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第二章数学基础 沈忠良讲师 理工大学通信工程学院 无线通信教研中心联合战术通信教研室 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 2 第2章的主要内容 2 1信号系统基础 1st 2 2概率论基础 2nd 2 3随机过程的一般表述 3rd 2 4平稳随机过程及其数字特征 3rd 2 5高斯噪声 4th 2 6正弦波加窄带高斯噪声 4th 2 7随机信号通过线性系统 5th 2 8周期平稳随机过程 自学 2 9数理统计简介 自学 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 3 2 1 1信号的分类及其典型信号 确知信号与随机信号周期信号与非周期信号连续信号与离散信号模拟信号与数字信号因果信号与非因果信号能量信号和功率信号实信号与复信号 一 信号的分类 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 4 二 典型信号 正弦 余弦信号Sa函数 抽样函数 单位阶跃信号单位矩形脉冲信号符号函数冲激信号 2 1 1信号的分类及其典型信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 5 二 典型信号 正弦 余弦信号 2 1 1信号的分类及其典型信号 幅度 单位V A等 反映信号强度 频率 单位Hz 反映信号变化快慢 f 0 直流信号f 0 交流信号 相位 单位度或弧度 反映信号初始位置 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 6 二 典型信号 Sa函数 抽样信号 2 1 1信号的分类及其典型信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 7 二 典型信号 单位阶跃信号 2 1 1信号的分类及其典型信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 8 二 典型信号 矩形脉冲信号 门函数 脉冲幅度 脉冲宽度 2 1 1信号的分类及其典型信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 9 二 典型信号 符号函数 2 1 1信号的分类及其典型信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 10 二 典型信号 单位冲激信号 2 1 1信号的分类及其典型信号 t0点 强度为E的冲激函数 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 11 反褶运算时域平移 时移 运算时域压扩运算卷积运算相关运算 2 1 2信号的几种运算 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 12 卷积运算 2 1 2信号的几种运算 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 13 2 1 3周期信号的傅里叶级数 一 基本表示式 式中 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 14 2 1 3周期信号的傅里叶级数 二 余弦表示式 式中 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 15 2 1 3周期信号的傅里叶级数 三 指数表示式 指数函数表示式是由余弦表示式经数学推导得来的 这种表示式没有什么物理意义 纯属数学上的表示式 但它能给分析带来方便 是傅氏变换的基础 也是本课程最常用的一种表示式 2 1信号系统基础 欧拉公式 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 16 当时 此时周期信号就变为非周期信号了 令 经推导可得 一 傅里叶变换公式 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换称为的频谱密度函数 简称频谱 振幅谱 相位谱 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 17 二 典型信号的频谱 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 矩形脉冲的频谱 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 18 二 典型信号的频谱 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 19 二 典型信号的频谱 升余弦脉冲的频谱 特点 1 当脉冲宽度相同时 升余弦脉冲的带宽是矩形脉冲带宽的2倍 2 频谱的拖尾衰减较快 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 20 升余弦频谱函数的傅氏反变换 二 典型信号的频谱 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 21 二 典型信号的频谱 注 更多常用信号傅里叶变换对见教材P27或习题解答P14 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 冲击函数的傅氏反变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 22 三 傅里叶变换的特性及应用 1 时移特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 23 三 傅里叶变换的特性及应用 2 频移特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 一般周期信号 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 24 三 傅里叶变换的特性及应用 2 频移特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 周期脉冲函数 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 25 三 傅里叶变换的特性及应用 2 频移特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 周期为 宽度为 高度为A的矩形脉冲 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 26 三 傅里叶变换的特性及应用 3 频率卷积特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 27 三 傅里叶变换的特性及应用 3 频率卷积特性 2 1信号系统基础 2 1 4非周期信号的傅里叶变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 28 课后作业 P57 1 2 3 补充1 矩形脉冲宽度2ms 求x t 的频谱表示式并画出频谱函数图 补充2 周期矩形脉冲 周期为8ms 脉冲宽度2ms 幅度为1 求x t 的指数形式傅里叶级数展开式 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 29 课后作业 补充3 已知x t 的频谱函数是下图所示三角形式 设 画出的频谱函数图 1 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 30 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 31 2 1 5帕塞瓦尔定理 一 能量信号的帕塞瓦尔定理 意义有两个方面 1 有两种方法可求得能量信号的能量 2 信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量之和 2 1信号系统基础 x t 2表示作用于单位电阻上 1 瞬时功率 归一化功率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 32 2 1 5帕塞瓦尔定理 一 能量信号的帕塞瓦尔定理 练习 求下面信号的能量 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 33 2 1 5帕塞瓦尔定理 一 能量信号的帕塞瓦尔定理 能量谱密度 单位频率的能量 用G f 表示 单位为J HZ 对能量谱密度求积分可得总能量 能量谱密度 2 1信号系统基础 对于实信号 由于 故 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 34 2 1 5帕塞瓦尔定理 二 功率信号的帕塞瓦尔定理 意义有两个方面 1 有两种方法可求得周期信号的功率 2 一个周期信号的平均功率值等于信号所有谐波分量幅度的平方之和 即信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献的功率之和 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 35 2 1 5帕塞瓦尔定理 二 功率信号的帕塞瓦尔定理 功率谱密度 单位频率的功率 用表示 周期信号的功率谱密度 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 36 2 1 6波形相关 波形相关研究波形间的相关程度 用相关函数 归一化相关函数和相关系数来描述 有互相关和自相关两类 1 互相关函数 能量信号 周期功率信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 37 2 1 6波形相关 互相关函数的含义 平移 相乘 积分 表示两波形间相关程度的参数 若对所有 R12 0 则说明信号波形间始终差别很大或极不相似 这种信号称为不相关信号 若v1 t v2 t v t 则表示为Rv 是v t 的自相关函数 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 38 2 1 6波形相关 2 自相关函数 能量信号 周期功率信号 特点 1 能量信号 功率信号 2 3 4 周期信号的自相关函数是同周期的函数 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 39 2 1 6波形相关 3 归一化相关函数和相关系数 归一化自相关函数 归一化互相关函数 互相关系数 能量信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 40 2 1 6波形相关 例两信号如下图所示 求 解 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 41 2 1 6波形相关 解 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 42 2 1 6波形相关 六 相关函数与谱密度和的关系 自相关函数与谱密度是傅立叶变换对 对能量信号 对功率信号 2 1信号系统基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 43 2 傅氏变换的性质 1 线性叠加 2 对偶性 3 时移特性 4 尺度变换 5 频移特性 2 1 3非周期信号的频谱函数 傅氏变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 44 2 傅氏变换的性质 6 调制特性 7 微分特性 8 积分特性 9 卷积特性 2 1 3非周期信号的频谱函数 傅氏变换 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 45 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 46 第2章的主要内容 2 1信号系统基础 1st 2 2概率论基础 2nd 2 3随机过程的一般表述 3rd 2 4平稳随机过程及其数字特征 3rd 2 5高斯噪声 4th 2 6正弦波加窄带高斯噪声 4th 2 7随机信号通过线性系统 5th 2 8周期平稳随机过程 自学 2 9数理统计简介 自学 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 47 课前回顾 信号分类 典型信号及信号运算 周期信号傅里叶级数指数形式表示式 非周期信号傅里叶变换与反变换表示式 几种典型信号傅里叶变换 傅里叶变换的时移特性和频移特性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 48 课前回顾 傅里叶级数指数表示式 傅里叶变换表示式 写出高为A宽度为的矩形脉冲的频谱函数并画示意图 时移特性 频移特性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 49 2 2概率论基础 2 2 1概率 随机事件 在随机试验中 对一次试验可能出现也可能不出现 而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件 称为随机事件 一 事件及其概率 概率 事件发生的相对 频率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 50 2 2概率论基础 2 2 1概率 一 事件及其概率 事件积 and 事件A与B同时发生而构成的事件 记作AB P AB 事件和 or 两事件至少发生其中之一而构成的事件 记作A B P A B P A P B P AB 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 51 2 2概率论基础 2 2 1概率 二 条件概率 条件概率在事件A发生的条件下 事件B发生的概率用P B A 表示 即 统计独立事件B的发生与事件A无关 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 52 2 2概率论基础 2 2 2随机变量 一 随机变量及数字特征 1 随机变量的定义 定义 一个变量X 它随机地取某些值 而每一可能的取值有一个概率 如果随机变量X的取值数有限或可数 称为离散随机变量 如抛硬币的正反面 二进制通信的0 1 四进制通信的0 1 2 3 都是等概出现的随机变量 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 53 2 概率分布函数 1 2 如果 则 单调不减 2 2 2随机变量 性质 2 2概率论基础 CumulativeDistributionFunction 即累积分布函数 cdf 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 54 例1设随机变量X有四个可能取值0 1 2 3 每个取值出现的概率相同为1 4 求其概率分布函数并画出曲线 2 2 2随机变量 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 55 3 概率密度函数 pdf 2 3 2 2 2随机变量 性质 1 2 2概率论基础 ProbabilityDensityFunction 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 56 例2某随机变量X 其概率分布函数如图 a 所示 求其概率密度函数 2 2 2随机变量 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 57 二维概率分布函数 二维概率密度函数 性质 2 2 2随机变量 3 概率密度函数 pdf 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 58 统计独立 或 条件概率密度函数 独立时 2 2 2随机变量 3 概率密度函数 pdf 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 59 离散RV数学期望 2 2 2随机变量 4 随机变量的数字特征 2 2概率论基础 对于函数 连续RV数学期望 对于函数 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 60 方差 2 2 2随机变量 离散随机变量方差 4 随机变量的数字特征 2 2概率论基础 反映随机变量取值的集中程度 称为标准偏差 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 61 2 2 2随机变量 2 2概率论基础 4 随机变量的数字特征 协方差 反映两个不同随机变量取值之间的关系 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 62 归一化协方差 相关系数 性质 若X Y的相关系数为0 则称X与Y是线性不相关的 统计独立必不相关 反之未必 2 2 2随机变量 2 2概率论基础 4 随机变量的数字特征 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 63 2 2 3三种常见的概率分布 1 均匀分布 x在 a b 均匀分布 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 64 2 2 3三种常见的概率分布 2 指数分布 随机变量X服从指数分布 2 2概率论基础 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 65 2 2 3三种常见的概率分布 3 正态分布 高斯分布 2 2概率论基础 为数学期望 为方差 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 66 1 对称于 即 2 在 处取得最大值 当 3 且有 4 表示随机变量取值的分布中心 表示取值集中程度 2 2概率论基础 2 2 3三种常见的概率分布 3 正态分布 高斯分布 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 67 课后作业 2 2概率论基础 P58 13 14 18 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 68 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 69 第2章的主要内容 2 1信号系统基础 1st 2 2概率论基础 2nd 2 3随机过程的一般表述 3rd 2 4平稳随机过程及其数字特征 3rd 2 5高斯噪声 4th 2 6正弦波加窄带高斯噪声 4th 2 7随机信号通过线性系统 5th 2 8周期平稳随机过程 自学 2 9数理统计简介 自学 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 70 课前回顾 随机变量统计独立的充要条件 离散与连续随机变量的数学期望 离散与连续随机变量的方差 两个随机变量的协方差及相关系数 统计独立与相关的关系 随机变量的cdf与pdf 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 71 通信中传输的信号是不可预测的 或者说带有某种随机性 干扰信号的噪声更是不可预测的 这些不可预测的信号和噪声都是随机过程 2 3随机过程的一般表述 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 72 例子 设有n台性能完全相同的接收机 在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形 测试结果表明 n条曲线中找不到两个完全相同的波形 这就是说 接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的 因而它是一个随机过程 2 3 1随机过程的概念 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 73 2 随机过程是随时间改变而不断出现的随机变量的集合 1 随机过程是以某一概率出现的样本函数的集合 随机过程 t 的基本特征体现在两个方面 其一 它是一个随机的时间函数 其二 在固定某一观察时刻t1上 全体样本在t1时刻的取值是一个随机变量 t 1 t 2 t n t t1 是随机变量 随机过程定义 2 3 1随机过程的概念 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 74 若是一个离散随机变量 且只取和两个值 则此随机过程样本函数为有限个 即只有两个样本函数 2 3 1随机过程的概念 如信号 为常数 是一个随机变量 它在范围内均匀分布 称这种信号为随相信号 显然 是一个随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 75 随机过程的分布函数 设 t 表示一随机过程 则它在任意时刻t1的值 t1 是一个随机变量 一维分布函数 一维概率密度函数 2 3 2随机过程的数字特征 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 76 任给两个时刻t1 t2 则随机变量 t1 和 t2 构成一个二元随机变量 t1 t2 则 二维分布函数 二维概率密度函数 2 3 2随机过程的数字特征 随机过程的分布函数 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 77 同理 可定义 t 的n维分布函数和n维概率密度函数 显然 n越大 对随机过程统计特性的描述就越充分 但问题的复杂性也随之增加 在一般实际问题中 掌握二维分布函数就已经足够了 2 3 2随机过程的数字特征 随机过程的分布函数 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 78 1 数学期望 2 3 2随机过程的数字特征 由于t1是任取的 所以可以把t1直接写为t x1改为x a t 是时间t的函数 它表示随机过程样本函数曲线的摆动中心 a t 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 79 2 方差 D t 常记为 2 t 它刻画了随机过程在时刻t对于均值a t 的偏离程度 2 3 2随机过程的数字特征 均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征 为描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系 还需利用二维概率密度引入新的数字特征 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 80 3 相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时 常用相关函数R t1 t2 来表示 2 3 2随机过程的数字特征 相关函数定义为 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 81 2 4平稳随机过程及其数字特征 如果对于任意的正整数n和任意实数t1 t2 tn t 随机过程 t 的n维概率密度函数满足 则称 t 严格意义下的平稳随机过程 简称严平稳随机过程 统计特性平稳 不随时间改变 统计特性与起始时间无关 一 严格平稳随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 82 一 严格平稳随机过程 从而 故 一维分布与时间无关 二维只与时间差有关 2 4平稳随机过程及其数字特征 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 83 如果一个随机过程 t 它的数学期望为常数 自相关函数仅是 的函数 则称它为广义平稳随机过程 2 4平稳随机过程及其数字特征 在通信系统中所遇到的信号及噪声 大多数均可视为平稳的随机过程 二 广义平稳随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 84 假设x t 是平稳随机过程 t 的任意一个实现 样本 它的时间均值和时间相关函数分别为 三 各态历经性 如果平稳随机过程使下式成立 则称该平稳随机过程具有各态历经性 遍历性 2 4平稳随机过程及其数字特征 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 85 各态历经 的含义 随机过程中任一实现 样本 都经历了随机过程的所有可能状态 因此 只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征 从而使 统计平均 化为 时间平均 使实际测量和计算的问题大为简化 注意 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程 但平稳随机过程不一定是各态历经的 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声 一般均能满足各态历经条件 2 4平稳随机过程及其数字特征 三 各态历经性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 86 所以 该过程满足平稳性条件 并具备各态历经性 例题 讨论随机过程X t Acos t 的各态历经性 式中振幅A为常量 初相 为在 0 2 均匀分布的随机变量 平稳RP 2 4平稳随机过程及其数字特征 三 各态历经性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 87 2 4平稳随机过程及其数字特征 1 四 自相关函数性质 2 3 4 5 t 的平均功率 t 的直流功率 t 的交流功率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 88 2 4平稳随机过程及其数字特征 定义 确定 知 功率信号f t 其功率谱密度P f 定义为 四 功率谱密度 功率在频率上的分布情况 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 89 2 4平稳随机过程及其数字特征 随机过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均 故 t 的功率谱密度可以定义为 四 功率谱密度 t 的平均功率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 90 2 4平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程的维纳 辛钦定理 四 功率谱密度 性质 对功率谱密度进行积分 可得平稳过程的平均功率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 91 2 4平稳随机过程及其数字特征 四 功率谱密度 例随机过程 A为常数 初相 在 0 2 均匀分布 其自相关函数为 求此随机过程的psd及其平均功率 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 92 课后作业 P59 19 20 24 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 93 第2章的主要内容 2 1信号系统基础 1st 2 2概率论基础 2nd 2 3随机过程的一般表述 3rd 2 4平稳随机过程及其数字特征 3rd 2 5高斯噪声 4th 2 6正弦波加窄带高斯噪声 4th 2 7随机信号通过线性系统 5th 2 8周期平稳随机过程 自学 2 9数理统计简介 自学 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 94 课前回顾 随机过程平稳随机过程平稳随机过程的各态历经性平稳RP自相关函数平稳RP的功率谱密度 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 95 高斯过程是通信领域中最重要的一种过程 例如通信中的噪声 天体辐射等引起的宇宙噪声以及通信设备内部电路产生的热噪声和散弹噪声等 其瞬时值通常服从高斯分布 是一种高斯过程 2 5高斯噪声 随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 96 2 5 1高斯随机过程 定义 任意n维分布服从高斯 正态 分布的过程 式中 分别是RV的数学期望和方差 是归一化协方差 相关系数 矩阵的行列式 其中 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 97 2 5 1高斯随机过程 二 高斯过程的特点 1 高斯随机过程如果是广义平稳的 则也是严平稳的 广义平稳 严平稳 2 高斯随机过程在任意两个时刻的取值如果是不相关的 则也是统计独立的 不相关 独立 3 若随机过程任意时刻取值为高斯随机变量 则为高斯随机过程 4 高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 98 高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量 其一维概率密度函数可表示为 式中 a为高斯随机变量的数学期望 2为方差 一维pdf 2 5 1高斯随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 99 这个积分难于计算 我们要设法把这个积分式化成可在数学手册上查出积分值的特殊函数 一般常用Q函数和互补误差函数 2 5 1高斯随机过程 一维cdf 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 100 2 5 1高斯随机过程 Q函数 Q函数的性质 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 101 从而 工程上只要 即可近似有 2 5 1高斯随机过程 互补误差函数 互补误差函数的性质 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 102 窄带随机过程 随机过程的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围 f内 且满足通带宽度 f fc 并远离零频率 则称该随机过程为窄带随机过程 2 5 2高斯噪声 窄带高斯噪声 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 103 缓慢变化的包络 2 5 2高斯噪声 窄带高斯噪声 实际中 大多数通信系统都是窄带型的 通过窄带系统的噪声必是窄带随机过程 如用示波器观察其波形 它是一个频率近似为fc 包络和相位随机缓变的正弦波 窄带随机过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 104 2 5 2高斯噪声 窄带高斯噪声 窄带高斯噪声 这里 只讨论零均值平稳高斯窄带过程 即 窄带随机过程的瞬时取值服从高斯分布 数学表示式 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 105 2 5 2高斯噪声 窄带高斯噪声 包络的瞬时取值服从瑞利分布 相位的瞬时取值服从均匀分布 且二者的瞬时取值是统计独立的 即 零均值平稳高斯窄带过程 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 106 零均值平稳高斯窄带过程 正交分量 同相分量 1 C t 和 S t 同样是平稳高斯随机过程 2 而且均值都为零 方差也相同 且等于 t 的方差 3 在同一时刻上得到的 C S是统计独立的 2 5 2高斯噪声 窄带高斯噪声 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 107 2 5 2高斯噪声 白噪声 Psd 自相关函数 功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 108 关于白噪声 白噪声中 白 的含义与光学中的 白 相同 白光指在电磁辐射可见范围内所有频率分量的数值都相等 实际中 元器件热噪声频率范围为0 1012Hz 功率谱密度在该频带内基本均匀分布 近似为白噪声 真正 白 的噪声是不存在的 它只是构造的一种理想化的噪声形式 实际系统中 只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带 就可以把它视为白噪声 2 5 2高斯噪声 白噪声 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 109 2 5 2高斯噪声 带限低通白噪声 Psd 自相关函数 功率谱在 B B 之内均匀分布的噪声 白噪声通过理想低通滤波器或理想低通信道 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 110 2 5 2高斯噪声 理想带通白噪声 Psd 自相关函数 以取样函数为包络 以中心频率为填充频率 一般 带宽远远小于中心频率 所以包络相对于中心载频 其变化是缓慢的 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 111 2 6正弦波加窄带高斯噪声 一般表达式 式中 为窄带高斯噪声 其均值为0 方差为 式中 为同相分量 为正交分量 包络 相位 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 112 2 6正弦波加窄带高斯噪声 包络的瞬时取值服从莱斯 Rice 分布 式中 A为正弦波的振幅 为窄带高斯噪声的方差 为零阶修正贝塞尔函数 当信噪比很小时 莱斯分布趋近于瑞利分布 当信噪比很大时 莱斯分布趋近于正态分布 相位的分布与信噪比有关 当信噪比很小时 它接近于均匀分布 当信噪比很大时 随机相位主要集中在信号的相位附近 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 113 2 6正弦波加窄带高斯噪声 例 2ASK信号 其发送信号可表示为 采用包络检波进行接收 如图示 假设信道中引入加性高斯白噪声 试描述A点和B点信号的特性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 114 课后作业 P59 22 23 不做图 25 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 115 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 116 第2章的主要内容 2 1信号系统基础 1st 2 2概率论基础 2nd 2 3随机过程的一般表述 3rd 2 4平稳随机过程及其数字特征 3rd 2 5高斯噪声 4th 2 6正弦波加窄带高斯噪声 4th 2 7随机信号通过线性系统 5th 2 8周期平稳随机过程 5th 2 9数理统计简介 自学 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 117 课前回顾 高斯随机过程特点高斯随机过程一维pdf及一维cdf窄带高斯噪声功率谱 波形及包络 相位高斯白噪声 带限高斯白噪声功率谱及其自相关函数正弦波加窄带高斯噪声包络特性 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 118 2 7随机信号通过线性系统 2 7 1输出的数学期望 2 7 2输出的自相关函数 2 7 3输出的功率谱 2 7 4输出的概率分布 本节主要讨论平稳随机过程通过线性时不变系统后输出信号的统计特性 以及系统输入输出之间的一些重要关系 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 119 2 7随机信号通过线性系统 物理可实现LTI系统 LTI系统 简称线性系统 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 120 假定输入 i t 是平稳随机过程 现在来分析系统的随机输出过程 o t 的统计特性 2 7随机信号通过线性系统 对于输入随机过程的每一个样本 都有不同的输出样本 因此 当线性系统的输入是随机过程 i t 时 它的输出也是由很多样本函数组成的一个随机过程 记为 o t 有 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 121 式中利用了平稳性假设 由此可见 输出过程的均值等于输入过程的均值与直流传递函数H 0 的乘积 且是一个常数 1 输出过程 o t 的均值 2 7随机信号通过线性系统 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 122 2 输出过程 o t 的自相关函数 可见 o t 的自相关函数只依赖时间间隔 而与时间起点t无关 根据平稳性 有 2 7随机信号通过线性系统 2020 3 18 通信工程学院无线教研室 123 3 4平稳随机过程通过线性系统 由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明 若线性系统的输入过程是平稳的 那么输出过程也是平稳的 3 输出过程 o t 的功率谱密度 对自相关函数