湖南师大附中2010届高三第七次月考.doc

湖南师大附中2010届高三第七次月考数学（理科）命题：吴锦坤 廖民先 贺仁亮 贺中良 李晓平 刘继承 审题：朱海棠 杨希本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于 （ B ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】因为，则对应的点位于第二象限，故选B.2.若，且，则向量的夹角为 （ A ） A. 45 B. 60 C. 120 D.135【解析】由 ，得，即 ，所以.因为，则，又，则，故选A.3.设集合，则满足条件的集合P的个数是（ C ）A1 B3C4 D8正视图 侧视图 俯视图 4 4 3【解析】因为，由，得，且0P，这样的集合P共有4个，故选C. 4.已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是（ B ）A. 24 B. 36PABCDC. 36 D. 36【解析】该几何体在四棱锥PABCD，其中底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，且AD4，AB3，PA4，如图.易得各侧面都为直角三角形，计算得，其表面积为36，故选B.5.某中学高三年级共有12个班级，在即将进行的月考中，拟安排12个班主任老师监考数学，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任老师监考，则不同的监考安排方案共有 （ A ） A. 4455种 B.495种 C.4950种 D.7425种【解析】监考安排方案共有种，故选A.6.已知双曲线，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为 （ B ）A. 8 B. 9 C. 16 D. 20【解析】由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16.OACBDP据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16412，即，所以，故选B.7.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD3，点P为BCD内（含边界）的动点，设，则的最大值等于 （ B ）A B C D 1【解析】以O为原点，以OD所在直线为x轴建立直角坐标系，设点P（x，y），则，所以.设，根据可行域知，当点P为点B时，最大，其最大值为，故选B.8.已知映射.设点，点M 是线段AB上一动点，.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为 （ C ）A B C D【解析】直线AB的方程为xy4，设点M(m，n)，则， 即，.因为mn4(1m2)，则.所以点的轨迹为一段圆弧，且圆心角为，所以弧长为，故选C.二填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上.开始是输入p结束输出否np?9.执行右边的程序框图，若，则输出的.【解析】.10.设极点与原点重合，极轴与轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：，曲线C2参数方程为：(为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是1，3【解析】将两曲线方程化为直角坐标坐标方程，得C1：，C2：.因为两曲线有公共点，所以，即1m3，故m1，3.11.给出下列四个命题：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位.其中正确命题的个数是 3 个.【解析】是系统抽样；全对，故共有3个正确命题.12.设等比数列的前项和为，已知，则 21 .【解析】因为，又且为等比数列，又也成等比数列，即成等比数列，则PABOCD13.如图，PA切于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为【解析】PA切于点A，则PAO为直角三角形.又B为PO中点，则ABOBOA，所以.在POD中，由余弦定理，得故.14.函数的图象如图所示，则的表达式是.【解析】由图知，周期，所以2.又，所以k1.因为，则.由，得.故.15.设都为正数，且，则的最小值是.【解析】由柯西不等式，得，所以.三解答题：本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤。16.（本题满分12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人.（）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（）设这2人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望.【解析】（）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，. （4分）因为事件A，B互斥，则.故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是. （6分）（）据题意，的可能取值为0，1，2. （7分）其中，. （10分）012（11分）所以的分布列是：所以. （12分）17.（本题满分12分）PABCDE在四棱锥中，底面，为的中点，()求四棱锥的体积；() 求二面角的大小【解】（）在中，因为，则，. （2分）在中，因为，则，. （3分）所以.（5分）故. （6分）（）取的中点，连结，则，所以平面.过作于，连接，则为二面角的平面角. （9分）因为为的中点，则. （10分）又，所以，即.故二面角的大小为. （12分）18.（本题满分12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OMR ，OB与OM之间的夹角为.ABCDMOPQF（）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.（）若 R45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)【解】（）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，. （4分）所以 ，. （8分）（）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值. （10分）.故当时，矩形ABCD的面积S有最大值838.35m2. （12分）12 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 1519.(本题满分13分)把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数.设（i、jN*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数. （）若2010，求i和j的值；（）记N*)，试比较与的大小，并说明理由.【解】（）因为数表中前i1行共有个数，则第i行的第一个数是，所以. （2分）因为，2010，则i110，即i11 （4分）令，则. （5分）（）因为，则N*). （6分）所以.所以. （7分）检验知，当，2，3时，即. （8分）猜想：当时，. （9分）证法一：当时, . （12分）综上分析，当时，；当时，. （13分）证法二： 当时，所以成立.（10分） 假设当时，不等式成立，即.则.因为，所以，即当时，猜想也正确.由、得当时, 成立. 综上分析，当时，；当时，. （13分）20.（本题满分13分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆的标准方程；（）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解】（）设椭圆方程为(ab0). （1分）因为，得.又，则.故椭圆的标准方程是. （5分）（）由椭圆方程知，c1，所以焦点F(0，1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2) （6分）由，得(x1，1y1)(x2，y21)，所以x1x2，1y1(y21). （7分）于是.因为，则y12y2. 联立y12y2和1y1(y21)，得y1，y2. （8分）因为抛物线方程为yx2，求导得yx设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1，l2，则直线l1的方程是yx1(xx1)y1，即yx1xx12. （9分）直线l2的方程是yx2(xx2)y2，即yx2xx22 （10分）联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为. （11分）因为x1x2x224y24. 所以点M （12分）于是，(x2x1，y2y1).所以(x22x12)2(x22x12)0.故为定值0. （13分）21.（本题满分13分）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.（）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；（）设是（）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；（）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.【解】（1）对于函数，当时，.当或时，恒成立，故是“平底型”函数.（2分）对于函数，当时，；当时，,所以不存在闭区间，使当时，恒成立.故不