空间网格结构非线性稳定分析网壳设计PPT课件.pptx

210 1 第二章 网壳的计算与设计 2020 3 18 210 1 210 2 2 1荷载和作用2 1 1荷载和作用的类型 1 永久荷载 1 网架自重双层网架 qok L2 200qok 估算自重 kN m2 qw 除自重外的屋 楼 面荷载标准值 kN m2 L2 网架短向跨度 m 杆件形式调整系数 钢管 1 0型钢 1 1 1 2 2020 3 18 210 2 210 3 上式适用范围 周边支承 双层网架三层网架 qok L2 aqok 估算自重 kN m2 qw 除自重外的屋 楼 面荷载标准值 kN m2 L2 网架短向跨度 m a 调整系数 钢管a 130 140网架节点重量 占网架总重的20 25 螺栓球网架节点重量大 焊接球节点相对较轻 2020 3 18 210 3 210 4 2 屋面重包括屋面板 檩条 吊重 管道 灯 设备 吊顶等 屋面板 混凝土板1 0 1 5kN m2彩钢板0 11 0 2kN m2檩条 轻屋面 0 07kN m2 2020 3 18 210 4 210 5 2 可变荷载 1 屋 楼 面活荷载按荷载规范确定 不上人屋面 常取ql 0 5kN m2 2 积雪荷载按荷载规范确定 Sk rSoSk 雪荷载标准值 kN m2 r 屋面积雪分布系数So 基本雪压 kN m2 积雪荷载要注意不对称积雪 或半边有半边无 2020 3 18 210 5 210 6 球面网壳屋顶或穹顶 规范尚无准确积雪系数 课本中建议 参照规范中拱型屋顶取值 具体为 均匀积雪 角度大于50o不积雪 单跨0 4 r 0 8 2020 3 18 210 6 210 7 多跨屋盖 2020 3 18 210 7 210 8 非均匀积雪 角度大于50o不积雪 r 2 3 积雪荷载不与活荷载同时考虑 2020 3 18 210 8 210 9 3 风荷载按荷载规范确定 wk z r s zwowk 风荷载标准值 kN m2 z 风振系数 r 重现期系数 老规范采用 新规范已取消 s 风荷载体型系数 z 风压高度变化系数wo 基本风压 kN m2 风荷载分项系数 G 1 4通常大型结构应进行风洞试验 较柔结构应注意风振 2020 3 18 210 9 210 10 风荷载计算应注意的几个问题 a 侧向风压当结构高度较大时应考虑 b 结构结构悬挑部分应考虑风过敏反应 2020 3 18 210 10 210 11 4 积灰荷载按荷载规范确定特别注意冶炼厂 煤矿 5 吊车荷载软钩和硬钩吊车工作制 A1 A9 2020 3 18 210 11 210 12 3 作用 1 温度变化 t t 当地极端温度 tmax或tmin 结构安装时温度 tw 小跨度网架 当 t 30oC时 可通过构造保证 不需要计算 2 地震作用按设计规范确定 7度设防 不考虑地震作用8度设防 仅考虑竖向地震作用9度设防 同时考虑竖向和水平地震作用 2020 3 18 210 12 210 13 3 支座沉降与强迫就位支座沉降 常为土建施工误差所致 超静定引起自应力强迫就位 制作和安装误差所致 构件尺寸 支座位置 超静定引起自应力 2020 3 18 210 13 210 14 2 1 2荷载组合 1 使用过程设计验算 杆件强度 稳定 节点强度 稳定 结构变形 整体稳定2 施工过程施工验算 施工过程模拟与数值分析验算构件在吊装过程中的强度 稳定性 已安装部分杆件强度 稳定 已安装部分结构变形 整体稳定 施工系统 包括临时支撑 整体验算 2020 3 18 210 14 210 15 2 2网壳结构选型2 2 1层数 单层比双层用钢量少 当跨度较大时 单层受整体稳定控制 反而双层省钢 通常 单层球面网壳跨度 l 80mm 单层柱面网壳跨度 两端支承l 40mm 纵向直边缘支承l 30mm 单层双曲抛物面网壳 l 60mm 单层椭圆抛物面网壳 l 50mm 同时 应注意网格形式 三角形网格面内刚度大 四边形网格面内刚度小 2020 3 18 210 15 210 16 2 2 3网格尺寸s 或a 对结构挠度影响不大 但对杆件截面影响大 网格尺寸大 节点少 杆件少 省钢 但压杆长 网格尺寸小 节点多 杆件多 费钢 费工 网格尺寸a应与网壳高度h协调 使腹杆夹角 合理 通常 40o 55o 当l 50m a 1 5 3 0m 当l 50m a 2 0 4 0m曲面内角度 两向网格尺寸协调 2 2 2荷载条件非对称荷载 单层网壳易失稳 宜用双层网壳 2020 3 18 210 16 210 17 2 2 4网壳厚度h 双层网壳 厚 薄 h影响结构刚度 挠度 和用钢量 当h小到某临界厚度以下时 应验算网壳的整体稳定 注意规范的具体规定 设计时 应熟悉最新规范 需要验算整体稳定的双层网壳 双层球面网壳 厚跨比h L 1 60 或厚径比h D 1 60 双层圆柱面网壳 厚跨比h L 1 50 双层双曲抛物面网壳 厚跨比h L 1 50 双层椭圆抛物面 或椭球 网壳 厚跨比h L 1 50 2020 3 18 210 17 210 18 2 2 5网壳的矢跨比f l f l的大小影响网壳表面积 即影响结构的耗能 f l大 网壳表面积大 结构的耗能大 支座推力小 f l小 网壳表面积小 结构的耗能小 支座推力大 通常 f l推荐值 球面网壳 1 5 1 2 双曲扁网壳 1 10 1 6 柱面网壳 1 6 1 3 单块扭网壳 1 4 1 2 2020 3 18 210 18 210 19 2 3网壳的设计计算2 3 1网壳结构的特点与分析方法 1 受力特点与稳定性特征 1 网壳与网架的区别网架 整体形状类似于平板 在横向荷载下受弯为主 没有整体稳定问题 网壳 整体形状类似于薄壳 在横向荷载下以面内薄膜受力为主 存在整体稳定或局部稳定问题 这里所谓的整体稳定 是结构意义上的 而不是杆件意义上的 2020 3 18 210 19 210 20 2 网壳的受力特点网壳结构是一种空间曲面杆系结构 同时具有杆系结构和薄壳结构的特征 杆件 直线型杆 节点 位于设计曲面上 杆件的屈曲可用欧拉压杆屈曲的概念来描述 而网壳的整体屈曲乃至屈曲后性能及缺陷敏感性 需应用 类似于薄壳的 非线性稳定理论来描述 缺陷敏感性 如何描述 屈曲性态的变化 整体稳定临界荷载的变化 2020 3 18 210 20 210 21 缺陷敏感性结构 结构的稳定承载能力因缺陷存在而显著甚至大幅降低 一般来讲 杆件主要以弯曲形式承载的结构 其稳定性态对缺陷不敏感 杆件主要以轴力方式承载的结构 其稳定性是缺陷敏感的 网壳结构 通常主要以杆件的轴力方式传力或称载 因而 网壳通常是缺陷敏感性结构 特别是单层网壳 2020 3 18 按无矩理论方法设计的薄壳 网壳结构 缺陷敏感 210 21 210 22 3 网壳形 状 体 系 与整体稳定性态的关系A 曲面形状与整体稳定性的关系负高斯曲率曲面 反向曲面 网壳的整体稳定性最好 正高斯曲率曲面 同向曲面 网壳次之 零高斯曲率曲面 单向曲面 网壳整体稳定性相对最差 2020 3 18 210 22 210 23 周边支承网壳结构 双向曲面网壳 由于结构曲面的不可展性 相对于单向曲面网壳具有更高的整体稳定承载能力 负高斯曲率曲面网壳 由于网壳曲面在两个相反的方向弯曲 在外荷载作用下 有一个方向的杆件受拉 对另一个方向受压的杆件具有支撑作用 因而 相对于正高斯曲率曲面网壳具有更高的整体稳定承载能力 事实上 由于有一个方向的杆件受拉 某些周边支承的负高斯曲率曲面网壳不会发生整体失稳 这类网壳的承载能力由强度条件决定 实际上 并非所有网壳都存在整体失稳的问题 2020 3 18 210 23 210 24 B 网壳曲面扁率与整体稳定性态的关系薄壳的整体稳定性态随壳曲面的矢跨比 f l 而变 试验与研究表明 扁球壳或部分球冠壳随着其扁度 f l 的不同 表现出不同的屈曲特性 环形边界的存在 使得球冠壳与完整球壳具有不同的屈曲特征 线性屈曲与非线性屈曲分析结果有差异 Kaplan 1974 2020 3 18 210 24 球壳 球冠壳 2020 3 18 210 25 210 26 网壳曲面扁率与整体稳定性态的关系 下页图示为均匀外压作用下周边固支球壳的荷载 位移曲线随扁率 的变化趋势 也即球壳的整体稳定性态与矢跨比的关系 其中 扁率 定义为 Bushnell 1985 2020 3 18 210 26 210 27 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 w p pcr 2020 3 18 210 27 210 28 0 意味着圆板 在横向荷载作用下 由于板内薄膜张力的作用 板的荷载 变形曲线呈现出强化的特征 不出现屈曲失稳现象 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 线性 弯曲非线性 弯曲 张拉 2020 3 18 210 28 210 29 0 3 5 荷载 变形曲线中没有水平切线 也不存在分支点 因而 在屈曲前平衡路径中也没有失稳问题 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 2020 3 18 210 29 210 30 4 6 球壳出现轴对称变形模态 平衡路径出现跳跃 snap through 屈曲 有水平切线点 但仍无分支点出现 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 p pcr w 2020 3 18 极值性屈曲特征 210 30 210 31 6 球壳出现非对称模式变形 并发生分支屈曲 且分支屈曲荷载既小于完全球壳的分支点临界荷载 也小于对称跳跃屈曲的极限荷载 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 p pcr w 2020 3 18 210 31 210 32 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 球冠壳极值点 p pcr w 2020 3 18 210 32 210 33 7后 球壳的初屈曲路径愈来愈接近线性 随着 的增加 球壳在屈曲前阶段的变形在边界附近一个较窄的范围 象脚模式 表现出较强的不均匀性 或不对称性 然而将不再改变平衡路径的性状及分支点的位置 线性屈曲非线性屈曲 完整球壳分支屈曲临界点球冠壳分支屈曲临界点 2020 3 18 210 33 210 34 此后 无论 增加到多大 周边固支的非完整球壳由于边界的存在 总是在边界处较窄的范围内首先发生分支屈曲 即边界效应 象脚模式 分支点荷载约为完整球壳分支点屈曲荷载的80 到90 2020 3 18 210 34 210 35 薄壁球壳整体稳定性态随扁率变化的特征 a 过于平坦的薄壳 扁率 6 在外荷载作用下的整体稳定性态为分支点性态 分支点总是出现在极值点之前 且分支点总是低于极值点 第一个分支点为结构的第一临界点 该类结构也没有屈曲后承载能力 2020 3 18 210 35 210 36 d 薄壁球壳的临界荷载 分支点或极值点 随着扁率 的增大而增大 也就是说 随着薄壳矢跨比的增大 结构整体稳定临界荷载增大 e 由于扁率 的增大 6后 薄壁球壳的整体稳定性态转变为不具有后屈曲承载能力的分支性态 因此 扁率 较大的结构的稳定性对缺陷是敏感的 甚至是非常敏感的 f 薄壁球壳的非线性临界荷载 分支点 常低于线性临界荷载 2020 3 18 原因 面内薄膜 压 力与面外弯矩的比例 210 36 210 37 C 网壳网格体系与整体稳定性态的关系网格体系形式 影响网壳面内刚度 结构整体等效刚度 网壳整体等效刚度K愈大 则其稳定性愈高 三角形网格体系网壳整体稳定性相对较高 四边形网格体系网壳整体稳定性相对较低 T 薄膜刚度 与网格体系或杆件布置方式直接相关 B 弯曲刚度 2020 3 18 210 37 210 38 无论网壳结构的网格体系如何分类 从几何形状上可归为两大类 即三角形网格体系 桁架 和四边形网格体系 框架 在网壳结构的曲面内 三角形网格体系比四边形网格体系具有更好的几何稳定性 即具有更高的面内薄膜刚度 在网壳结构其它参数相同的条件下 三角形网格体系由于在网壳曲面内具有几何稳定的特征 相对于四边形网格体系具有较大的薄膜刚度T 因而 也就具有较大的整体等效刚度K 因此 三角形网格体系网壳比四边形网格体系网壳具有较高的整体稳定性 2020 3 18 210 38 210 39 4 节点刚性对网壳整体稳定性态的影响单层网壳 当矢跨比 f l 较小时 在横向力作用下 结构整体将产生较大的弯曲 或弯矩 若节点刚度小 将导致网壳整体或局部失稳 在某种情况下可能产生多米诺骨牌效应 2020 3 18 210 39 210 40 2 分析计算方法及特点分析方法分类 拟壳法 连续化近似计算法 现在仅用于估算 将网壳等代为连续壳 用薄壳理论分析 等代条件为刚度相等 适用范围 网格均匀 曲面规则 荷载简单 边界规则 有解析理论可套用 有限元法 离散化法 精确法双层网壳 单元采用杆单元 单层网壳 单元采用梁单元 2020 3 18 210 40 210 41 设计计算过程 设计计算 按线弹性理论计算杆件内力 根据规范设计杆件 节点 强度 稳定 结构变形或挠度 其中包括杆件截面的优化 整体稳定验算 对单层网壳 结构厚度小于某一临界值的双层网壳 进行整体稳定验算 其中包括 线性整体稳定 大位移几何非线性整体稳定 完善结构 有缺陷结构 大位移弹塑性整体稳定 施工验算 施工过程中构件以及施工系统结构验算 2020 3 18 210 41 210 42 3 理论研究 1 网壳合理形体优美的建筑造型与合理优化的结构形状与体系 仿生理论的应用 符合经济节省的绿色条件 缺陷敏感性分析 2 整体稳定性分析与评定方法非线性计算技术或理论 结构的缺陷敏感性 局部失稳的传播 稳定承载力限值确定 2020 3 18 210 42 210 43 3 网格 壳 结构的动力分析风致振动分析 轻柔大跨度结构结构上风荷载的模拟技术 流固耦合计算技术地震反应分析 地震动的输入方法 多点激励地震反应计算方法 反应谱法 时程法 随机振动法 静力弹塑性法 Push down法 动力稳定性 动力荷载作用下的稳定性 失稳的动力效应 2020 3 18 210 43 210 44 4 新型混合网格 壳 结构体系弦支网壳结构又称弦支穹顶 斜拉 悬挂 网壳 预应力网壳 拱支网壳 5 既有网格 壳 结构的健康监测 检测与安全性评定监测 检测 灾后安全性评定 可靠性评定 承载能力 适用性 耐久性 评定指标体系和方法 2020 3 18 210 44 210 45 6 网格 壳 结构施工技术及施工力学计算与监测方法施工技术 施工过程中的计算方法 安装过程验算 结构体系转换验算施工过程监测技术 参数 仪器 方法 数据 7 网格 壳 结构抗震设计方法设计参数 参数限值的确定 大跨度空间结构的抗震设计 2020 3 18 210 45 210 46 2 3 2空间铰接杆系非线性有限元法 杆单元理论 用于双层网壳结构 1 基本假定每个节点有3个自由度 uiviwi 即空间铰接点 杆件仅受轴力 即为二力杆元 材料应力应变关系符合虎克定律 线弹性小应变 荷载为节点荷载 荷载为保守荷载 2020 3 18 210 46 210 47 2 单元刚度矩阵 1 虚功方程由虚位移原理 得到的单元平衡方成为 单元的应变能与外力功平衡 2020 3 18 210 47 210 48 2 单元的应变杆单元ij如图示 初始长度为L0 变形后长度为L 原节点坐标为 节点位移为 L0 L i j X Y Z 2020 3 18 210 48 210 49 初始长度为L0为 变形后长度为L为 应变为 其中 2020 3 18 210 49 210 50 应变用矩阵又可表示为 2020 3 18 210 50 210 51 应变增量为 BL BNL 分别为线性和非线性应变 位移矩阵 2020 3 18 210 51 210 52 3 单元的应力 应力增量d 为 2020 3 18 210 52 210 53 4 单元切线刚度矩阵将以上应力 应变关系代入虚功方程 可得平衡方程 对上式微分可得增量形式平衡方程 其中 KT e为空间杆单元切线刚度矩阵 2020 3 18 210 53 210 54 线性刚度矩阵 初位移刚度矩阵 2020 3 18 210 54 210 55 几何刚度矩阵 2020 3 18 210 55 210 56 2 3 3空间梁 柱单元非线性有限元法 梁柱单元理论 用于单层网壳结构 1 基本假定杆件材料为理想弹塑性 节点为刚性节点 每个节点有6个自由度 杆件截面的翘曲及剪切变形忽略不计 网壳节点可经历任意大的位移及转动 但单元本身的变形仍为小变形 小应变 外荷载为保守荷载 且作用于节点上 2020 3 18 210 56 210 57 2 梁 柱单元内力与变形的基本关系局部随动坐标系下 单元内力与变形图示 M13 2020 3 18 210 57 210 58 弯矩 转角关系考虑轴力N的影响 由梁的弯曲理论有以下关系式 其中 2020 3 18 210 58 210 59 当轴力N为拉力时 有以下关系式 用xn代替y 当轴力N为压力时 方程的解为 2020 3 18 210 59 210 60 代入边界条件 可求得弯矩 转角关系 扭矩 扭角关系 轴力 变形关系 2020 3 18 210 60 210 61 上列各式中Min Mjn 单元i端和j端绕xn轴的端弯矩 Mt 扭矩 N 轴向力 以压力为正 in jn 单元i端和j端绕xn轴的转角 t 单元的扭转角 u 单元的轴向缩短 E G 材料的弹性模量和剪切模量 In J 单元截面绕xn轴的惯性矩和扭转惯性矩 L0 L 单元的初始长度和变形后两端点间的弦长 A 单元的截面面积 2020 3 18 210 61 210 62 Cin Cjn 梁 柱单元的稳定函数 Cb2 Cb3 单元由于弯曲变形引起的轴向应变 令 Cin Cjn可确定如下 当 n 0即杆件受压时 2020 3 18 210 62 210 63 当 n 0即杆件受拉时 当 n 0即杆件无轴力时 2020 3 18 210 63 210 64 Cb2 Cb3可确定如下 其中 2020 3 18 210 64 210 65 3 梁 柱单元切线刚度矩阵随动坐标系下 单元内力与变形的矩阵形式为 全量表达式 其中 2020 3 18 210 65 210 66 2020 3 18 210 66 210 67 C 为稳定系数矩阵 2020 3 18 210 67 210 68 单元内力与变形的增量矩阵形式为 增量表达式 t 单元在局部随动坐标系下的切线刚度矩阵 其中 i j 1 6 2020 3 18 210 68 210 69 2020 3 18 210 69 210 70 上式中 2020 3 18 210 70 210 71 I为参考惯性矩 均为对 的导数 2020 3 18 210 71 210 72 局部坐标系下 内力与位移的关系 局部坐标系如图所示 x z y j i X Y Z x y z F8 F11 F12 F9 F10 F7 F2 F5 F6 F3 F1 F4 局部坐标系下内力 整体坐标系下内力 2020 3 18 210 72 210 73 单元内力与位移节点内力 节点位移 由几何关系 平衡关系 可求得两种坐标系下向量关系为 2020 3 18 210 73 210 74 B 称为静态矩阵 且 2020 3 18 210 74 210 75 节点力与位移的增量关系 其中 2020 3 18 210 75 210 76 可得 单元在局部坐标系下的切线刚度矩阵为 2020 3 18 210 76 210 77 结构整体坐标系下 节点位移 节点内力 与局部坐标系下各向量的关系 2020 3 18 210 77 210 78 其中 坐标转换矩阵 R 则 单元在整体坐标系下的切线刚度矩阵为 2020 3 18 210 78 210 79 或 其中 P i 外荷载节点力增量向量 v i 节点位移增量向量i 荷载增量步j 第i荷载增量步中的第j迭代步 4 节点位移的修正和坐标转换矩阵结构非线性平衡方程的增量迭代方程为 2020 3 18 210 79 210 80 1 节点位移的修正 节点方 向 位 置 的修正在增量迭代求解中 位移向量的 叠加 方法 用线性分析理论所求得的位移 包括线位移和转角位移 属于小位移 可以采用叠加原理 直接进行代数叠加 即 用非线性分析理论所求得的大位移 仅线位移可以直接进行代数叠加 而转角位移不属于矢量 则需要通过旋转变换进行修正 2020 3 18 210 80 210 81 节点的方 向 位 置 节点位移增量向量 v i的含义 表示在第i次荷载增加后 节点方向和位置的变化 既包含位置的变化 也包含方向的变化 2020 3 18 210 81 210 82 A 线位移的修正 确定节点 几何中心 的空间位置节点线位移即节点几何中心的平移 可直接采用叠加原理 即相应位移的代数和 2020 3 18 210 82 210 83 B 大转角位移的修正 确定节点 体 的空间方向节点的方向 如何描述 方向余弦 如何修正 向量旋转变换 节点的方向可以用与节点刚性相连的三条互相垂直的直线与坐标轴的方向角或方向余弦来表示 这三条直线的方向余弦构成一个3 3的正交矩阵 称为节点定向矩阵 用 表示 不失一般性 为方便起见 在节点转动之前 可使这三条直线与结构的坐标轴平行 则有 2020 3 18 210 83 210 84 节点定向矩阵的旋转变换 当节点绕某瞬时轴旋转角度 i时 新的节点定向矩阵为 其中 i 第i次旋转时的旋转变换矩阵根据向量旋转变换的几何关系可推得 其中 2020 3 18 210 84 210 85 反之 当定向矩阵已知时 可求得节点转动的三个角位移分量 2020 3 18 210 85 210 86 2 坐标转换矩阵节点定向矩阵 仅确定一个节点的方向 而一个杆件有两个端节点 杆件的坐标转换矩阵 r 需考虑两个端节点的方向变化和杆件的弯曲 单元定向矩阵 坐标转换矩阵 令 pn i pn j分别表示单元ij与两端节点i j相连的端截面的杆端截面定向矩阵 杆端截面定向矩阵与节点定向矩阵不同 它以单元端截面的法线及截面的两条主惯性轴作为确定其空间方位的定向线 2020 3 18 210 86 210 87 单元杆端截面的方向 2020 3 18 210 87 210 88 杆端截面定向矩阵 pn i i i j 的第一列为该单元端截面法线的方向余弦 其余两列分别为该截面两条主惯性轴的方向余弦 在结构未变形的初始状态 单元的两截面定向矩阵相同 且为该单元的定向矩阵 即 由于单元杆端与相应的节点刚性连接 在任一变形状态有 2020 3 18 210 88 210 89 需要注意 当杆件受力变形后 杆件端截面法线通常与杆件轴线不一致或不重合 不能仅通过杆件轴线或某一端截面的定向矩阵来确定杆件的坐标转换矩阵 rn 结构在任一变形状态 单元定向矩阵 rn 的第1列 rn1 根据单元两端节点在该状态下的坐标来确定 即 l m n为单元在对应变形态下杆轴弦线方向余弦 2020 3 18 210 89 210 90 rn 的第2列 rn2 和第3列 rn3 的确定 需先计算杆单元的两个杆端截面相对于两端节点连线即弦线在该状态下的杆端转角 即两个端截面主惯性轴相对于弦线的转角 然后 分别取两个端截面主惯性轴相对于弦线转角的平均值作为整个梁柱单元截面的转角变形 由此平均转角确定单元的方向 也即确定 rn 的第2列 rn2 和第3列 rn3 最后形成单元坐标转换矩阵 rn 2020 3 18 210 90 210 91 由端截面定向矩阵 pn i i i j 与 r1n 之积 即可确定端截面与弦线之间的角度变化 从而得到 rn 的第2列 rn2 和第3列 rn3 2020 3 18 210 91 210 92 而单元的扭角为 令 2020 3 18 210 92 210 93 经推到可得 新的单元定向矩阵 rn 可表示为 2020 3 18 210 93 210 94 2 3 4非线性方程组的求解方法 1 边界条件的引入结构非线性平衡方程求解前 边界条件的引入方法与网架结构求解时相同 2020 3 18 210 94 210 95 2 非线性有限元增量平衡方程在静力分析中 在时刻t 任一非线性系统处于平衡状态时 其内外力应保持平衡 即 全量方程 其中 R t 外荷载向量 F t 内力向量在t t时刻 当外荷载增加 或有残余力 时 系统不平衡 则相应的增量平衡方程应为 2020 3 18 210 95 210 96 此时 外荷载增量为 也可表示为残余力 或 2020 3 18 210 96 210 97 在静力非线性增量迭代求解中 常以增量步i代替时刻t 则增量平衡方程为 或 对于单参数比例加载系统 上式可写为 式中 P0 为参考荷载向量 是外荷载的模式向量 i 为第i次荷载因子 2020 3 18 210 97 210 98 3 非线性平衡路径的跟踪方法计算非线性荷载 位移曲线上的一系列具体点 1 牛顿 拉夫森 Newton Raphson 增量迭代法网壳结构非线性分析方法为线性化增量迭代法 非线性有限元法中 增量迭代方程为第一次迭代 j 1 或 上次迭代结束后的残余力 2020 3 18 210 98 210 99 求残余力 判断平衡条件 通常不满足 第二次迭代 j 2 判断平衡条件 是否满足 求残余力 是否满足 2020 3 18 210 99 210 100 直到满足收敛条件 求残余力 第j次迭代 判断平衡条件 是否满足 是收敛判定阈值 即门槛 常取10 3 弹性 2020 3 18 210 100 210 101 为第i荷载增量步的荷载增量 为第i荷载增量步第j次迭代时的残余力向量 为第j次迭代得到的节点位移增量向量 KT i为第i次荷载增量步开始时 也即第i 1次增量步完成时的结构总体切线刚度矩阵 其中i为第i次荷载增量步 j 1和j为在第i荷载增量步中的第j 1和j次迭代 2020 3 18 210 101 210 102 若作用于结构上的荷载为单参数比例荷载 则增量迭代方程可改写为 第i次荷载增量步内的迭代计算 式中 P0 为参考荷载向量 是外荷载的模式向量 i 为第i增量步的荷载因子增量 平衡条件 2020 3 18 210 102 210 103 修正的牛顿 拉夫森法的几何意义 迭代方向 2020 3 18 210 103 210 104 牛顿 拉夫森的特点与问题 a 每个荷载增量步内 总荷载不变 b 在极值点 KT 奇异 迭代发散 计算中断 c 无法求得后屈曲平衡点 即跟踪不到曲线的下降段 d 平衡路径 曲线 非线性程度愈高 愈弯曲 达到收敛精度所需要的迭代次数愈多 e const 的水平荷载线与切线 KT 愈接近垂直 迭代收敛愈快 即牛顿法适合于线性程度好的平衡路径计算 2020 3 18 210 104 210 105 2 历史上曾采用的方法为了克服牛顿 拉夫森法不能跨越极值点的缺点 学者们曾经提出和应用的方法 人工弹簧法 在可能奇异的自由度方向事先增加弹簧 消除奇异 仅适用于简单结构 位移控制法 在所有位移分量中 找出某一单调增加的主位移 作为控制迭代过程的参数 也仅限于主位移易定且单调的情形 当前刚度参数法 CurrentStiffnessparametermethod 由Bergon首先提出 但仍不能有效控制增量迭代过程 2020 3 18 210 105 210 106 3 增量迭代的弧长控制法a 弧长法的概念由牛顿法可知 const 的水平荷载线与切线 KT 愈接近垂直 迭代收敛就愈快 则可设法构造一种迭代方法 使迭代的前进方向和切线 KT 尽可能垂直 这样也就是迭代的前进方向和曲线接近垂直 则迭代计算过程既收敛速度快 又可跨越极值点 迭代的前进方向和曲线接近垂直 也就是迭代的方向接近于曲线的法线方向 如果将某一迭代步内的曲线段近似看作直线 以这段直线为半径 以上次迭代收敛点为圆心 则这个圆弧相对于计算曲线而言 就是要找的迭代路径 2020 3 18 210 106 210 107 迭代方向 称为迭代向量的方向 迭代方向 半径 2020 3 18 210 107 2020 3 18 210 108 210 109 上述直线段即为半径 可表示为 li 实际上是平衡路径曲线上的一段弧长 由 li来控制迭代过程的方法称为弧长法 li的大小在一个荷载增量步内的每次迭代中可保持不变 当 li的大小在每个荷载增量步内恒保持不变时 称为等弧长法 弧长法是一个在n 1维空间中 n维位移空间 1维荷载空间 进行计算的方法 荷载 i在计算过程中不再保持不变 而是随着约束弧长 li变化 计算过程增加一个弧长约束方程 2020 3 18 210 109 210 110 弧长法首先由Riks和Wempner于70年代提出 后经Crisfield和Ramm等修正 我国也有很多学者在此方面作了大量研究工作 弧长法是目前非线性路径跟踪分析效果最好 应用最广的迭代控制方法 i为荷载步i的总荷载增量 v i为荷载步i的总位移向量增量 2020 3 18 210 110 210 111 b 等弧长法 3个基本方程每个荷载增量步 第i步 的线性化增量方程式 在j 1的第1次迭代时 牛顿法 在j 1的后续迭代步 弧长法修正 迭代约束方程为 校正项 残余力项 1 2 3 2020 3 18 210 111 210 112 2020 3 18 210 112 210 114 广义弧长 增量 li令n 1维荷载 位移空间向量 r i为 向量 r i的意义为荷载增加 i后 所得到的位移向量增量为 v i 则该空间中的广义弧长为 2020 3 18 或 210 114 210 115 通过在 i前面增加一个参数 可改变弧长法计算策略 得到不同的迭代方法和计算速度 根据参数 的不同取值 可定义不同的弧长法 在弧长法迭代求解中 弧长约束方程通常主要有三种形式 即球面弧长法 柱面弧长法和椭球面弧长法 0 柱面弧长法 1 球面弧长法 Spi 椭球面弧长法 2020 3 18 210 115 210 116 式中 c 增量迭代中位移向量的分解由线性化增量方程式 j 2 求得的位移向量 可分解为 2020 3 18 210 116 210 117 ri li 2020 3 18 210 117 210 118 在任一次荷载增量步i中 第j次迭代后的本荷载增量步内位移增量总和及相应的荷载因子增量总和分别为 注意 位移向量的叠加 应注意大转角位移 须经过转角旋转变换进行修正 位移增量总和 荷载因子增量总和 2020 3 18 210 118 210 119 d 沿法平面迭代的弧长法 变弧长 原理 迭代向量 法线 与切线 KT 向量垂直 即线性化迭代沿法线方向逼近精确解点 方法 图示为沿法平面迭代的过程路线图 设i 1为已求得的平衡路径上的平衡点 要迭代求得i点 先求i 1的切线 式中 2020 3 18 210 119 210 120 沿法平面迭代路线 2020 3 18 210 120 210 121 2020 3 18 210 121 210 122 也可称为初次迭代向量 后继迭代向量为第j j 1 次迭代向量 后继迭代向量应沿着与切线垂直的方向即法线 或法平面 方向进行 即 2020 3 18 210 122 210 123 由此可得 在任一后续迭代步 j 2 的荷载因子增量 利用荷载因子增量 不断修正迭代过程 直到迭代过程收敛到预定的收敛精度 特点 常用于屈曲前迭代或无回跳路径 速度快 收敛效果良好 但不能跟踪有回跳 Snap back 的屈曲路径 2020 3 18 210 123 210 124 e 球面弧长法 等弧长法 原理 法平面迭代不能跟踪有回跳 Snap back 现象的路径 对于有回跳现象的路径 需要在迭代中限定弧长 以保证迭代计算收敛到预期的路径曲线点上 与法平面法的区别 球面弧长法中 在每个荷载增量步 li在每次迭代中保持不变 而在法平面迭代中 li在每次迭中是变化的 2020 3 18 210 124 210 125 沿法平面迭代的弧长法 2020 3 18 210 125 210 126 沿球面迭代的弧长法 2020 3 18 210 126 210 127 2020 3 18 210 127 210 128 方法 图示为球面弧长法迭代过程路线图 设第i增量步第j次迭代结束后 本增量步的位移增量和为 荷载因子增量和为 2020 3 18 210 128 210 129 弧长法约束方程为 而 2020 3 18 210 129 210 130 将有关变量代如弧长法约束方程 则有 其中 2020 3 18 210 130 210 131 求解二次方程 可得第i荷载增量步 第j次迭代时的荷载因子增量 2020 3 18 210 131 210 132 的根的确定方法 a 虚根说明 li偏大 计算发散 应减小 li 重新迭代计算 通常取 li 2 li b 两个实根 不相等 则以两个实根分别求及且求点积 2020 3 18 210 132 210 133 取 1 2中为正值者所对应的根 正值所对应的根 表示向量和之间夹角为锐角 也即计算方向是向前的 没有回退 若 1 2均为正值 则取与线性解最接近的根 线性解为 c 两个相等的实根 2020 3 18 210 133 210 134 f 各荷载增量步初始荷载因子的确定方法既是第i荷载增量步第j 1次迭代时的荷载因子增量的确定 此时 li已知 在第i 1荷载增量步迭代收敛后 可认为残余力 i为0 则第i荷载增量步第j 1次迭代时的增量方成为 2020 3 18 210 134 210 135 由弧长法约束方程 有 因 li已知 可得 2020 3 18 210 135 210 136 的正负号常根据当前刚度参数Spi的正负号确定 即 Spi的正负号说明结构平衡路径位于上升段或下降段 上升段Spi 0 下降段Spi 0 当Spi 0时 说明结构平衡路径位于峰点或谷点 即具有水平切线的点 则应根据Spi 1的正负号判定 若Spi 1为正 说明Spi 0位峰点 下一步曲线下降 应取负值 反之取正值 若Spi 1为负 则相反取值 2020 3 18 210 136 210 137 g 初始弧长 l1的确定方法第一荷载增量步 i 1 是迭代分析的起始增量步 常采用一次线性分析计算完成 即进行一次线性求解即可 先预先设定荷载增量 1 然后由线性方程求解 得到 v 1 再由弧长方程可求得 l1 l1作为第2 i 2 荷载增量步的弧长计算参考值 2020 3 18 210 137 210 138 h 后续荷载增量步弧长 li的确定方法后续荷载增量步 i 1 li的确定 常采用经验公式 通过预定的每个荷载增量步迭代收敛时所需要的期望迭代次数 与上次迭代收敛实际需要的次数之间的某种关系来调节 li的大小 经验公式为 N1 预先设定的迭代收敛时所需要的期望迭代次数N2 上次迭代收敛时实际所用的迭代次数 2020 3 18 210 138 210 139 i 弧长控制迭代法的计算步骤 线性计算 i 1 形成结构线性刚度矩阵 Ke 并预定 1 由 求得 v 1 进而得到 l1 从第 步 i 2 开始 非线性增量迭代计算 2020 3 18 210 139 210 140 计算弧长增量 li i 2 计算本增量步第一次迭代荷载因子增量 i 2 计算当前刚度参数Spi 2020 3 18 210 140 210 141 计算本增量步第j j 2 次迭代荷载因子增量 沿法平面迭代 沿球面迭代 调整迭代路径的荷载增量修正项 2020 3 18 210 141 210 142 收敛准则常用的收敛准则为 上式适用于弹性分析 对于弹塑性分析 应采用能量标准 2020 3 18 210 142 210 143 4 当前刚度参数 Currentstiffnessparameter Spi的概念及其计算方法 Bergon a 荷载增量与位移增量的正规化荷载增量向量 P i位移增量向量 v i向量正规化 单位荷载向量 单位荷载作用下的位移向量 2020 3 18 210 143 210 144 b 荷载增量所作的功正规化荷载增量所作的功为 wni 实际上表示单位力作用下的位移 也就是一种柔度 其倒数表示结构的一种刚度 记为 2020 3 18 210 144 210 145 反映结构的当前刚度 大 即 wni小 说明 P i产生的位移小 结构当前刚度大 小 即 wni大 说明 P i产生的位移大 结构当前刚度小 2020 3 18 210 145 210 146 c 当前刚度参数定义和计算方法当前刚度参数 Currentstiffnessparameter 由Bergon提出 具体形式为 2020 3 18 210 146 210 147 上式中 P 1 v 1为非线性求解过程中 i 1的第一个荷载增量步时的荷载增量向量和位移增量向量 在非线性迭代求解之初 P 1 v 1常对应于线性解 在非线性求解计算中 Spi的初始值Sp1为 在后续迭代求解中 Spi值增加即Spi 1 0 表示结构硬化 Spi值减小即Spi 1 0 表示结构软化 2020 3 18 210 147 210 148 Spi 1 0 表示结构硬化 Spi 1 0 表示结构软化 2020 3 18 210 148 210 149 Spi 0 0 表示位移与荷载同向 或位移由荷载产生 结构平衡是稳定的 Spi 0 0 表示位移与荷载反向 或位移不是由荷载产生 结构平衡是不稳定的 Spi 0 0 荷载不增加 位移仍增加 或荷载很小的波动 将产生很大或无限大的位移 结构处于临界状态 该点为极值点 2020 3 18 210 149 210 150 在单参数比例荷载模式中 则Spi可表示为 引入切线刚度矩阵 则Spi可表示为 2020 3 18 210 150 210 151 d 当前刚度参数的特性以具有Snap through特征的荷载 位移曲线为例 荷载 位移曲线上的极值点 max和 min所对应的当前刚度参数Spi 0 此时结构切线刚度矩阵 KT i奇异 Spi 0 表示结构处于稳定平衡 或者结构势能的二次变分 v iT KT i v i正定 Spi 0 表示结构处于不稳定平衡 或者结构势能的二次变分 v iT KT i v i负定 2020 3 18 210 151 210 152 当前刚度参数的特性曲线 2020 3 18 210 152 210 153 在非线性问题中 Spi反映结构平衡路径上所计算点的平衡性态 稳定或不稳定 Spi的变化越剧烈 说明结构在荷载作用下变形剧烈或变形很大 也即结构发生剧烈变形或屈曲失稳 Spi 0 表示计算点i位于结构平衡路径曲线的上升段 P i增加 则 v i增加 Spi 0 表示计算点i位于结构平衡路径曲线的下降段 虽然 P i减小 但 v i仍然增加 否则 结构不能维持平衡状态 2020 3 18 210 153 210 154 5 预定荷载水平的计算方法 改进弧长法常规弧长法 可求得结构屈曲平衡路径上一系列平衡点 但这些点均是在自动跟踪计算中由程序搜索求得的 难以甚至不可能求得结构在某一预先给定荷载水平下的变形及应力状态 而某一确定荷载水平的获得往往是设计或研究中非常需要甚至是很重要的数据 要确定预定荷载 s 需要对弧长法进行改进 引入广义弧长的概念 可通过控制弧长参数增量的方法 获取预定荷载水平的数值解 2020 3 18 210 154 2020 3 18 210 155 210 156 设广义弧长l为荷载因子 的函数 即 令 s为预先指定需要计算的荷载水平 当增量迭代计算收敛到 s的附近且 i s时 为使下一步的迭代计算收敛到 s 将l ls在 i的附近展开 有 或 2020 3 18 210 156 210 157 略去展开式中的高阶项 二次以上项 可求得由 i收敛到 s的弧长参数增量 ls为 由于l 为难以表达的隐函数 上式中的导数难以求得 可采用差分近似代替 2020 3 18 210 157 210 158 则在弧长参数为 ls时 该增量步第一次迭代时的荷载因子为 s的精确求得 需要经过多次反复利用以上公式修正 ls并进行迭代 通常需要2 3次反复即可达到预期目标 或 2020 3 18 210 158 210 159 6 预定位移水平的计算方法 改进弧长法常规弧长法 可求得结构屈曲平衡路径上一系列平衡点 但这些点均是在自动跟踪计算中由程序搜索求得的 难以甚至不可能求得结构在某一预先指定位移水平下的变形及应力状态 但在抗震分析时 要用到结构的滞回曲线 而确定滞回曲线就需要使指定点的位移收敛到给定值 常规弧长法难以做到 要确定预定位移 u ums 需要对弧长法进行改进 引入广义弧长的概念 可通过控制弧长参数增量的方法 获取预定位移水平的数值解 2020 3 18 210 159 210 160 设广义弧长l为荷载因子 的函数 即 令ums为预先指定的位移水平 当增量迭代计算收敛到ums的附近且umi ums时 为使下一步的迭代计算收敛到ums 将l ls um 在um umi的附近展开 有 2020 3 18 210 160 210 161 略去展开式中的高阶项 二次以上项 可求得由umi收敛到ums的弧长参数增量 ls为 由于l u 为难以表达的隐函数 上式中的导数难以求得 可采用差分近似代替 2020 3 18 210 161 210 162 则在弧长参数为 ls时 该增量步第一次迭代时的荷载因子为 ums的精确求得 需要经过多次反复利用以上公式修正 ls并进行迭代 通常需要2 3次反复即可达到预期目标 非单调递增位移 或 2020 3 18 210 162 210 163 2 3 5网壳单元的内力 得到结构节点位移后 通过回代法可求得构件内力 在求得结构节点位移后 由总体坐标系下位移与局部坐标系下位移的关系求得杆端变形 再由杆端变形与杆端力的关系式计算杆件内力 与其他有限元方法相同 根据得到的内力 进行杆件 节点设计验算 根据得到的位移 进行结构变形设计验算 略 2020 3 18 210 163 210 164 2 4网壳的稳定性设计与验算2 4 1网壳整体失稳现象 1 整体失稳变形的形式根据网壳整体失稳时失稳变形波及的范围 分为 整体失稳和局部失稳根据网壳整体失稳时构件是否出现塑性变形 分为 弹性失稳和弹塑性失稳 2020 3 18 210 164 210 165 1 整体失稳变形几乎整个结构或结构的大部分出现偏离平衡位置而发生大的几何变形或变位 这样的屈曲现象称为结构的整体失稳 整体失稳形态有 大面积凹陷或凸起 波浪状或条状起伏 2020 3 18 210 165 210 166 2020 3 18 210 166 210 1