2010年A题《储油罐的变位识别与罐容表标定.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，我们建立了积分方程模型。从计算油面高度与储油体积的函数关系出发，考虑有无变位及纵向、水平偏转对罐容表测量的影响，建立更加合理的标定罐容表模型。问题（1），对于无变位且几何外形规则的小椭圆型储油罐，首先通过几何及积分运算，得到罐内储油量的函数表达式，建立模型一，然后对求得的模型进行误差分析和修正。当a=4.1时，在无变位情况下修正模型一的基础上，建立模型二，利用附件1中的实验数据，计算模型二的误差值，从而再次修正由积分得到的理论模型。然后用实际数据做出检验，得到修正后的相对误差，说明模型的修正取得了很好的效果。利用修正后的模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（详见表1），取部分数值如下：高度/cm油量/L高度/cm油量/L高度/cm油量/L高度/cm油量/L11.2 31611.5 611805.2 913057.5 23.4 32646.4 621847.9 923096.1 36.5 33681.7 631890.7 933134.4 问题（2），对于两端是球冠体，中间是圆柱体的储油罐，首先考虑无变位情况下实际储油罐两端球冠中的油量体积，继而考虑纵向倾斜角度的情况，可以通过油罐中倾斜液面的平均高度简化为水平液面的液面高度近似计算。而中间的圆柱体，在模型二的计算基础上进行了模型的改进。将三部分的油量体积值相加，可以得出储油罐内油量关于纵向倾斜角度a和油位高度的函数表达式。由几何关系可知储油罐内实际油位高度与显示油位高度和横向偏转角度有关，通过模型六的建立，求解出实际油位高度与显示油位高度的转化关系式，从而对罐容表重新进行标注。再利用附件2的数据，求得出油量相对误差的平均值，以平均相对误差最小作为目标函数，用matlab编程优化出变位参数=2.5，=2.2。最后将变位参数代入模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。关键词：罐容表标注 变位识别 枚举法2 问题重述生活中常用罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。储油罐常在使用一段时间后，发生罐体的位置发生变位，从而导致罐容表发生改变。按照规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。3 问题分析通过建立数学模型，求得罐内油量关于纵向倾斜角、横向倾斜角及油位高度的函数关系，解决罐容表的重新标定。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据数学模型确定变位参数，解决储油罐的变位识别问题。3.1 问题一的分析当油罐无变位时，油的体积为油的侧面积与油罐长度之积。当油罐纵向倾斜角时，油面相对于水平面的高度为，油量的计算将随着的变化而改变。当和将油量计算分成了三种情况。由于探针、注油管和出油管具有一点的体积，以及随着油面的升高，油的压强的变化，会使计算量与测量量之间存在误差，综合考虑各方面的因素，可以达到误差与油面高度的关系，在可调节误差范围内，使得计算值更接近于测量值。3.2 问题二的分析：实际的油罐与实验用的油罐主要区别在于多出两端球冠体。将油罐的体积分为中间圆柱体和两端球冠体三个部分来计算。圆柱体的体积计算与问题一的计算方式类似。两端的球冠体将根据油面相对于水平面的高度的不同，计算球冠中油的体积、高度与纵向倾斜角、横向倾斜角的关系。将球冠体积油量与圆柱体油量相加得到总的油量与高度，纵向倾斜角，横向倾斜角，根据所给的测量数据，代入不同的，得到多个的关系式，从而可以解出。即可得到油量与的关系，取不同的值，对罐容表重新标注。4 条件假设与符号说明4.1问题的假设(一) 假设问题（2）中的；（二）假设对球冠体积的近似计算产生的误差对结果不造成太大影响（三）假设假设油面最高达到探针口4.2 符号说明符号含义油面距水平高度 纵向偏移角（弧度）横向偏移角（弧度）椭圆或圆的弓形面积(m2)椭圆长半轴长椭圆短半轴长 储油罐的底面长度 储油体积(m3)左球冠油量体积右球冠油量体积问题二圆柱半径，常量邻界高度用于说明某些问题提出的高度用于说明某些问题提出的圆的半径，变量5 模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1模型一当油罐无变位时，油罐的侧面图如图1所示，建立如图所示坐标系。 图1 油罐侧面图当油面高度为h时，侧面图上阴影部分面积表达式：s=dxdy=-bh-b21-y2b2a2dx=2a-bh-b1-y2b2 dx=abarcsinh-bb+ab2+ab(h-b)b2-(h-b)2可求得储油体积表达式：V(h)=sL=abarcsinh-bb+ab2+ab(h-bb2-(h-b)2)L利用所建模型，并结合附表1中油位高度的数据，通过matlab编程，得到理论计算罐容量值。将计算得到的预测值与附表中给出的测量值，代入matlab中，比较结果如图2：图2 无变位时预测值与测量值预测值与测量值的差值，可得如图3：图3 差值（进油量/L油位高度/mm）模型一的误差分析：测量值与计算值之间的误差值与高度值间的函数关系式近似为一条直线，查阅相关资料。探针、注油管和出油管具有一点的体积。探针的直接大约为，而注油管与出油管一般为直接，管壁厚为的空心圆柱体。同时，随着油量高度的上升，油罐内部的温度、压强等因素将发生改变，油的实际体积也会受到影响。综合考虑各因素，给出上述因素对计算值的影响关系为。模型一的改进：根据上述误差的分析，对模型进行改进，考虑温度压强，已经管道自身的体积对油量的影响，通过计算改良后的预测值与测量值的差值，可得如图4：图4 差值（进油量/L油位高度/mm） 由相对误差=|预测值-测量值|测量值，可得图5：图5 相对误差经过改进，计算值与测量值更加接近，相对误差。5.1.2模型二油罐纵向变位且变位角度为。探究罐体变位后对罐容表的影响，根据变位后油面可能处于不同的位置，考虑到当油面超过探针口时，随着油面的上升，探针已经失去了显示的意义，因此可确定三个端点、（如图6）分三种情况进行求解。图6 油罐拋面图（一）当油面水平高度小于时：（如图7）。图7 油罐剖面图将图7中油量的剖面单独取出分析，建立如图8所示直角坐标系，根据几何关系，可做出图8中的边长表达式，设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h。图8 油部结构坐标系当Y=y时：h=hsin-ytan=hcos-ytans=abarcsinh-bb+ab2+ab(h-b)b2-(h-b)2可求出储油体积：V=-0hsins dy=-1tanhcos0s dh表达式中的范围为：0.4sinh2.45sin（二）当油面处于水平高度小于时：如图9所示：图9 油罐剖面图与（一）同理，建立的y0z直角坐标系（如图10），根据图9的角度、长度表达式，可做出图10中的边长表达式。设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h。 图10 油部结构坐标系当Y=y时：h=L-ytan+hcos-tan=hcos-ytans=abarcsinh-bb+ab2+ab(h-b)b2-(h-b)2表达式中h的可行范围为： 2.45sinh1.2cos（三）当油面水平高度大于小于时：如图11所示：图11 油罐拋面图取图11油罐无油的剖面，如图12建立直角坐标系，根据图11的角度、长度表达式，可做出图12中的边长表达式，设在0y方向上，y点处与0z方向平行高度为h。 图12 油部结构坐标系可求出高度表达式：h=0.6tan-hsin+L-ytan代入图1中的表达式：s=abarcsinh-bb+ab2+ab(h-b)b2-(h-b)2可求出油面体积：表达式中h的可行范围为： 1.2cosh1.2cos+2.45sin模型求解：模型中所使用的高度为油面与水平面之间的高度，而实际标注的为探针所测得的油面高度，事实上，与存在着线性关系，如图13：图13油罐剖面图根据几何关系可以求出。利用所建模型，并结合附表1中油位高度的数据，考虑模型一中提出的误差，通过matlab编程，得到理论计算罐容量值。比较预测值与测量值，可得到如下折线图：图14 有变位时预测值与测量值（进油量/L油位高度/mm）通过图14可以发现，利用模型求出的油高和测量值非常吻合，因此可以利用模型建立新的罐容表如表一：表1 罐体变位后的罐容表标定值高度/cm油量/L高度/cm油量/L高度/cm油量/L高度/cm油量/L11.2 31611.5 611805.2 913057.5 23.4 32646.4 621847.9 923096.1 36.5 33681.7 631890.7 933134.4 410.6 34717.5 641933.5 943172.3 516.0 35753.8 651976.4 953209.8 622.5 36790.6 662019.2 963246.9 730.4 37827.7 672062.1 973283.5 839.6 38865.3 682104.9 983319.8 950.3 39903.3 692147.7 993355.5 1062.4 40941.6 702190.5 1003390.8 1176.1 41980.3 712233.3 1013425.5 1291.4 421019.4 722275.9 1023459.7 13108.3 431058.7 732318.5 1033493.4 14126.8 441098.4 742361.0 1043526.4 15148.8 451138.3 752403.4 1053558.9 16170.6 461178.5 762445.7 1063590.7 17193.8 471219.0 772487.9 1073621.8 18218.1 481259.7 782529.9 1083652.2 19243.5 491300.7 792571.8 1093681.8 20269.8 501341.9 802613.5 1103710.7 21297.1 511383.2 812655.0 1113738.7 22325.3 521424.8 822696.3 1123765.9 23354.3 531466.5 832737.5 1133792.1 24384.1 541508.4 842778.4 1143817.3 25414.6 551550.5 852819.1 1153841.4 26445.9 561592.7 862859.5 1163864.3 27477.8 571635.0 872899.7 1173885.9 28510.3 581677.4 882939.6 1183924.529543.5 591719.9 892979.2 1193948.630577.2 601762.5 903018.5 1203972.3罐体变位后对罐容表的影响（左无变位，右有变位）： 图2与图13预测值与测量值（进油量/L油位高度/mm）通过对比无变位、变位后油面水平高度与储油体积的图像走向，我们可以得知，随着油面水平高度每单位增高，变位后的储油体积增长率大于无变位的储油体积，且所测得最低容量比无变位时大。变位后，罐容表最低刻度变大，同单位刻度间隔变小。按照如图2与图13中进油量与高度的关系，将罐容表重新进行标定。5.2 问题二的模型建立与求解5.2.1 模型一：求解半径为高度为的弓形面积，如图15：图15 左视抛面图根据几何关系得到弓形面积与圆的半径和高度之间关系为：（1）5.2.2模型二 球冠油量计算仅考虑油罐发生纵向变位，偏移的角度为，求解两个球冠的油量。5.2.2.1左球冠：当 ，建立如图所示坐标系：图16 左球冠剖面图圆方程： （2）油面直线方程： （3）由方程（2）、（3）：x=-1.6252-(y-1.5)2+1.625x=-1tany+1+hsin 解出油面方程与圆方程的角度纵坐标同时，可以列方程求出直线与油面方程的交点对于特定的，延平面截左球冠所的圆的半径r=1.625+1.6252-y-1.52-1.625=1.6252-y-1.52 同时可以求出：h=1.6252-y-1.52 , &yhcos根据方程（1）左球冠油量当，左球冠油量为一定值。5.2.2.2 右球冠：当时，球冠中油量；当时，建立如图所示坐标系：图17 右球冠剖面图球冠剖面所在圆方程：(x+1.625)2-(y-1.5)2=1.6252 (4)油面直线方程：y=-tan(x-hsin-8) (5)由方程（4）、（5）：x=-y2+3y+2564-1.625x=-1tany+hsin-8解出油面方程与圆方程的角度纵坐标同时，可以列方程求出直线与油面方程的交点对于特定的，延平面截左球冠所的圆的半径可得出：h=-y2+3y+2564-1.625,0yy1-1tany+hsin-7,y1y-7tan+hcos根据（1）中的截面面积： 右球冠中油量：5.2.3 模型三 圆柱体油量计算圆柱体油量计算与问题一类似，模型的建立与问题相同，只是面积的表达公式不同，在此不再赘述。仅对问题一的模型计算方法做一些改进（一）当油面处于水平高度h1时，储油体积的计算方式与问题一相同。（二）当油面处于水平高度h2时：设油罐与地面的截面夹角为，油罐底边长为L（如图18）。由于为油面中点，三角形A0B与三角形E0F全等，所以梯形ABCDE面积与矩形BCDF面积相等。储油体积可看作，求解以BC弓形面为底面，CD为高的柱体。图18 油罐拋面图根据油面高度求解油面中心到罐底的距离：S=r2arccos1-hrh2+2rh(r-h) 代已知罐体半径：可求出储油体积：V=SL（三）当油面处于水平高度h3时：设油罐与地面的截面夹角为，油罐底边长为L（如图19）。图19 油罐拋面图根据勾股定理求解出油罐的总高：h=Lsin+acos既而求解出空余空间的高：h=h-h=Lsin+acos-h记情形一的体积公式为，则情形三的体积公式为V3=r2L-V1(Lsin+acos-h)5.2.4 模型四在前三个模型的基础上考虑横向变位，偏移角度为由于油罐具有高度对称性，因此横向偏移并不会导致油罐内油的分布，横向偏移仅会影响油量高度的测量，如图20： 图20 横向偏转倾斜后正截面图为不考虑横向变位时，探针测得的油高，为出现横向偏移时实际测得的油高，根据的几何关系可知：；在根据问题一算出的油面与水平面的高度与的关系，可以得到，当考虑横向和纵向偏移后与 关系：5.3 模型求解：5.3.1模型一的求解考虑到积分无法准确计算，为简化计算，根据假设（一），近似认为， 。依据辛普森公式，近似计算出左右球冠油量5.3.2 模型二的求解根据模型所给出的体积公式，利用matlab编程求解三种情形对应的体积公式5.3.3 值的确定 依据假设，所给数据处于情形二，则当油高去所给数据的值时，油量体积。参照数据可以达到油量差与油高差之间的函数对应关系，通过MATLAB，对和进行二次拟合，拟合曲线方程