中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版

专题10 二次函数的应用1 解读考点知识点名师点晴二次函数应用类型（1） 利润问题（2） 几何问题（3） 抛物线型问题利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题.二次函数应用的解题步骤一般方法是：（1）建模（最重要的就是可以读懂题意），然后求二次函数的解析式，并把x的取值范围求出；（2）求 x= 的值；（3）判断x=的值在不在自变量x的取值范围在，即相当于求顶点处函数的最大值或最小值不在，可画草图根据二次函数的增减性来解答解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决注意自变量的取值范围二考点归纳归纳 1：利润问题 基础知识归纳： 每件商品的利润=售价进价 商品的总利润=每件商品的利润销售量=（售价进价）销售量商品的总利润=总收入总支出商品的利润率= = 例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱设每箱牛奶降价x元 (x为正整数)，每月的销量为y箱(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2) 超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=60+10x（1x12，且x为整数）；（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.【解析】试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36x24得x12，1x12，且x为整数；(2)设所获利润为W，则W=(36x24)(10x+60)=10x2+60x+720=10(x3)2+810，当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.考点：A:应用二次函数求最大利润 ，B:求一次函数的解析式 例2.（2017安徽）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1) y=2x+200 ;(2) w=2x2+280x8000;(3) 当40x70时，W随x的增大而增大，当70x80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元【解析】 50+b=100 k=2试题分析：(1)设y=kx+b，由题意，得 60k+b=80 ，解得 b=200 , 所求函数表达式为y=2x+200 .(2) W=（x40）（-2x+200）=2x2+280x8000即W与x之间的函数表达式是w=2x2+280x8000(3) W=2x2+280x8000=2（x70）2+1800，其中40x80 ，20，当40x70时，W随x的增大而增大，当70x80时，w随x的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点：A:应用二次函数求最大利润 ，B:求一次函数的解析式 例3.（2017山东潍坊）工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计) (1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少?【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.【解析】试题分析：（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(102x)(62x)=12，即x28x+12=0,解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm,底面积为12dm2；(2)长不大于宽的五倍，102x5(62x)，解得0x2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.52x(164x)+2(102x)(62x)=4x248x+120=4(x6)224，对称轴为x=6，开口向上，当0x2.5时，w随x的增大而减小，当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元.考点：A：利用二次函数求最低花费问题，B:一元二次方程的应用例4. （2017四川达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成。已知每件产品的出厂价为60元。工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系： 7.5x， 0x4y= 5x+10，4x14(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图。工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少?【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件. 150x，0x4（2）W= 5(x11)2+845，44，不符合题意；5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知，当0x4时，P=40，当4x14时，设P=kx+b， 4k+b=40 k=1将(4,40)、(14,50)代入, 可得： 14k+b=50 ，解得： b=36 ，P=x+36；当0x4时,W=(6040)7.5x=150x，W随x的增大而增大，当x=4时,W最大=600元；当4600，当x=11时，W取得最大值，845元，答：第11天时，利润最大，最大利润是845元。考点：分段求二次函数的最大利润问题例5（2017湖北鄂州）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个.若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个.（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元?（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本?【答案】（1）y=10x+160（0x80，x为偶数）；（2）当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备10000元进货成本.【解析】试题分析：（1）依题意有：y=10x+160（0x80，x为偶数）；(2)依题意有：W=(8050x)(10x+160)=10(x7)2+5290，由函数图像的性质可知，抛物线开口向下，对称轴x=7，又x为偶数，所以w在x=6或x=8时取得最大值，即w=5280，故当销售单价定为72或74元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元;(3)依题意有：W=10(x7)2+52905200，解得4x10，设进货成本为P元，则P=50（10x+160）=500x+8000，P随x的增大而增大，所以当x=4时，P取最小值，P=5004+8000=10000.故他至少要准备10000元进货成本.考点：A:应用二次函数求最大利润，B:一次函数的应用 归纳 2：几何问题 基础知识归纳： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。例6.（2017浙江绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m .设饲养室为长为x(m)，占地面积为y(m2) .（1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大.小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.【答案】2（x8）（x+2）【解析】50x 试题分析：(1)y=x =1/2(x25)2+625/2，当x=25时，占地面积最大，即饲养室长x为25m时，占地面积y最大；（2）y=x =12(x26)2+338，当x=26时，占地面积最大，即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；2625=12，小敏的说法不正确。考点：二次函数几何问题归纳 3：抛物线型问题 基础知识归纳： 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题. 例7.（2017山东德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度是多少？【答案】（1）y=2/3x2+4/3x+2(0x3);（2）水柱的最大高度为8/3m【解析】试题分析：如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 4a+h=0 a=2/3设抛物线的解析式为:y=a(x1)2+h，代入(0,2)和(3,0)得： a+h=2，解得： h=8/3 ，抛物线的解析式为：y=2/3(x1)2+8/3；即y=2/3x2+4/3x+2(0x3)；(2)y=2/3x2+4/3x+2(0x3)，当x=1时,y=8/3，即水柱的最大高度为8/3m.考点：二次函数的抛物线模型问题例8.（2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：0123456708141820201814下列结论：足球距离地面的最大高度为20m；足球飞行路线的对称轴是直线t=；足球被踢出9s时落地；足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B.【解析】试题解析：由题意,抛物线的解析式为y=ax(x9),把(1,8)代入可得a=1，y=t2+9t=(t4.5)2+20.25，足球距离地面的最大高度为20.25m，故错误，抛物线的对称轴t=4.5，故正确，t=9时，y=0，足球被踢出9s时落地，故正确，t=1.5时，y=11.25，故错误。正确的有，故选B.考点：二次函数的抛物线问题三中考真题1（2017湖北黄石）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间（单位：月份）满足关系：P=9-x；该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系y=ax2+bx+10已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克（1）求该二次函数的解析式；（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润销售价平均成本）【答案】（1）y=x23x+10；（2）4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克.【解析】试题分析：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入y=ax2+bx+10， 16a+4b+10=2 a=得 36a+6b+10=1 ，解得 b=3 ，y=x23x+10；(2)根据题意,知L=Py=9x(x23x+10)=(x4)2+3，当x=4时，L取得最大值，最大值为3，答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克.考点：二次函数的最大利润问题2（2017湖北荆门）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间 t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如下图所示.时间t（天）051015202530日销售量 y1（百件）025404540250（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t 的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值.【答案】(1)y1=1/5t2+6t(0t30，且为整数) 4t (0t10,且为整数)(2) y2= t+30 (10t30,且为整数)；(3) 当t=17或18时,y最大=91.2(百件).【解析】 c=0试题分析：(1)根据观察可设y1=at2+bt+c,将(0,0),(5,25),(10,40)代入得： 25a+5b=25 ， 100a+10b=40， a=1/5 解得 b=6 c=0y1与t的函数关系式为：y1=1/5t2+6t(0t30，且为整数)；(2)当0t10时,设y2=kt，(10,40)在其图象上，10k=40，k=4，y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10t30时,设y2=mt+n， 10m+n=40 m=1将(10,40),(30,60)代入得 30m+n=60 ，解得 n=30 ,y2与t的函数关系式为：y2=t+30， 4t (0t10,且为整数)综上所述,y2= t+30 (10t30,且为整数)；(3)依题意得y=y1+y2,当0t10时,y=1/5t2+6t+4t=1/5t2+10t=1/5(t25)2+125，t=10时,y最大=80；当1080，当t=17或18时,y最大=91.2(百件).考点：二次函数的应用3.（2017湖北襄阳）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花.设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元）与x(m2)的函数关系式为 y1= ，其图象如图所示；栽花所需费用y2（元）与x(m2)的函数关系式y2=0.01x220x+30000（0x1000）.（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块空地1000m2的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值.【答案】（1）k1=30，k2=20， b=6000;（2） W取最大值为32500元;（3） 当x=900时，W取得最小值27900元.【解析】试题分析：(1)将x=600、y=18000代入y1=k1x,得：18000=600k1,解得：k1=30； 600k2+b=18000将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入,得： 1000k2+b=26000， k2=20解得： b=6000 ;k1=30，k2=20， b=6000;(2)当0x600时，W=30x+(0.01x220x+30000)=0.01x2+10x+30000，0.010,W=0.01(x500)2+32500，当x=500时，W取得最大值为32500元；当600x1000时，W=20x+6000+(0.01x220x+30000)=0.01x2+36000，0.010，当600x1000时，W随x的增大而减小，当x=600时，W取最大值为32400，3240010，则当x=45时，w有最大值，即w=2250150a2430(不合题意)；若a10,则当x=40+1/2a时，w有最大值，将x=40+1/2a代入,可得w=30(1/4a210a+100)，当w=2430时,2430=30(1/4a210a+100)，解得a1=2,a2=38(舍去)，综上所述，a的值为2.考点：A :二次函数的利润问题，B:一次函数的应用5.（2017山东济宁）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=x+60（30x60）设这种双肩包每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=x2+90x1800;（2） 这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元;（3） 当x=45时，w有最大值，最大值是225.【解析】试题分析：(1)w=(x30)y=(x+60)(x30)=x2+30x+60x1800=x2+90x1800，w与x之间的函数解析式为w=x2+90x1800;(2) 根据题意得：w=x2+90x1800=(x45)2+225，148,x2=50不符合题意，舍去.答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元.考点：二次函数的利润问题6.（2017山东青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)2400040000(1)该酒店豪华间有多少间?旺季每间价格为多少元?(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变。经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间。不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高?最高日总收入是多少元?【答案】(1)该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元;（2）该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元.【解析】试题分析：(1)设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，由题意， x(y10)=24000 x=600可得 x(1+13)y=40000，解得 y=50 ，x+1/3x=600+1/3600=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=(800+x)(50x/25)=1/25(x225)2+42025，当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元.考点：A:二次函数的利润问题应用,B:二元一次方程组的应用7. （2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售。已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：m与t的函数关系为m=20000(0t50)100t+15000(50t100)；y与t的函数关系如图所示。分别求出当0t50和50t100时，y与t的函数关系式；设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?并求出最大值.(利润=销售总额总成本)【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30；（2） 当0t50时,y=1/5t+15 当50t100时,设y与t的函数解析式为y=1/10t+30 放养55天时，W最大，最大值为180250元【解析】 10a+b=30.4 a=0.04试题分析：(1)由题意,得： 20a+b=30.8， 解得 b=30，答：a的值为0.04，b的值为30；(2)当0t50时,设y与t的函数解析式为y=k1t+n1， n1=15 k1=1/5将(0,15)、(50,25)代入,得： 50k1+n1=25，解得：n1=15，y与t的函数解析式为y=1/5t+15；当500，当t=50时,W最大值=180000(元)；当50t100时，W=(100t+15000)(1/10t+30)(400t+300000)=10t2+1100t+150000=10(t55)2+180250，100，当t=55时,W最大值=180250(元)，综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元。考点：二次函数的利润问题8.（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为： t+16(1t40 ,t为整数）P = t+46(41t80 ,t为整数）,日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：(1) 求日销售量y与时间t的函数关系式？(2) 哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？(4)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m7)元给村里的特困户.在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.【答案】（1）y=2t+200(1x80,t为整数)；（2） 第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（3） 该养殖户有21日销售利润不低于2400元；（4）5m2301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元。(3)由(2)得：当1x40时，w=1/2(t30)2+2450