 P xy处的切线方程为 0 00 0 x yyxx y 化简得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切线l与双曲线 C 交于不同的两点 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 设 A B 两点的坐标分别为 1122 x yxy 则 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0OA OBx xy y AOB 的大小为90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 从而当 2 0 340 x 时 方程 和方程 的判别式均大于零 7 2009 江苏卷 本题满分 10