线性系统的频域分析法.doc

第五章 线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答 对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率 的函数； 称为系统的相频特性，它是频率 的函数： 称为系统的频率特性。稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。证 若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。证明如下。假设系统传递函数为： 输入 时， 经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中： 将与 写成指数形式：则： 与输入 比较得：幅频特性 相频特性 所以是频率特性函数。5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。答 频率特性的几何表示一般有3种方法。幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率 为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。由于与对称于实轴，所以一般仅画出 的频率特性即可。对数频率特性曲线（伯德图）。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。横坐标为 ，但常用对数 分度。对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。对数相频特性的纵坐标为 ，单位为“。”（度）。和都是线性分度。横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。5-4 什么是典型环节？答 将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。比例环节k(k0) ；积分环节；微分环节s；惯性环节；一阶微分环节 ；延迟环节；振荡环节；二阶微分环节 ；不稳定环节。典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。5-5 什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？答 在s平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。5-6 什么是频率特性的极坐标图？什么是奈奎斯特（Nyquist）轨迹、Nyquist图？答 在s平面上，当s=0到 时， 变化的轨迹称为系统频率特性的极坐标图取根平面上的封闭围线包围全部右半 平面，此封闭围线由整个虚轴（从s=- 到s=+ ）和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹组成。这一封闭围线称作奈奎斯特轨迹，如图5-2所示。图5-2 Nyquist轨迹图5-3 Nyquist图当s沿Nyquist轨迹变化时，即s=-j到 变化时s=+j，在开环传递函数平面上对应的轨迹称为Nyquist图，如图5-3所示。5-7 Nyquist稳定判据的主要内容是什么？简述频率稳定判据的主要特点。答 奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性曲线图，判定系统闭环稳定性的判据。具体如下。反馈控制系统闭环极点在s的右半平面的个数（不稳定根的个数）：Z=N+P式中P为系统开环极点在s右半平面的个数；N为系统开环Nyquist图顺时针环绕(-1,j0)的次数。这里，系统开环Nyquist图可根据系统开环极坐标图 ，然后做出它关于实轴的对称部分即可。N=0，则系统稳定；N0 ，系统不稳定。主要特点：应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。易于研究包含延迟环节系统的稳定性。奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。5-8 什么是系统的幅稳定裕度、相稳定裕度？其各自的物理含义是什么？答 幅值裕度GM 当系统开环相频特性为180du时，系统开环频率特性幅值的倒数称为幅值裕度，所对应的频率 称为相角交界频率。即满足 相位裕计划经济PM 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180du的和称为相角裕度，所对应的频率 称为系统截止频率（剪切频率）。即：满足 PM0，则系统稳定，反之为不稳定。幅稳定裕度的分贝(dB)形式及相稳定裕度通常用R和r来表示。幅值裕度GM说明 当系统的开环增益大为原来的GM倍时，闭环系统处于临界稳定（为维持闭环稳定K所能增大的最大倍数）。相位裕度PM说明 当系统对频率为的信号的相角滞后再增大PM度时，闭环系统处于临界稳定。5-9 试简要叙述如何绘制极坐标图。答 首先将系统的开环频率特性函数分解为下列两种标准形式：PM0 及 确定幅相曲线的起始点与终止点和曲线的基本形状。起始点为： 终止点为： 其中为系统开环根轨迹增益， 和 分别为开环传递函数具有正实部的极点和零点的个数。对于最小相位系统： 由上可知，起始点位置与系统型号有关，终止点相角与分子和分母多项式次数的差值有关。对实际系统总有 。确定曲线是否穿越实轴和虚轴。令，得到，若为实数，则曲线穿越实轴，若为复数，则曲线不穿越实轴。令，得到，若为实数，则曲线穿越虚轴，若为复数，则曲线不穿越虚轴。对于含有积分环节的系统，开环幅相特性应作相应补充：从开环幅相曲线上对应于的点起，用虚线逆时针补画半径为的圆弧。5-10 如何绘制Bode图。答 将开环传递函数按典型环节进行分解，并将转折频率从小到大的顺序排列为。绘制起始低频渐近线，即的左边部分。起始低频渐近线为一直线，其斜率为-20v，取决于系统积分环节的个数。并且通过点，即渐近线或其延长线在处的值为。渐近线斜率在频率处发生改变，变化的数值决于对应的典型环节的种类。同样，在后面的各转折频率处，渐近线斜率都相应改变。在每个相邻转折频率间，渐近线为一直线。根据误差曲线求是得各典型环节的修正量，加到渐近曲线上，并通过各修正点作光滑曲线。5-11 什么是系统频率特性的谐振峰值？什么是带宽频率和系统带宽？对于二阶系统，上述指标及截止频率 、相位裕度r与阻尼系数 的关系是什么？对于高阶系统，幅值裕度和相位裕度及谐振峰值是如何确定的？答 系统闭环频率特性幅值的最大值称为谐振峰值。当闭环系统频率特性的输出幅值 下降为输入幅值 的0.707倍时，对应的频率称为带宽频率。频率范围称为系统带宽。对于典型的二阶系统，闭环传递函数，相应的开环传递函数为：谐振峰值： 谐振频率： 带宽频率： 截止频率： 相位裕度： 典型二阶系统的幅值裕度为 。对于高阶系统，工程上常用图解法近似确定幅值裕度和相位裕度，谐振峰值则由下述经验公式确定：超调量： 调节时间： 5-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为，当系统的输入时，闭环系统的稳态输出为，试计算参数K和T的数值。分析：根据题意，应首先求出系统的闭环传递函数，然后根据频率特性的定义来求解。解 系统的闭环传递函数为： 闭环系统频率特性为：由系统频率特性的 定义知：即 即 因此有： 5-13 已知单位反馈系统的开环传递函数如下所示，试绘制对数幅频特性渐近曲线： 。分析：要画出系统的开环幅频特性，必须首先熟悉各典型环节的标准形式及Bode图形状，注意各典型环节转折频率的确定。解 转折频率为： 起始低频渐近线通过点： 时， 所以：起始低频渐近线斜率为，并且通过点 (0.1,60)；当渐近线到达时，斜率由变为 ；当渐近线到达时，斜率由变为。系统对数幅频特性曲线如图5-8所示。 转折频率为： 当 时， 所以：起始低频渐近线斜率为，并且通过点 (1,-20)；当渐近线到达时，斜率由变为；当渐近线到达时，斜率由变为；当渐近线到达时，斜率由变为。系统对数幅频特性曲线如图5-9所示。图5-8 对数幅频特性曲线图5-9 对数幅频特性曲线5-14 设控制系统的开环传递函数为 ，试画出开环频率特性的极坐标图 ，并确定曲线与实轴是否相交，如果相交，试确定相交点处的频率和相应的幅值。用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。解 开环系统是由两个积分环节、两个惯性环节和比例环节组成的。开环系统频率特性为： 确定起点和终点：时， 时， 组成系统的环节均为最小相位环节，当 时， 的角度从-180单调地减小到-360，所以幅相曲线与实轴无交点。系统的概略极坐标图如图5-10所示。图5-10 极坐标图由于系统型次为 ，应补画圆弧，由 的对应点起逆时针补作半径为无穷大的 的圆弧。根据Nyquist稳定判据，位于S右半平面的开环极点数 ，由图可知P=0，N=1+2 ，则：Z=P+N=2系统不稳定。5-15 已知系统方块图如图5-11所示：图 5-11 方块图试用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定K的取值范围。分析：首先应画出极坐标图及Nyquist图，然后用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。画极坐标图时，频率特性函数既要写出其幅值和相角表达式，又要写出其实部和虚部表达式。解 系统开环频率特性：当 时， 与虚轴的交点为：令 ，此时有 ，说明曲线不穿越虚轴。与实轴的交点为：令 ，此时有 ，说明曲线穿越实轴，此时，。由此可画出 的极坐标图如图5-12所示。由极坐标图可进一步画出Nyquist图如图5-13所示。图5-12 极坐标图 图5-13 Nyquist图由于系统有一个开环极点，系统型次为 ，应补画圆弧，由 的对应点起逆时针补作半径为无穷大的的圆弧。根据Nyquist稳定判据，讨论如下：当k=1时， 过(-1,j0) 点，系统临界稳定；当k0时， P=1,N=-1,Z=N+P=0，系统稳定；当K0时， P=1,N=+1,Z=N+P=2，系统不稳定。例5-5 设某系统的开环传递函数为：试求当系统剪切频率 时的开环增益K值。分析：明确剪切频率的概念及纯滞后环节的模值为1。解 根据剪切频率的定义知：即 因为 ，所以 5-16 设某单位负反馈系统的前向通道的传递函数为 ，试：计算系统的剪切频率 及相位裕度 ；计算系统闭环幅频特性的相对谐振峰值 及谐振频率 。分析：明确系统闭环幅频特性的相对谐振峰值 及谐振频率 与系统自然频率 及阻尼比 的关系以及 和 的求取。解 系统的开环传递函数为： 开环频率特性为： 对于 有： 求解上式得： 根据相角裕度的定义，得： 计算及。系统的闭环传递函数为 ，将其与二阶系统的标准形式进行比较，可得二阶系统的自然频率及阻尼比为：已知二阶系统的及与参数 及 的关系为：由此求得： 5-17 已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性曲线如图5-14所示，试：求取系统的开环传递函数；利用稳定裕度判断系统稳定性；如果要求系统具有 的稳定裕度，试确定开环放大倍数应改变的倍数。图5-14 对数幅频特性曲线分析：系统一定是最小相位系统，否则，不能越位根据对数幅频特性曲线确定系统的开环传递函数。解 系统开环传递函数的基本形式为： 由于开环频率特性起始低频渐近线通过(0.1,40) 点，则：所以： 开环对数幅频特性为：系统开环对数相频特性为：令 求解截止频率 ，只有 在其所属频率范围 内，所以：故系统临界稳定。由于： 若要求 ，即 ，解得 。若要求系统的相稳定裕度为，设为开环放大倍数需改变的倍数，则应为截止频率。则系统开环对数幅频特性为：属于 的频率范围，所以有：5-18 某控制系统的方块图如图5-15及Bode图如图5-16所示。图5-16中给出有无纯滞后两种情况下的两条相频特性，系统的幅穿频率为 ，开环放大倍数为 。试求：有纯滞后和无纯滞后两种情况下的相稳定裕度；若系统有纯滞后时，保证相稳定裕度为40，开环放大倍数应改变的倍数？图5-15 方块图解 由图可知： 由图5-16可知，若系统有纯滞后时，保证相稳定裕度为40 ，则幅穿频率应为 ，设开环放大倍数应增大 倍，则系统的幅频特性为：显然，在范围内，所以 即： 图5-16 Bode图5-19 设反馈系统开环幅相曲线如图5-17所示，开环增益K=500，S右半平面的开环极点数P=0，试确定使闭环系统稳定的K值范围。图5-17 开环幅相曲线分析：根据系统的幅相曲线，应首先确定系统的型次。另外注意：无论K如何变化，过-180的临界频率不会变化。即当K改变时，系统穿越频率不变，仅是幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。解 设： 由图5-17可知，幅相曲线与负实轴的交点对应的临界频率分别为，因此有：当K=500时 其中 。当K变化时，系统的临界频率不会变，仅是幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动，设K分别为 时幅相曲线与负实轴的交点 和 分别位于(-1,J0)点，即：求解： 当K变化时，奈氏曲线的四种形式如图5-18(a)、(b)、(c) 、(d)所示：由于系统，故从的起点，逆时针补作半径为无穷大的的圆弧。根据奈氏判据可判定系统的闭环稳定性。当0K10时，P=0,N=0,Z=0，系统