用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数.doc

.用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数 构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质.1 高考真题 真题 设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的取值范围（ ）.A. B. C. D. 解析：设，则.因为时，所以,即当时，单调递减.又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且,则当时，单调递增.当时，.当时，.所以成立的取值范围，即答案为A. 上述题为2015年课标全国选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有和，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数，通过分析的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉. 对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.2 巧构导函数的原函数例 1 已知函数的图像关于轴对称，且当时，成立，若，则的大小关系（ ）A. B. C. D. 解析：设，则.因为时，所以,则当时，单调递减.又因为函数的图像关于轴对称，所以为奇函数，当时，单调递减.又因为，则，即答案为A.例 2已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 解析：设，则.因为，所以,则在定义域上单调递增，所以,则，即答案为A.例 3 已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立且为自然对数的底，则（ ）A. B. C. D. 解析：设，则.由，得，则,在定义域上单调递减，所以,即答案为A.例4 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）A. B. C. D. 解析：因为，所以，.由，得设，则，可得,则在定义域上单调递减，所以,则，即答案为A.3.导数的运算法则与构造的思路分析爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性”. 那又如何构造出函数，将问题简单化，这在数学上是一个值得深究的问题. 仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即. 例3和例4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运算法则，即.由此可见，对于含有和的不等式，将不等式的右边化0，若左边是和相加得形式，其中和常见的变量或常量. 此时用导数的积运算法则；若左边是和相减得形式，此时用导数的商运算法则.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数. 波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧例1中，根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)+0 可以看出的导数为，的导数为1，从而构造出函数 .例2中，根据导数的积运算法则得+0 可以看出的导数为，2的导数为1，显然不成立. 则不等式两边定约去了一个不为0的变量. 函数和本身的导函数有相同的变量，则猜想到函数. 但这里还要考虑系数1和2，进一步猜想 到复合函数. 给上述不等式两边同乘以，则+0 从而构造出函数.例3中，根据导数的商运算法则得 可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出函数.例4 中，可得 且，根据导数的商运算法则得 可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出.对于以上4个例题的不等式可以总结为和.这里有所疑问，当不等式的右边不是0时，那上述的构造函数方法显然不适用. 下面给出一道试题进行研究.4构造中变化例6 是定义在上的函数，其导函数为. 若，则不等式的解集.分析： 数学变式题的给出，都离开最初的原题. 借助例1至例6构造函数的方法，找出函数与本身导函数的关系. 并根据，从而可以解答试题. 因为，所以. 这里把看做一个整体，再由例4知，设，则，得，则在上为单调递增.因为，所以的解集.5.常见构造类型：利用与构造， 利用利用和构造 利用与函数sinx,cosx构造实践表明，对于含有和抽象函数的不等式，问题的本质在于巧妙地构造出原函数，这是解决问题的最有力的武器. 在构