高等数学1课程综合练习题.doc

高等数学1综合练习题习题一一、 填空题 1._. 2. _. 3 4._._. _. 7 在区间_是连续的。 _. 10_ 11.要使函数在x=0处连续，则须定义f(0)的值为_ 二选择题 2. 极限的结果是 (A)1, (B) , (C)2, (D)极限不存在. 答: (） 3. 函数当时的极限值是 (A) (B) (C)0, (D)不存在. 答:( ) 4.等于 （A）1 （B） （C）2 （D）0 (A) 0; (B) 1/2; (C) 无穷大， （D）不存在。 答： （ ） 8. 9. 极限的结果是 （A） 0， （B）1 /2， （C）1/5， （D） 不存在。 答：（ ） 10. 设0a0. . 3. 4. 1 5. 6. ,0 . 7.(-2,2). 8.0. 9. 10 3,4 11 .1. 二、1. C 42D. 3D 4B 5B 6D 7D 8D 9D 10B11B三、 1公共解为 2.即，解得-1x2即当-1x02.在（-1，0）上任取两点且，即，则由在上单调减，知，由于为奇函数，故知 3. 习题二一、填空题1. 若f(x)为可导的奇函数,且,则_.2. 4.(_) 5. 设y=y(x)由方程所确定，则_. 6.(_) 。 7. 设_.二、 选择题1 . (A)2x-4y+1=0; (B)4x-2y-1=0; (C)2x+4y-3=0; (D)4x+2y+3=0. 答:( ) 答:( ) 3. 已知a是大于零的常数,则f的值应是: 答: (） 5. 答：（ ） （A）101!； （B） -101!/100； （C）101!； （D） 100!/99 。答： （ ） 8. 答： （ ） 9.过点，试作曲线的切线，则此切线 （A）不存在； （B）方程为x=1; (C) 方程为y=2; (D) 方程为y-2=（x-1）/3 答 ： （ ） 10. 设是实数，函数在x=1处可导时，必有 (A) (B) (C) (D). 答： （ ） 11设则等于： （ A） （B）2xg(x); (C) (D) 答： （ ） 12. 设都可微，则dy= (A) (t)dt; (B) (x)dx; (C) (t)(x)dt (D) (t)dx 答： （ ） 13. 设曲线与直线x=1的交点为p，则曲线在点p处的切线方程是： (A) 2x-y+2=0; (B) 2x+y+1=0; (C) 2x+y-3=0; (D) 2x-y+3=0; 答（） 三、 计算题 1. 求函数的导数2. 设y,求 5. 6. 7. 8. 设y=y(x)由方程所确定,求 9. 10. 设f(x)三阶可导,试求对x的一、二、三阶导数.11.设求 ，求。 16. 。 17. 设求 18. 设由方程所确定，求四、证明题：1设f(x)在可导,若实数a,使+af(x)0,证明:方程f(x)=0最多只有一个实根. 2设对任意x,y有f(xy)=f(x)+f(y)且在x=1点处(1)=a存在，试证：当时，.3. 设函数f(x)的定义域为非零全体实数,对任何的非零实数x,y均有 f(xy)=f(x)+f(y)成立 (1)存在,试证明:除点x=0外,(x)处处存在. 习题二答案一、1. .2 . . 3. xsin(lnx)+cos(lnx). 4. 5 0 7. 二、1.B2.D3A4D5D6B7B8A9B10A11D12A13D1 2取对数 解出 3.4.当x=0,y=0, 5 6. 7. 8 9 10 1112 而 当x0时，,故为所求. (或1314.1516移项整理得17. 18. 四、1令即得在上单调减且连续，方程最多只有一个实根，即f(x)=0最多只有一个实根2.取x=1,y=1得f=f(1)+f(1),于是有f(1)=0,由条件，则 于是对任意 =3.由f(xy)=f(x)+f(y)令x=1,有f(y)=f(1)+f(y),即f(1)=0当时,有即除点x=0外,处处存在.习题三一、填空题 1. 2. _. 3. 若f(x)在a,b (其中a0) 8._. 9.函数在上的最小值是_. 10. 设f(x)在a,b（其中ab）连续且单减，则f(x)在a,b上的最大值是_ 11.已知曲线在x=1处有拐点，则a=_. 二、 选择题 1. (A)点(b,a)是曲线y=f(x)的拐点; (B)f(b)是f(x)的极大值,但不是最大值; (C) f(b)是f(x)的极小值; (D) f(b)是f(x)在上的最大值; 答:() 2.设曲线方程为:,则 (A)y=-1是曲线的渐进线; (B)曲线没有渐进线; (C)y=0是曲线的渐进线; (D)x=0及x=-1 是曲线的渐进线; 答:( ) 答:( ) 9.使函数适合罗尔定理的条件的区间是 ： (A) 0,1; (B) -1,1; (C) -2,2; (D) -3/5,4/5. 答 （ ） 10. 设 则在区间(0,2)内适合 =(2-0)的值 (A) 只有一个； （B） 不存在； （C）有两个； （D）有三个。 答： （ ） 11. 设曲线，则 (A)曲线在x=1处有拐点； (B)曲线在x=1处纵坐标最大； (C)曲线在x=1处纵坐标最小； (D)曲线在x=1处无拐点，纵坐标不是极值。 答： （ ） 三、 计算题（本题共7小题，每小题7分，满分49分。）1. 求在上的最大值与最小值 , 5. 6 7.计算 8. 9. 10.设有三阶导数，且，求曲线 的拐点坐标。 11求极限 12计算极限13. 求的极值 证明题：1 2. 34.设f(x)在可导,若实数a,使+af(x)0时,ln(1+x)1时， 习题三答案一、10. 2.,0. 3. 4 5.0 6.0 7. 2. 8. 1. 9.f(1)=-5. 10 11.-3二、1D. 2C 3B4A5A6D7C 8B9A10C11C三、 1所以f(x)在上的最小值为.f(2)=0.没有最大值.2注:若用罗必法则求3函数在连续且可导所以该函数在单调减 5.所以f(x)在1,3单调减f(x)在1,3的最大值是，最小值是6.原式= 7原式8.是最大值9.函数在,连续，在 所以该函数在单调增在单调减10. 由此得：是曲线的拐点坐标11原式=12 13. 当x=2， 不存在 当所以f(2)=3是f(x)的极大值四、1令在连续， 所以f(0)是f(x)的极小值也是最小值当时，得f(x)f(0)，故当时，2.当x=0时,由此证得:曲线在x=0处有拐点.3.设f(x)=ln(1+x),f(x)在连续，且在上所以f(x)在单调增，即当时，.4.即得在上单调减且连续，方程最多只有一个实根，即f(x)=0最多只有一个实根5. 设，则f(x)在连续，)所以f(x)在上单调增，即当x0,f(x)f(0)=0,即原不等式成立6.令F(x)=,F(0)=F()=0则F(x)在上满足罗尔定理的条件，故存在，使即又得7.设f(1)=0是f(x)在上的最大值即证得即证得：当有8.令（x)=f(x)f(1-x),F(x)在0,1上满足罗尔定理条件，故存在使即由得9.由于f(x)为可导函数，且则得即对于任意驻点 有由此证得是f(x)的极值，且是极大值 10. 11 所以f(0)是最小值，即f(x)f(0),证毕。 习题四 一、 填空题1. _. 2. _. 3. _. 4. _. 5. _. =_. _. _.10. _.11._. 二、选择题 1.若，则f(x)等于 (A) (B) (C) (D) 2. (A) (B) (C) (D) 三、计算题1.计算 2. 4. 求 5. 6. 7. 10 12. 求不定积分 13. 求 习题四答案一、1. . x+cosx+c 2. 3. . 4. tanx-secx+c .5. . 6. 7.arcsin. 8.9. 10.tanx-x+c 11.或 二、1.C2B三、1原式=2原式=3原式56原式= 7.原式=8原式=9原式=10原式=11原式=c 12. 令则 13. 原式= 习题五一 、填空题 1 .由曲线y=f(x) (f(x)0)，直线x=a，x=b (ab)及x轴所围成的平面图绕ox轴旋转而成的旋转体之体积v=_. _. 3._. _. _ 6. _. 7定积分值的符号是_. 8 由曲线xy=1及直线y=x,y=2所围成图形的面积值是_. 9.设f(x)在a,b上连续，且f(x)0，(a0)所围图形的面积A等于 答:( ) 3. 设(u)连续,已知则n应是 (A)2, (B)1, (C) 4, (D)1/4 答: (）4. 曲线y=sinx在上与x轴所围成的图形的面积为 (A)2, (B)0, (C)4, (D)6. 5. 函数f(x)在闭区间a,b上连续是定积分存在的 (A)必要条件, (B)充分条件 (C)充分必要条件, (D)即非充分也非必要. 答() 6. f(x)在a,b上连续,且,则必(A)在a,b的某个小区间上f(x)=0; (B)对于a,b上的一切x均使f(x)=0; (C)在a,b内至少有一点x使f(x)=0; (D)在a,b内不一定有x使f(x)=0. 答:() 7.设f(x)连续,则之值为 (A)0; (B)a; (C)af(a); (D)f(a) . 答:( ) ( 11. 三、 计算题 1.计算 2. 抛物线分割圆成两部分,求较小部分的面积. 3 计算. 4.计算 5.计算 6.7. 10 设求 11. 四证明题： 1. 2. 3.设 4. 习题五 答案一、1. 2. . 3. 4. 5. 6. 1. 7.正 8. 10二、1. C. 2. D.3C4C5B6C7C8B9C10D11A三、1原式= 2由得交点(2,-2)及(2,2). 3原式=4原式5原式6原式=7原式=故9原式=10原式= =11原式=四、1.令F(x)=有,故F(x)广义单调增加,所以对一切有,即F(x)=0.于是f(x)=注也可用反证法证明. 2. =解二：令(a)=,则故3. 4.因为 所以习题六一 、填空题 1设函数是微分方程的通解，则_. _. 3. 为_. 4._. 5._. 6.是某二元函数的全微分则a,b的关系为_. 7. 微分方程x=ylny的通解是_. 8._. 9. 微分方程+y=cosx(1+2sinx)用待定系数法确定的特解形式是_. 10._. 11 微分方程的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_. .二、 选择题 1.2. 45 6 7. 8. 9. (A)asinx+bcosx+ccos2x (B)x(asinx+bcosx)+Acos2x+Bsin2x; (C)asinx+bcos2x+csin2x; (D)axsinx+bxcos2x. 答：（ ） 10. (A)通解; (B)特解; (C)是解,但既非通解,也非特解; (D)不是解. 答( )11 微分方程 (A)当n=0或1时为贝努利方程; (B)当n0或1时为贝努利方程; (C)当n0或1时为线性方程; (D)为全微分方程. 答:()三、计算题 1.的通解2 3求通过点（2,2）的曲线方程,使曲线上的任意点处的法线与原点的距离等于该任意点纵坐标的绝对值.4 5. 6. 7 8 9. 10. 11 四、证明题： 1. 设函数都是方程 2. 3. 设是方程的一个解,是方程的一个解,证明；是方程的解. 4.设f(x)是二次可微函数,且(x)+(x)(x)=0,证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0,证明f(x)在该两点之间恒为零.5. 习题六 答案一、1. .2., 3. 4. . 5. 6. a+b=0 7. . 8. 9. x(Acosx+Bsinx)+Ccos2x+Dsin2x. 10. .11. 二、 1. C 2.D 3C4C5D6B7B8A9B10B11B三、 1 2 3设曲线上任意点坐标(