2010年全国高中数学联赛模拟题2.doc

2010年全国高中数学联赛模拟题2一试考试时间上午8：009：20，共80分钟，满分120分一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程在区间上的实根个数为_.2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_.3.已知（，）是常数，且，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_.4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_个交点.5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_.6.设是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_.7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_.8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，则与的大小关系是_.二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，若，则.3.（本小题满分20分）设非负实数，满足，求证：2010年全国高中数学联赛模拟题2（加试）9：4012：10共150分钟 满分180分平面几何、代数、数论、组合1、2、设函数f（x）的定义域为R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，有f（x+y）=f（x）f（y） （）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性； （）数列an满足a1=f（0），且求an通项公式。当a1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。3、4、2010年全国高中数学联赛模拟题2一试参考答案一、填空题1.设，则，又，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.2. 易知数列是首项是，公比是的等比数列，于是，故最小整数是7.3.，故所求函数的最大值等于.4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点.5., 设第k次到达点A、点B、点C分别为事件Ak、Bk、Ck, k=1,2,3,.,n, 从点B到点A为事件D, 从点C到点A为事件E, 则An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则（顺便说明一下：A是出发点）6. ，即，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.7.由二项式定理知，即被3除余1，故.8. ，作商，有，故.二、解答题9.解：设交点、的坐标为、，由消去，得，由韦达定理，得，以为直径的圆恰好过坐标系的原点，即，整理，得将代入，并化简得，经检验，确实满足题目条件，故存在实数满足题目条件.10.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，其中，由条件知.由于，且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设又由于，.以代替，得，但这与矛盾！因此假设不成立，即不存在这样的函数.11.证明：先证左边的不等式.，或者,只证用排序或者1的代换易证。再证右边的不等式.不妨设，注意到条件，得，所以，综上，.二试1、2、解：（）时，f（x）1令x=1，y=0则f（1）=f（1）f（0）f（1）1f（0）=1 若x0，则f（xx）=f（0）=f（x）f（x）故故xR f（x）0 任取x1x2