常微分方程 奇解与包络ppt.ppt

2 4奇解 Singularlysolution 2 4奇解 包络和奇解 克莱罗方程 ClairantEquation 本节要求 1了解奇解的意义 2掌握求奇解的方法 主要内容 利用通解和特解可以构造解 从图形可以看到 有无数条积分曲线过初始点 解 容易看到y 0是解 并且满足给定的初始条件 例1 得通解 由 x y 定义2 3如果方程存在某一解 在它所对应的积分曲线上每点处 解的唯一性都被破坏 则称此解为微分方程的奇解 奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线 一包络和奇解的定义 曲线族的包络 是指这样的曲线 它本身并不包含在曲线族中 但过这条曲线上的每一点 有曲线族中的一条曲线与其在此点相切 奇解 在有些微分方程中 存在一条特殊的积分曲线 它并不属于这个方程的积分曲线族 但在这条特殊的积分曲线上的每一点处 都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切 这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解 注 奇解上每一点都有方程的另一解存在 例单参数曲线族 R是常数 c是参数 x y o 显然 是曲线族的包络 一般的曲线族并不一定有包络 如同心圆族 平行线族等都是没有包络的 注 并不是每个曲线族都有包络 例如 单参数曲线族 其中c为参数 表示一族同心圆 如图 从图形可见 此曲线族没有包络 二 不存在奇解的判别法 假设方程 1 9 的右端函数 在区域 上有定义 如果 在D上连续且 在D上有界 或连续 那么由本章定理2 2 方程的任一解是唯一的 从而在D内一定不存在奇解 有定义的区域D内成立 那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上 进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解 那么我们也可以断定该方程无奇解 如果存在唯一性定理条件不是在整个 定理2 6方程 1 9 的积分曲线族 C 的包络线L是 1 9 的奇积分曲线 证明 应用定理2 1积分曲线与线素场的关系的充要条件 三求奇解 包络线 的方法 C 判别曲线法P 判别曲线法 设一阶方程 的通积分为 1C 判别曲线法 结论 通积分作为曲线族的包络线 奇解 包含在下列方程组 消去C而得到的曲线中 设由 能确定出曲线为 则 对参数C求导数 从而得到恒等式 当 至少有一个不为零时 有 或 这表明曲线L在其上每一点 x C y C 处均与曲线族中对应于C的曲线相切 注意 C 判别曲线中除了包络外 还有其他曲线 尚需检验 例1求直线族 的包络 这里是参数 p是常数 解 对参数求导数 联立 相加 得 经检验 其是所求包络线 2020 3 18 18 可编辑 例2求直线族 的包络 这里c是参数 解 对参数c求导数 联立 得 从得到 从得到 因此 C 判别曲线中包括了两条曲线 易检验 是所求包络线 2p 判别曲线 结论 方程的奇解包含在下列方程组 消去p而得到的曲线中 注意 p 判别曲线中除了包络外 还有其他曲线 尚需检验 例3求方程 的奇解 解 从 消去p 得到p 判别曲线 经检验 它们是方程的奇解 因为易求得原方程的通解为 而是方程的解 且正好是通解的包络 例4求方程 的奇解 解 从 消去p 得到p 判别曲线 经检验 不是方程的解 故此方程没有奇解 注意 以上两种方法 只提供求奇解的途径 所得p 判别曲线和C 判别曲线是不是奇解 必需进行检验 3克莱罗方程 形式 其中 是p的连续函数 解法 通解 奇解 结果 Clairaut方程 的通解 是一直线族 此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线 所对应的解是奇解 例5求解方程 解 这是克莱罗方程 因而其通解为 消去c 得到奇解 从 x y O 如图 此方程的通解是直线族 而奇解是通解的包络 例6求一曲线 使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2 解设要求的曲线为 过曲线任上一点的切线方程为 其与坐标轴的交点为 切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为 这是克莱罗方程 因而其通解为 消去c 得到奇解 从 这是等腰双曲线 显然它就是满足要求的曲线 直线族及其包络线 利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下 注意 y 3x和y 3x是非常特殊的解 其它解与这两条直线相切 restart with plots forjfrom 5to 1doplot j x 2 2 9 2 j x 3 3 y 10 10 y j enddo forjfrom1to5doplot j x 2 2 9 2 j x 3 3 y 10 10 y j enddo plot 3 x x 3 3 y 10 10 color black yy plot 3 x x 3 3 y 10 10 color black yyy display y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 yy yyy 本节要点 1 奇解的定义 2 不存在奇解的判别方法 1 全平面上解唯一 2 不满足解唯一的区域上没有方程的解 3 求奇解的包络线求法 满足