圆的综合运用.doc

圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：利用垂径定理； 直接作垂线构造直角三角形；构造所对的圆周角； 连接圆心和切点； (2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：二、典型例题能力提升类例1 如图，的直径与弦相交于点，交角为45，若，求直径AB。评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。例2 如图，正方形内接于，点在劣弧上，连结，交于点若，求的值。评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。综合运用类例3 如图，已知直径与等边三角形的高相等的圆与三角形的边和边相切于点和，与边相交于点和，求的度数。例4 已知中，90，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点，、的中点分别为、。求证：思维拓展类例5 在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CMx轴（如图所示）点B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的P与O外切，求O的半径。评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的关键。例6 已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心，AP为半径作A，A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作B，B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M求证：MP分别与A和B相切。评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，对于这些重点知识，同学们应熟练掌握。总结：一、思想方法总结数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形的问题来解决。分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨论等问题均应用了这一思想。方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其他量，求一个量，运用了方程的思想。二、与圆有关的辅助线的添加规律：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作用。巩固训练（答题时间：60分钟）一、选择题 1. 如图所示，AB、AC与圆O相切于点B、C，A50，点P是圆上异于B、C的一动点，则BPC的度数是（ ）A. 65 B. 115 C. 65和115 D. 130和50 2. 如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA3，过点A且长小于8的弦有（ ）A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 4条3. 如图所示，在平面直角坐标系中，O的半径为1，则直线与O的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上三种情形都有可能4. 给出下列命题：任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。其中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点O，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 如图所示，已知AB是圆O的直径，弦CDAB于点P，CD12cm，AP：PB2：3，则圆O的直径是_cm。 2. 如图所示，RtABC中，C90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB_，AD_。3. 如图所示，在ABC中，ACB90，AC2，以A为圆心，以AC为半径作弧交AB于D，则图中阴影部分的面积是_。4. 如图所示，同底等高的圆锥和圆柱，它们的底面直径和高相等（即2R=h），那么圆锥和圆柱的侧面积之比为 。5. 如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方形的顶点A所经过的路线长是 cm。三、解答题1. 已知：O与O外离，O的半径为4cm，O的半径为6cm，OO20cm，求两圆的公切线的长。2. 已知：如图，O1和O2外切于点P，过点P的直线AB分别与O1、O2相交于点A、B，BD切O1于点B，交O2于点C、D，AE是O2的直径。求证：（1）AEBD；（2）APDCPB；（3）AD2BCBDAB2。一、选择题 1. C解析：若点P在劣弧BC上，连结OB、OC则BOC18050130劣弧BC的度数为130，优弧BC的度数为230BPC的度数为当点P在优弧BC上时，BPC13065故选C. 2. A解析：作圆O过A点的直径BC，则BC10cm作DEBC于A，连结OD则而DE是过点A最短的弦，它不可能小于8，选A.3. C 点拨：画出直线，得到直线与x轴、y轴的交点坐标分别为、则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，所以圆心到直线的距离是1，即圆心到直线的距离等于圆的半径，故直线与圆相切，所以选C.4. B 点拨：一个圆有无数个内接三角形，也有无数个外切三角形，所以错误。5. C 点拨：由题意知，题中四个半圆组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面积等于半圆B中的空白部分面积，所以所求阴影部分面积等于半圆B的面积，即S阴影=，故选C.二、填空题1. 解析：设AP，PBABCD，PCPD6又PAPBPCPD（舍负） 2. 5，解析：作CFAB于F，ACB90可证又 3. 解析：由勾股定理得AB=4，B=30，A60阴影面积4. ：4 点拨：圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为.5. 点拨：第一次滚动，点A经过的路线长是以C为圆心、CA为半径、圆心角为90的扇形弧长；第二次滚动，点A经过的路线长是以D为圆心、边长DA为半径、圆心角为90的扇形弧长；第三次滚动，点A不动；第四次滚动，点A经过的路线长是以B为圆心、BA为半径、圆心角为90的扇形弧长。第二周滚动与第一周相同。所以正方形滚动两周时，点A经过路线长是三、解答题1. 解：（1）如图，连结OA、OB，过点O作OEAO于点E AB与O、O分别相切于点A、B AOAB，BOAB 四边形ABOE是矩形，ABOE，AEBO AO6，BO4，OE2 OO20，由勾股定理可得 AB （2）如图，连结OC、OD，过点O作OEOD的延长线于点E CD与O、O分别相切于点C、D OCCD，ODCD 四边形COED是矩形，CDOE，OCDE OC6，OD4，在RtOEO中，OE10，OO20 由勾股定理得， 外公切线长AB，内公切线长CD2. 证明：（1）连结AC，过点P作两圆的公切线交BD于T，则12，45.BD切O1于