重积分复习资料PPT课件.ppt

一 问题的提出 曲顶柱体的体积 定义 1 2 对二重积分 doubleintegral 定义的说明 2 二 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体体积的负值 二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和 在xoy平面上方的取正 在xoy平面下方取负 3 例1 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值 解 投影区域为圆域 被积函数为半球面 由二重积分的几何意义 得 4 性质 当为常数时 性质 三 二重积分的性质 5 性质 若为D的面积 性质 若在D上有 特殊地 则有 性质 对积分区域具有可加性 6 性质 性质 二重积分中值定理 二重积分估值不等式 7 特点 穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点 四 二重积分计算公式 8 9 特点 穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点 10 11 若区域如图 则必须分割 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 12 积分区域如图 例2 解 典型例题 13 解 两曲线的交点 例3 14 例4 解 15 例5 解 16 使用对称性时应注意 1 积分区域关于坐标轴的对称性 2 被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性 只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时 才能简化 五 利用对称性简化二重积分的计算 17 二重积分计算的简化 18 二重积分计算的简化 19 二重积分计算的简化 20 例6 解 21 22 23 二重积分的变量从直角坐标到极坐标的变换公式 七 二重积分的极坐标计算公式 24 适用范围 25 二重积分化为累次积分几种常见的情形 注 极点在积分区域外 26 二重积分化为二次积分几种常见的情形 注 极点在积分区域边界上 27 二重积分化为二次积分几种常见的情形 注 极点在积分区域内 28 典型例题 例7 29 解 例8 30 解 积分区域关于坐标轴对称 被积函数关于坐标轴对称 例9 31 八 曲面的面积 32 曲面面积元素 33 34 例10 解 35 36 九 三重积分的定义 37 38 十 三重积分 tripleintegral 的物理意义 39 性质 当为常数时 性质 三重积分与二重积分有类似的性质 十一 三重积分的性质 40 性质 对区域具有可加性 性质 性质 特殊地 则有 41 性质 性质 三重积分中值定理 三重积分估值不等式 42 三重积分在直角坐标系下的计算 一 坐标面投影法 二 坐标轴投影法 截面法 三 利用对称性简化三重积分的计算 43 十二 坐标面投影法 44 45 46 47 例11 解 48 49 十三 坐标轴投影法 截面法 50 51 例12 解 52 53 使用对称性时应注意 1 积分区域关于坐标面的对称性 2 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性 只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时 才能简化 十四 利用对称性简化三重积分的计算 54 其它情形依此类推 三重积分计算的简化 55 例13 解 56 例14 解 57 58 三重积分在柱坐标系下的计算 一 柱面坐标系下的计算 二 球面坐标系下的计算 59 十五 柱面坐标系 60 柱面坐标系中确定空间一点位置的方法 柱面坐标与直角坐标的关系为 61 体积微元 62 注 坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时 可用柱坐标 坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时 可用柱坐标 坐标面上的投影区域是圆域或部分圆域时 可用柱坐标 63 例15 解 64 十六 球