华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案.pdf

习题一 习题一 2 9 0 11 0 cos sin cos sin cossin sincos sin cos s xxyy rrr rxy xy xr y laplaceuur uuu rr xr yr u x yu rr uuu ururu uuu r u 证明方程在极坐标下为 证明 sin cos coscos in sin sin cos sinsin coscos r xx xrr uu ryrr uu u xxrrx uu rrrr 从而 222 2 222 222 222 sincossincossin cos sincossincossin cos sin sin yy uuuu rrrrrr uuu rrrr uu u yyrry 222 2 222 222 222 coscos sin sincossincoscos sin sincossincoscos 1 xxyyrr uu rrrr uuuu rrrrrr uuu rrrr uuuu r 所以 2 1 0 r u r 华中科技大学数理 方程与特 殊函数课 后答案 习题二 习题二 2 1 01 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 ttxx t ua uxt utut xx u x xx u xx x 求下列问题的解 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 si nnn u x tX x T t T ta T t X xX x XX X xX x XX nX xB 解 应用分离变量法 令 代入方程分离变量 得 由边界条件分离变量 得 求解固有值问题 得 1 1 1 2 1 22 0 2 n 1 2 cossin 1 2 cossin sin 4 2sin 1 sinsin 2 nnn nn n n n xn T tCan tDan tn u x taan t ban tn x n axn xdxxn xdx n 代入另一常微分方程 得 则 其中 1 44 0 2244 1 24 1 sin11 44 sincos11 sin sin 2 n n n n bx xn xdx anna n u x tan tan tn x nna 因此 所求定解问题的解为 2 0 0 0 0 3 35 0 3sin6sin 22 0 0 ttxx x t ua uxl t utu l t xx u x ll u x 2 2 0 0 0 0 0 0 0 21 2 nn u x tX x T t T ta T t X xX x XX l X xX x XX l n X l 解 应用分离变量法 令 代入方程分离变量 得 由边界条件分离变量 得 求解固有值问题 得 1 21 sin 0 1 2 2 2121 cossin 0 1 2 22 212121 cossin sin 222 235 3sin6sin 22 n nnn nn n n n xBxn l anan T tCtDtn ll anann u x tat btx lll xx a ll 代入另一常微分方程 得 则 其中 0 3 1 21 sin6 2 2 0 12 0 3355 3cossin6cossin 2222 l n n n xdxn ll n b aa u x ttxtx llll 因此 所求定解问题的解为 3 4 0 0 2 0 0 0 0 txx xx uuxl t utul t u xx lx 求下列定解问题的解 2 4 0 0 0 0 0 0 0 nn u x tX x T t T tT t XxX x XXl XxX x XXl n XxA l 解 应用分离变量法 令 代入方程分离变量 得 由边界条件分离变量 得 求解固有值问题 得 2 2 2 2 0 1 2 0 0 0 cos 0 1 2 0 1 2 1 cos 2 22 6 2 cos n n t l nn n t l n n l l n n xn l T tD en n u x taa ex l l ax lx dx l n ax lxxd ll 代入另一常微分方程 得 则 其中 2 2 22 222 22 1 2 1 1 2 1 1 cos 6 n nn t l n l x n lln u x tex nl 因此 所求定解问题的解为 2 5 11 0 01 0 1 0 rrr uuur rr A u A 求解下列定解问题 其中为已知常数 2 2 0 0 0 2 cossin n nnn u rR r r RrrR rR r n XxAnBn 解 应用分离变量法 令 代入方程分离变量 得 求解固有值问题 得 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 cossin 2 12 n nn n nn n n n r RrrR rR r R RrC rn u raanbnr A aAd a 代入另一常微分方程的定解问题 得 则 其中 1 12 cossin 1 sin0 2 sincos n n n A An dn n bAn d AA u x trnn n 因此 所求定解问题的解为 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 lim 0 0 xxyy y uuxly uyu l yy x u xAu x yxl l A 求解下列定解问题 其中 为已知常数 2 0 0 0 0 0 0 0 sin nnn u x yX x Y y XxX x YyY y XX l XxX x XX l n XxB l 解 应用分离变量法 令 代入方程分离变量 得 由边界条件分离变量 得 求解固有值问题 得 1 0 1 2 1 2 sin 22 sin lim 0 nn yy ll nnn nn yy ll nn n l nn y n xn l YyC eD en n u x ya eb ex l xnA abA lxdx llln u x ya 代入另一常微分方程 得 则 其中 1 0 2 sin n n y l n An u x tex nl 因此 所求定解问题的解为 222 2 8 1 0 cos sin 11 1 0 0 cossin xxyy xya rrr r a n auu u xryr uuura rr u AnBn u ra r 在以原点为心 为半径的圆内 试求泊松方程 的解 使它满足边界条件 解 令作极坐标变换 得 由固有函数法 相应的固有函数系为 因此 设方程的解为 0 00 2 2 2 2 cos sin 1 1 1 1 0 02 1 0 3 23 0 n n nnn nnn nn nnn n nn nb rn aa r n aaan rr n bbb rr a rA rB rn b rC rD 代入方程 得 方程 的通解 2 0 00 0 0 0 0 00 0 1 1 ln 4 0 n n nn nn nn r aa a bb a a rnb r a rArBr aa a 由有界性条件及边界条件 得 方程的通解 由有界性条件及边界条件 22 0 22 222 0 1 4 1 41 4 a rar u rar u x yaxy 得 则定解问题的解为 化成直角坐标 则得 2 1 2 10 sin 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin sin ttxx t n n n ua utx l utu l tt u xuxxl n x l n u x tutx l n a uu l 求下列问题的解 解 由固有函数法 相应的固有函数系为 设方程的解为 代入原方程 得 2 11 1 0 2 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 sin sin n nn n t n a uut l uun nut la nu ttd al lla tt aal 由初始条件 得 当时 当时 2 sinsin lla u x tttx aall 故所求的解为 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 sin sin sin 22 sin 1 txx n n n n l n ua uAxl t utu l t u x n x l n u x tutx l n AAAx l nA AAxdx lln 解 由固有函数法 相应的固有函数系为 设方程的解为 并将 展为 其中 2 2 2 0 2 332 1 2 1 1 0 0 2 1 1 2 1 1 1 n n nn n n a t t nl n n a t nl n aA uu ln u A uted n Al e na u x 代入原方程可得 得 故所求的解为 2 2 332 1 2 1 1 1 sin n a t nl n Aln tex nal 2 2 11 22 4sincos 2 0 0 0 0 0 0 22 4sincos 0 0 ttxx t ttxx ua uxx ll utu l tBt B u xx u xx lxxl l u x tv x tw x vavwxx ll vtw 求下列问题的解 解 设问题的解为 将其代入上面的定解问题 得 2 2 22 2 0 0 0 22 4sincos0 0 0 4 sin 8 0 0 0 0 t ttxx v l tw lB B v xw xx v xx lx l a wxx ll ww lB Bl w txx lal va v vtv l t v x 化成下面两个问题 1 解得 2 1 2 2 22 0 22 3 4 0 0 cossinsin 0 4 24 sinsin 8 4 8 24 sin t nn n l n l n B xw x v xx lx l n an an v x tatbtx lll n ln axxdx l lalln a nl bx lxxdx n aln 解得 其中 4 3 2 2244 1 2 22 3 44 11 4 11 44 cossinsinsin 8 44 1 cossin 8 4 11 si n n n n a llan an v x ttxtx allnall Bla u x tv x tw xxtx lall l na 则 因此 原问题的解为 1 nsin n n an tx ll 14 0 2 0 0 xx XX XXXX X xAeBe AeBeAeBe AeBeAeBe AB 当时 方程的通解为 由边界条件 有 得 当时 方程的通解为 由边界条件 有 2 2 sincos 0sin0 1 2 cossin 0 1 2 cossin nnnn n nnn B X x nnX xAnxBnx nn X